因式分解例题(附答案).doc

(完整版)因式分解精选例题(附答案)
因式分解 例题讲解及练习
【例题精选】：
（1）
评析：先查各项系数（其它字母暂时不看),确定5,15，20的最大公因数是5，确定系数是5 ，再查各项是否都有字母X，各项都有时，再确定X的最低次幂是几，至此确认提取X2，同法确定提Y，最后确定提公因式5X2Y。提取公因式后，再算出括号内各项。
解:
=
（2）
评析:多项式的第一项系数为负数,应先提出负号,各项系数的最大公因数为3，且相同字母最低次的项是X2Y
解:
=
=
=
(3）(y—x）（c—b—a)-(x—y)（2a+b—c)—（x-y）(b—2a）
评析:在本题中，y—x和x-y都可以做为公因式，但应避免负号过多的情况出现,所以应提取y—x
解:原式=（y—x）(c-b-a)+(y-x）(2a+b—c)+(y—x）(b—2a）
=（y—x）(c-b—a+2a+b-c+b—2a)
=(y-x)（b—a)
（4） （4)       把分解因式
评析：这个多项式有公因式2x3，应先提取公因式,剩余的多项式16y4—1具备平方差公式的形式
解：=2=2=
（5） （5）       把分解因式
评析：首先提取公因式xy2,剩下的多项式x6-y6可以看作用平方差公式分解，最后再运用立方和立方差公式分解。
对于x6-y6也可以变成先运用立方差公式分解，但比较麻烦.
解：
=xy2（x6-y6)= xy2［]=
=
（6）把分解因式
评析:把（x+y）看作一个整体,那么这个多项式相当于（x+y)的二次三项式，并且为降幂排列，适合完全平方公式。对于本例中的多项式切不可用乘法公式展开后再分解，而要注意观察分析,善于把(x+y）代换完全平方公式中的a,（6Z）换公式中的
解:
==(x+y-6z)2
（7） （7）       把分解因式
评析：把x2-2y2和y2看作两个整体,那么这个多项式就是关于x2-2y2和y2的二次三项式，但首末两项不是有理数范围内的完全平方项，不能直接应用完全平方公式，但注意把首项系数提出后,括号里边实际上就是一个完全平方式。
解：
=
=
=
（8） （8）       分解因式a2—b2-2b—1
评析:初看，前两项可用平方差公式分解。采用“二、二”分组，原式=（a+b）（a-b)-（2b+1)，此时无法继续分解。再仔细看，后三项是一个完全平方式，应采用“一、三”分组.
解：a2-b2—2b—1= a2-(b2-2b+1)=a2-（b+1)2=[a+(b+1)］[a—（b+1）］=（a-b—1)（a+b+1)
一般来说,四项式“一、三”分解，最后要用“平方差”.四项式“二、二”分组,只有前后两组出现公因式，才是正确的分组方案。
（9） （9)       把a2-ab+ac-bc分解因式
解法一：a2-ab+ac-bc=（a2—ab)+（ac—bc)=a（a-b）+c(a-b）=(a-b）（a+c）

解法二：a2-ab+ac-bc=（a2+ac）-(ab+bc）=a(a+c）—b（a+c) =（a-b)（a+c)
（10） （10)   把分解因式
解法一：
=
解法二：
=
说明：例(2）和例（3）的解法一和解法二虽然分组不同，但却有着相同的内在联系，即两组中的对应系数成比例.（2)题解法一 1：1,解法二也是1：1；（3)题解法一是
1:1，解法二是2:(—3）
（11) 分解因式
评析：四项式一般先观察某三项是否是完全平方式.如是，就考虑“一、三"分组；不是，就考虑“二、二”分组
解法一：
=
=
解法二：=
=
解法三：=
=
（12） （12)   分解因式（a-b)2—1—2c(a—b)+c2
评析：本题将（a-b）看作一个整体，可观察出其中三项是完全平方式，可以“一、三”分组
解：(a—b)2—1—2c（a-b)+c2
=［(a-b）2-2c（a-b）+c2］—1=[(a—b）-c]2—1=(a—b—c)2-1-（a—b-c+1)（a—b-c-1）

