资源描述
2022-2023学年高一上数学期末模拟试卷
注意事项:
1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。
2．答题时请按要求用笔。
3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。
4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。
5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
一、选择题（本大题共10小题；在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题意，请将正确选项填涂在答题卡上.）
1．已知，则下列说法正确的是（）
A.有最大值0 B.有最小值为0
C.有最大值为－4 D.有最小值为－4
2．已知函数，，其函数图象的一个对称中心是，则该函数的一个单调递减区间是（ ）
A. B.
C. D.
3．已知函数，其中为实数，若对恒成立，且，则的单调递增区间是
A. B.
C. D.
4．若函数在上是增函数，则实数k的取值范围是（）
A. B.
C. D.
5．已知集合，则（）
A. B.
C. D.
6．函数，若，，，则（）
A. B.
C. D.
7．已知函数与的部分图象如图1（粗线为部分图象，细线为部分图象）所示，则图2可能是下列哪个函数的部分图象（）
A. B.
C. D.
8．若直线过点，，则此直线的倾斜角是（ ）
A.30° B.45°
C.60° D.90°
9．已知向量满足，，则
A.4 B.3
C.2 D.0
10．已知函数是定义在上的奇函数，对任意的都有，当时，，则（）
A. B.
C. D.
二、填空题（本大题共5小题，请把答案填在答题卡中相应题中横线上）
11．已知函数，且函数恰有两个不同零点，则实数的取值范围是___________.
12．已知函数，
（1）______
（2）若方程有4个实数根，则实数的取值范围是______
13．已知函数恰有2个零点，则实数m的取值范围是___________.
14．计算：________.
15．已知函数
（1）当时，求的值域；
（2）若，且，求的值；
三、解答题（本大题共6小题.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）
16．已知函数 .
（1）当时，求函数的值域；
（2）若函数的值域为R，求实数取值范围.
17．已知集合，集合，集合.
（1）求；
（2）若，求实数的值取范围.
18．
（1）求a值以及函数的定义域；
（2）求函数在区间上的最小值；
（3）求函数的单调递增区间
19．计算求解
（1）
（2）已知，，求的值
20．已知某观光海域AB段的长度为3百公里，一超级快艇在AB段航行，经过多次试验得到其每小时航行费用Q（单位：万元）与速度v（单位：百公里／小时）（0≤v≤3）的以下数据：
0
1
2
3
0
0.7
1.6
3.3
为描述该超级快艇每小时航行费用Q与速度v的关系，现有以下三种函数模型供选择：Q＝av3＋bv2＋cv，Q＝0．5v＋a，Q＝klogav＋b
（1）试从中确定最符合实际的函数模型，并求出相应的函数解析式；
（2）该超级快艇应以多大速度航行才能使AB段的航行费用最少？并求出最少航行费用
21．已知直线的方程为
（1）求过点，且与直线垂直的直线方程；
（2）求与直线平行，且到点的距离为的直线的方程
参考答案
一、选择题（本大题共10小题；在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题意，请将正确选项填涂在答题卡上.）
1、B
【解析】由均值不等式可得，分析即得解
【详解】由题意，，由均值不等式
，当且仅当，即时等号成立
故，有最小值0
故选：B
2、D
【解析】由正切函数的对称中心得，得到，令可解得函数的单调递减区间.
【详解】因为是函数的对称中心，所以，解得
因为，所以，，
令，解得，
当时，函数的一个单调递减区间是
故选：D
【点睛】本题考查正切函数的图像与性质，属于基础题.
3、C
【解析】先由三角函数的最值得或，再由得，进而可得单调增区间.
【详解】因为对任意恒成立，所以，
则或，
当时，，则（舍去），
当时，，则，符合题意，
即，
令，解得，即的单调递增区间是；故选C.
【点睛】本题主要考查了三角函数的图像和性质，利用三角函数的性质确定解析式，属于中档题.
4、C
【解析】根据二次函数的对称轴在区间的左边，即可得到答案；
【详解】由题意得：，
故选：C
5、D
【解析】求出集合A，再求A与B的交集即可.
【详解】∵，
∴.
故选：D.
6、A
【解析】首先判断，和的大小关系，然后根据函数的单调性，判断的大小关系.
【详解】，，
，，，，
是上的减函数，.
故选：A.
7、B
【解析】结合函数的奇偶性、特殊点的函数值确定正确选项.
【详解】由图1可知为偶函数，为奇函数，
A选项，，所以是偶函数，不符合图2.A错.
C选项，，所以是偶函数，不符合图2.C错.
D选项，，所以的定义域不包括，不符合图2.D错.
B选项，，所以是奇函数，符合图2，所以B符合.
故选：B
8、A
【解析】根据两点求解直线的斜率，然后利用斜率求解倾斜角.
【详解】因为直线过点，，
所以直线的斜率为；
所以直线的倾斜角是30°，
故选：A.
9、B
【解析】分析：根据向量模的性质以及向量乘法得结果.
详解：因
所以选B.
点睛：向量加减乘：
10、C
【解析】由可推出，可得周期，再利用函数的周期性与奇偶性化简，代入解析式计算.
【详解】因为，所以，故周期为，又函数是定义在上的奇函数，当时，，所以
故选：C.
