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数列与极限专题（综合）
一、选择题
1．如果-1，a, b,c,-9成等比数列，那么
A．b=3,ac=9 B.b=-3,ac=9 C.b=3,ac=-9 D.b=-3,ac=-9
2．在等差数列｛a｝中，已知a=2,a+a=13，则a+a+a等于
A.40 B.42 C.43 D.45
3．（06广东卷）已知某等差数列共有10项，其奇数项之和为15，偶数项之和为30，则其公差为
A.5 B.4 C. 3 D. 2
4．若互不相等的实数成等差数列，成等比数列，且，则
A．4 B．2 C．－2 D．－4
5．（06江西卷）已知等差数列｛an｝的前n项和为Sn，若，且A、B、C三点共线（该直线不过原点O），则S200＝（ ）
A．100 B. 101 C.200 D.201
6．（理科做）（06湖南卷）数列{}满足:,且对于任意的正整数m,n都有,则 ( )
A. B. C. D.2
(文科做)在等比数列中,,前项和为,若数列也是等比数列,则等于
A. B. C. D.
7．设是公差为正数的等差数列，若，，则
A． B． C． D．
8．（06全国II）设Sn是等差数列｛an｝的前n项和，若＝，则＝
A. B. C. D.
9．已知等差数列{an}中,a2+a8=8,则该数列前9项和S9等于( )
A.18 B.27 C.36 D.45
10．（06天津卷）已知数列、都是公差为1的等差数列，其首项分别为、，且，．设（），则数列的前10项和等于（　　）
A．55　　　　 B．70　　　　　C．85　　　　　D．100
二、填空题

…
11．（06广东）在德国不来梅举行的第48届世乒赛期间，某商店橱窗里用同样的乒乓球堆成若干堆“正三棱锥”形的展品，其中第1堆只有1层，就一个球；第堆最底层（第一层）分别按图4所示方式固定摆放，从第二层开始，每层的小球自然垒放在下一层之上，第堆第层就放一个乒乓球，以表示第堆的乒乓球总数，则；（答案用表示）.
12．若数列满足：，2，3….则　　　　　　.
13．（06江苏）对正整数n，设曲线在x＝2处的切线与y轴交点的纵坐标为，则数列的前n项和的公式是　　
14．（理科做）数列｛｝的前n项和为Sn，则Sn＝______________
（文科做）设为等差数列的前n项和，＝14，S10－＝30，则S9＝　　　　.
15．（06浙江）设为等差数列的前项和，若,则公差为　　　（用数字作答）。
16．在数列｛an｝中，若a1=1,an+1=2an+3 (n≥1),则该数列的通项an=_________.
三、解答题
17．若是公差不为 0的等差数列的前项和，且成等比数列
（Ⅰ）求数列的公比；
（Ⅱ）=4，求的通项公式。
18．（06四川）数列的前项和记为
（Ⅰ）求的通项公式；
（Ⅱ）等差数列的各项为正，其前项和为，且，又成等比数列，求
19．（06湖北）已知二次函数的图像经过坐标原点，其导函数为，数列的前n项和为，点均在函数的图像上。
（Ⅰ）、求数列的通项公式；
（Ⅱ）、设，是数列的前n项和，求使得对所有都成立的最小正整数m；
20．（理科做）（06江西）已知数列｛an｝满足：a1＝，且an＝
（1） 求数列｛an｝的通项公式；
（2） 证明：对于一切正整数n，不等式a1·a2·……an<2·n！
（文科做）（06福建）已知数列满足
（I）证明：数列是等比数列；
（II）求数列的通项公式；
（II）若数列满足证明是等差数
答案与点拨
1 B 解：由等比数列的性质可得ac＝（－1）×（－9）＝9，b×b＝9且b与奇数项的符号相同，故b＝－3，选B
2 B解：在等差数列中，已知∴ d=3，a5=14，=3a5=42，选B.
3 D解：，故选C.
4 D解：由互不相等的实数成等差数列可设a＝b－d，c＝b＋d，由可得b＝2，所以a＝2－d，c＝2＋d，又成等比数列可得d＝6，所以a＝－4，选D
5 A解：依题意，a1＋a200＝1，故选A
6 （理）A解析：数列满足: , 且对任意正整数都有，，∴数列是首项为，公比为的等比数列。，选A.
（文）C 解：因数列为等比，则，因数列也是等比数列，
则
即，所以，故选择答案C。
7 B解：是公差为正数的等差数列，若，，则，，∴ d=3，，，选B.
8 A 解:由等差数列的求和公式可得且
所以,故选A
点评：本题主要考察等比数列的求和公式,难度一般
9 C 解：在等差数列{an}中，a2+a8=8，∴ ，则该数列前9项和S9==36，选C
10 C 解：数列、都是公差为1的等差数列，其首项分别为、，且，．设（），则数列的前10项和等于=，，∴
=，选C.
11 10，
12 解：数列满足：，2，3…，该数列为公比为2的等比数列，∴ .
13 2n+1-2 点拨：本题考查应用导数求曲线切线的斜率，数列通项公式以及等比数列的前n项和的公式
解：，曲线y=xn(1-x)在x=2处的切线的斜率为k=n2n-1-(n+1)2n
切点为（2，-2n）,所以切线方程为y+2n=k(x-2),令x=0得 an=(n+1)2n,令bn=.数列的前n项和为2+22+23+…+2n=2n+1-2
解后反思：应用导数求曲线切线的斜率时，要首先判定所经过的点为切点。否则容易出错。
14 （理） 解：
故