（13）分解因式8a2—5ab—42b2 8a -21b
解：8a2-5ab—42b2 a +2b
=（8a—21b）（a+2b） -21ab+16ab=-5ab
（14） （14）   分解因式a6—10a3+16
解：a6—10a3+16 a3 -2
=( a3—2）( a3—8) a3 —8
=( a3—2）(a—2）（a2+2a+4） —8a3—2a3 =—10a3
（15） （15）   分解因式-x2+x+30
解：—x2+x+30 （先提出负号) x +5
=-（ x2-x-30） x —6
=—（x+5）(x—6) +5x-6x=—x
（16） （16）   分解因式12(x+y）2—8(x+y）-7
解：12(x+y）2-8（x+y)-7 2（x+y） +1
=［2(x+y）+1][6(x+y)-7] 6(x+y) -7
=（2x+2y+1）(6x+6y—7） —14+6=8
（17）把分解因式
评析:此题是一个五项式，它能否分组分解，要看分组后组与组之间是否出现公因式或是否符合公式。本题注意到后三项当把—1提出后，实际上是按立方差公式分解后的一个因式：
解:
=
=
=
（18） (18）   把分解因式
评析：把看成一组符合完全平方公式，而剩下的三项把—1提出之后恰好也是完全平方式,这样分组后又可用平方差公式继续分解。
解：
=
=
=
（19）分解因式
评析：先不要把前面两个二次三项式的乘积展开，要注意到这两个二次三项式的前两项都是这一显著特点，我们不妨设=a可得（a+1）（a+2）-6即a2+3a+2-6,即a2+3a-4，此时可分解为（a+4）（a—1）
解：
=
=
=
=
（20）把分解因式
解:
=
=
=
=
(21）把分解因式
评析：它不同于例3（1）的形式，但通过观察，我们可以对这两个二次三项式先进行分解,有。它又回到例3(1)的形式，我们把第一项和第三项结合在一起，第二、四项结合在一起，都产生了（x2—3x）
解：
=
=
=
=
=
=
（22）把分解因式
评析:不要轻易展开前四个一次因式的积，要注意到常数有1×6=2×3=6 利用结合律会出现a2+6
解：
=
=
=
（23）把（x+1）（x+3）(x+5）(x+7）—9分解因式
评析：不要轻易地把前四个一次因式的乘积展开，要注意到1+7=3+5,如果利用乘法结合律，把（x+1）（x+7）和（x+3)（x+5）分别乘开就会出现的形式，这就不难发现（x2+8x)作为一个整体a同时出现在两个因式中,即（a+7）(a+15）—9的形式，展开后有a2+22a+96,利用十字相乘,得到（a+6）(a+16）而分解。
解：（x+1）（x+3）（x+5）(x+7）-9
=［（x+1)(x+7）]［（x+3）（x+5)］-9
=
以下同于例3
=
=+96
=
=
（24)把x（x+1）（x+2)（x+3）—24分解因式
评析:通过观察第一项和第四项两上一次式相乘出现（x2+3x）,第二和第三个一次式相乘出现（x2+3x）。可以设x2+3x=a，会有a（a+2)—24,此时已易于分解
解：x（x+1)(x+2）（x+3）-24
=［x(x+3）]［（x+1）(x+2）］—24
=
=
=
=
（25）把分解因式
评析：不要急于展开，通过观察前两项，发现它们有公共的x2+3x，此时把它看成一个整体将使运算简化。
解：
=
=
（26）把分解因式
评析：我们可以观察到+前后的两项都有（a+b）和(c+d）.据此可把它们看作为一个整体.
解:
=
=
=
=
（27）把分解因式
评析：把（1+a）看成一个整体，第一项1与第二项a也合成一个整体(1+a)
解：
=
=
=
（28）把分解因式
评析：此题容易想到分组分解法，但比较困难，考虑到