二、填空题（本大题共5小题，请把答案填在答题卡中相应题中横线上）
11、
【解析】作出函数的图象，把函数的零点转化为直线与函数图象交点问题解决.
【详解】由得，即函数零点是直线与函数图象交点横坐标，
当时，是增函数，函数值从1递增到2(1不能取)，当时，是增函数，函数值为一切实数，
在坐标平面内作出函数的图象，如图，
观察图象知，当时，直线与函数图象有2个交点，即函数有2个零点，
所以实数的取值范围是：.
故答案为：
12、 ①-2 ②.
【解析】先计算出f(1)，再根据给定的分段函数即可计算得解；令f(x)=t，结合二次函数f(x)性质，的图象，利用数形结合思想即可求解作答.
【详解】(1)依题意，，则，
所以；
(2)函数的值域是，令，则方程在有两个不等实根，
方程化为，因此，方程有4个实数根，等价于方程在有两个不等实根，
即函数的图象与直线有两个不同的公共点，
在同一坐标系内作出函数的图象与直线，而，如图，
观察图象得，当时，函数与直线有两个不同公共点，
所以实数的取值范围是.
故答案为：-2；
13、
【解析】讨论上的零点情况，结合题设确定上的零点个数，根据二次函数性质求m的范围.
【详解】当时，恒有，此时无零点，则，
∴要使上有2个零点，只需即可，
故有2个零点有；
当时，存在，此时有1个零点，则，
∴要使上有1个零点，只需即可，
故有2个零点有；
综上，要使有2个零点，m的取值范围是.
故答案为：.
14、
【解析】由,利用正弦的和角公式求解即可
【详解】原式,
故答案为:
【点睛】本题考查正弦的和角公式的应用,考查三角函数的化简问题
15、（1）
（2）
【解析】（1）化简函数解析式为，再利用余弦函数的性质求函数的值域即可；
（2）由已知得，利用同角之间的关系求得，再利用凑角公式及两角差的余弦公式即可得解.
【小问1详解】
，，
利用余弦函数的性质知，则
【小问2详解】
，
又，，
则
则
三、解答题（本大题共6小题.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）
16、（1）；
（2）.
【解析】（1）当时，，利用二次函数的性质求出真数部分的范围，根据对数函数的单调性可求出值域；
（2）的值域为等价于的值域包含，故，即求.
小问1详解】
当时，，
∵，
∴，
∴函数的值域；
【小问2详解】
要使函数的值域为R，则的值域包含，
∴，
解得或，
∴实数取值范围为.
17、（1）或；
（2）.
【解析】（1）根据一元二次不等式的解法求出集合、，即可求出；
（2）由，可知，得到不等式组，即得.
【小问1详解】
∵，，
，或，
∴或；
【小问2详解】
∵，，
由，得，
，解得，
∴实数的值取范围为.
18、（1），；
（2）；
（3）﹒
【解析】(1)由f(1)＝－2解得a，由1＋x＞0且3－x＞0解得定义域；
(2)化简f(x)解析式，根据x范围求出真数部分范围，即可求其最值；
(3)根据复合函数单调性判断方法“同增异减”即可﹒
【小问1详解】
，
解得；
故，由，
解得：，故函数的定义域是；
【小问2详解】
由(1)得，
令
得，则原函数为，
由于该函数在上单调递减，∴，
因此，函数在区间上的最小值是；
【小问3详解】
由(1)得：，
令的对称轴是，
故在递增，在递减，
∴在递增，在递减，
故函数单调递增区间为
19、（1）；
（2）.
【解析】（1）利用对数运算法则直接计算作答.
（2）利用对数换底公式及对数运算法则计算作答.
【小问1详解】
.
【小问2详解】
因，，所以.
20、（1）选择函数模型，函数解析式为；（2）以1百公里/小时航行时可使AB段的航行费用最少，且最少航行费用为2.1万元.
【解析】（1）对题中所给的三个函【解析】对应其性质，结合题中所给的条件，作出正确的选择，之后利用待定系数法求得解析式，得出结果；
（2）根据题意，列出函数解析式，之后应用配方法求得最值，得到结果.
【详解】（1）若选择函数模型，则该函数在上为单调减函数，
这与试验数据相矛盾，所以不选择该函数模型
若选择函数模型，须，这与试验数据在时有意义矛盾，
所以不选择该函数模型
从而只能选择函数模型，由试验数据得，
，即，解得
故所求函数解析式为：
（2）设超级快艇在AB段的航行费用为y（万元），
则所需时间（小时），其中，
结合（1）知，
所以当时，
答：当该超级快艇以1百公里/小时航行时可使AB段的航行费用最少，且最少航行费用为2．1万元
【点睛】该题考查的是有关函数的应用题，涉及到的知识点有函数模型的正确选择，等量关系式的建立，配方法求二次式的最值，属于简单题目.
21、（1）
（2）或
【解析】直接利用直线垂直的充要条件求出直线的方程；
设所求直线方程为，由于点到该直线的距离为，可得，解出或，即可得出答案；
解析：（1）∵直线的斜率为，∴所求直线斜率为，
又∵过点，∴所求直线方程为，
即
（2）依题意设所求直线方程为，
∵点到该直线的距离为，
∴，解得或，
所以，所求直线方程为或
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