（文）解：设等差数列的首项为a1，公差为d，由题意得
，联立解得a1=2,d=1，所以S9＝
15 －1 点拨：本题考查等差数列的前项和，基础题。
解：设首项为，公差为，由题得

反思：数学问题解决的本质是，你已知什么？从已知出发又能得出什么？完成了这些，也许
水到渠成了。本题非常基础，等差数列的前项和公式的运用自然而然的就得出结论。
16 解：在数列中，若，∴ ，即{}是以为首项，2为公比的等比数列，，所以该数列的通项.
17 解：（Ⅰ）设数列的公差为,由题意，得 =
所以，因为，所以 ，故公比
（Ⅱ）因为
所以，因此
点拨：本题主要考察等差、等比数列的基本知识、考查运算及推理 能力。

18解：（Ⅰ）由可得，两式相减得
又 ∴
故是首项为，公比为得等比数列
∴
（Ⅱ）设的公比为
由得，可得，可得
故可设
又
由题意可得
解得
∵等差数列的各项为正，∴
∴
∴
点拨：本小题主要考察等差数列、等比数列的基础知识，以及推理能力与运算能力。
19解：（Ⅰ）设这二次函数f(x)＝ax2+bx (a≠0) ,则 f`(x)=2ax+b,由于f`(x)=6x－2,得
a=3 , b=－2, 所以 f(x)＝3x2－2x.
又因为点均在函数的图像上，所以＝3n2－2n.
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝（3n2－2n）－＝6n－5.
当n＝1时，a1＝S1＝3×12－2＝6×1－5，所以，an＝6n－5 （）
（Ⅱ）由（Ⅰ）得知＝＝，
故Tn＝＝＝（1－）.
因此，要使（1－）<（）成立的m,必须且仅须满足≤，即m≥10，所以满足要求的最小正整数m为10.
20（理）解：（1）将条件变为：1－＝，因此｛1－｝为一个等比数列，其首项为
1－＝，公比，从而1－＝，据此得an＝（n³1）…………1°
（2）证：据1°得，a1·a2·…an＝
为证a1·a2·……an<2·n！
只要证nÎN*时有>…………2°
显然，左端每个因式都是正数，先证明，对每个nÎN*，有
³1－（）…………3°
用数学归纳法证明3°式：
（i） n＝1时，3°式显然成立，
（ii） 设n＝k时，3°式成立，
即³1－（）
则当n＝k＋1时，
³〔1－（）〕·（）
＝1－（）－＋（）
³1－（＋）即当n＝k＋1时，3°式也成立。
故对一切nÎN*，3°式都成立。
利用3°得，³1－（）＝1－
＝1－>
故2°式成立，从而结论成立。
列。
（文）解：本小题主要考查数列、不等式等基本知识，考查化归的数学思想方法，考查综合解题能力。
（I）证明：

是以为首项，2为公比的等比数列。
（II）解：由（I）得

（III）证明：

　　　　　　　　①
　　②
②－①，得
即　　　　　③
　　　　　④
④－③，得
即

是等差数列。