此时可设
再用待定系数法求出m和n
解:设
=
比较两边对应系数 得到
m+2n=2 ①
-3n+2m=11 ②
mn=—4 ③
由①和② 得到m=4，n=-1 代入③也成立
∴=（2x-3y+4）（x+2y-1）
(29)把分解因式
解:
=
=（x+4y+m)(x-2y+n）
=
有 m+n=-4 ①
4n-2m=—10 ②
mn=3 ③
由①和② 得到m=-3，n=—1 代入③也成立
∴=（x+4y-3)（x-2y-1)
（30)当x+y=2时，求的值
评析：∵x+y=2这是唯一的条件。∴要从中找到x+y或有关(x+y）的表达式
解：=（x+y)（）+6xy
∵x+y=2
∴原式==
=2=8
（31)己知=2 求的值
解：=
∵=2
∴原式=2[（2）2-3］=2
（32）己知x-y=2，求的值
解:
=
= （x-y） —3a
= （x—y) +2a
∵x—y=a
∴原式=

初中因式分解的常用方法（例题详解)

一、提公因式法。
如多项式
其中m叫做这个多项式各项的公因式, m既可以是一个单项式，也可以是一个多项式．
二、运用公式法.
运用公式法，即用

写出结果．
三、分组分解法。
（一）分组后能直接提公因式
例1、分解因式:
分析:从“整体"看，这个多项式的各项既没有公因式可提，也不能运用公式分解,但从“局部”看，这个多项式前两项都含有a，后两项都含有b,因此可以考虑将前两项分为一组，后两项分为一组先分解，然后再考虑两组之间的联系。
解:原式=
= 每组之间还有公因式！
=
思考：此题还可以怎样分组？
此类型分组的关键：分组后,每组内可以提公因式，且各组分解后，组与组之间又有公因式可以提。
例2、分解因式：
解法一:第一、二项为一组； 解法二：第一、四项为一组；
第三、四项为一组。 第二、三项为一组。
解:原式= 原式=
= =
= =
练习:分解因式1、 2、

(二）分组后能直接运用公式
例3、分解因式：
分析:若将第一、三项分为一组，第二、四项分为一组，虽然可以提公因式，但提完后就能继续分解，所以只能另外分组。
解：原式=
=
=
例4、分解因式：
解：原式=
=
=
注意这两个例题的区别!
练习：分解因式3、 4、

综合练习:（1） （2）

（3) （4）

（5） （6）

(7） （8）

（9） （10)

(11）（12）

四、十字相乘法。
（一）二次项系数为1的二次三项式
直接利用公式-—进行分解。
特点:（1）二次项系数是1;
（2）常数项是两个数的乘积；
（3）一次项系数是常数项的两因数的和.
例5、分解因式：
分析:将6分成两个数相乘，且这两个数的和要等于5.
由于6=2×3=(—2）×(-3)=1×6=(—1）×(-6)，从中可以发现只有2×3的分解适合，即2+3=5。 1 2
解：= 1 3
= 1×2+1×3=5
用此方法进行分解的关键：将常数项分解成两个因数的积，且这两个因数的代数和要等于一次项的系数。
例6、分解因式：
解：原式= 1 —1
= 1 -6
(-1）+(—6）= —7
练习5、分解因式(1) （2） (3)

练习6、分解因式（1) （2） （3）

(二）二次项系数不为1的二次三项式-—
条件：(1）
(2）
（3）
分解结果:=
例7、分解因式：
分析： 1 -2
3 -5
（—6)+（—5）= -11
解：=
练习7、分解因式：（1) （2)
（3） （4)

（三）二次项系数为1的齐次多项式
例8、分解因式：
分析：将看成常数，把原多项式看成关于的二次三项式,利用十字相乘法进行分解.
1 8b
1 —16b
8b+（-16b)= —8b
解：=
=
练习8、分解因式(1）(2)（3）

(四）二次项系数不为1的齐次多项式
例9、 例10、
1 —2y 把看作一个整体 1 -1
2 —3y 1 -2
(—3y）+（—4y）= —7y （—1）+（—2）= -3
解：原式= 解：原式=
练习9、分解因式：（1） （2)

综合练习10、（1） （2）
（3） (4）

(5） （6）

（7）(8)

（9）（10)

思考：分解因式：
五、主元法.
例11、分解因式: 5 —2
解法一：以为主元 2 —1
解:原式= (—5)+(—4）= -9
= 1 —(5y-2）
= 1 （2y—1)
= -(5y—2)+(2y-1)= —（3y—1）
解法二：以为主元 1 -1
解：原式= 1 2
= —1+2=1
= 2 （x-1）
= 5 -（x+2）
= 5(x-1）—2（x+2)=(3x-9)
练习11、分解因式(1） (2）

（3） （4)

六、双十字相乘法.
定义：双十字相乘法用于对型多项式的分解因式。
条件：（1），，
（2），，
即：

，，
则
例12、分解因式(1）
（2）
解：（1）
应用双十字相乘法：

，，
∴原式=
(2）
应用双十字相乘法：

，，
∴原式=
练习12、分解因式（1）
（2）

七、换元法。
例13、分解因式（1)
(2）
解：(1)设2005=，则原式=
=
=
（2）型如的多项式,分解因式时可以把四个因式两两分组相乘。
原式=
设，则
∴原式==
==
练习13、分解因式（1）
（2） (3）

例14、分解因式（1)
观察：此多项式的特点——是关于的降幂排列，每一项的次数依次少1，并且系数成“轴对称”。这种多项式属于“等距离多项式”。
方法:提中间项的字母和它的次数，保留系数,然后再用换元法。
解：原式==
设，则
∴原式==
==
==
=
（2）
解：原式==
设，则
∴原式==
==
练习14、（1）（2）
八、添项、拆项、配方法。
例15、分解因式(1）
解法1——拆项。 解法2——添项。
原式= 原式=
= =
= =
= =
= =
（2）
解：原式=
=
=
=
练习15、分解因式（1） （2）

（3） （4）

（5） （6）

九、待定系数法。
例16、分解因式
分析：原式的前3项可以分为，则原多项式必定可分为
解:设=
∵=
∴=
对比左右两边相同项的系数可得，解得
∴原式=
例17、（1）当为何值时，多项式能分解因式，并分解此多项式.
(2）如果有两个因式为和，求的值。
（1)分析：前两项可以分解为，故此多项式分解的形式必为
解:设=
则=
比较对应的系数可得:,解得：或
∴当时，原多项式可以分解；
当时，原式=；
当时，原式=
(2)分析:是一个三次式，所以它应该分成三个一次式相乘，因此第三个因式必为形如的一次二项式。
解:设=
则=
∴，解得，
∴=21
练习17、（1）分解因式

(2）分解因式

（3）已知：能分解成两个一次因式之积，求常数并且分解因式。

（4）为何值时,能分解成两个一次因式的乘积，并分解此多项式.

初二因式分解练习题 5 （单元测试） 姓名
一、 填空题：（5分 4=20分）
(1) 分解因式； ；
(2） 分解因式: ;
（3） 分解因式： ;
（4） 分解因式： ;
二、 选择题：（5分 6=30分）
(1）下列变形，是因式分解的是-——--———--——---—-—————-———----—------——-————-—---—-—-—-——-—（ ）
A B
C D
(2）下列各式中,不含因式 的是—-———-—---——————-—---————-———-—--——-——-——-----——--———( ）
A B C D
（3）下列各式中，能用平方差分解因式的式子是—---—-—---————-—-———-—-——-—---—--—---——（ )
A B C D
(4）已知 ,则 的值是—-—-—--—---—--—-—-———-——--—（ ）
A ， B C D ，
（5）如果 是一个完全平方式，那么 的值是————-——--——---—--—-—-——-——( ）
A B C D
（6)已知 ，则 的值是—-（ ）
A 0 B C 3 D 9
三、 把下列各式因式分解:（6分 5=30分）
（1） (2）

（3） （4)

（5）

四、（10分）已知 ，求证:

五、（10分）求证：每个奇数的平方被8除必余1