资源描述
2022-2023学年高一上数学期末模拟试卷
注意事项:
1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。
2．答题时请按要求用笔。
3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。
4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。
5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
一、选择题（本大题共12 小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案涂在答题卡上.）
1．已知定义域为的奇函数满足，若方程有唯一的实数解，则（）
A.2 B.4
C.8 D.16
2．边长为的正四面体的表面积是
A. B.
C. D.
3．若幂函数f（x）的图象过点（16，8），则f（x）<f（x2）的解集为
A.（–∞，0）∪（1，+∞） B.（0，1）
C.（–∞，0） D.（1，+∞）
4．设集合，则=
A. B.
C. D.
5．函数y＝sin（2x）的单调增区间是（ ）
A.，]（k∈Z） B.，]（k∈Z）
C.，]（k∈Z） D.，]（k∈Z）
6．若，则为（）
A. B.
C. D.
7．关于的不等式的解集为，，，则关于的不等式的解集为（ ）
A. B.
C. D.
8．已知直线，直线，则与之间的距离为（）
A. B.
C. D.
9．设长方体的长、宽、高分别为，其顶点都在一个球面上，则该球的表面积为
A.3a2 B.6a2
C.12a2 D.24a2
10．若，则的大小关系为（）
A. B.
C. D.
11．函数f（x）=lnx+3x-7的零点所在的区间是（ ）
A. B.
C. D.
12．长方体的一个顶点上的三条棱长分别为3、4、5，且它的8个顶点都在同一个球面上，则这个球的表面积是（ ）
A. B.
C. D.都不对
二、选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分,将答案写在答题卡上.）
13．已知正数a，b满足，则的最小值为______
14．函数的最小正周期为，且.当时，则函数的对称中心__________;若，则值为__________.
15．如图所示，正方体的棱长为, 分别是棱，的中点，过直线的平面分别与棱.交于，设，，给出以下四个命题：
①平面平面；②当且仅当时，四边形的面积最小； ③四边形周长，是单调函数；④四棱锥的体积为常函数；
以上命题中真命题的序号为___________.
16．已知是定义在上的奇函数, 当时, ,则的值为________________
三、解答题（本大题共6个小题，共70分。解答时要求写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。）
17．已知集合A＝{x|﹣2≤x≤5}，B＝{x|m﹣6≤x≤2m﹣1}
（1）当m＝﹣1时，求A∩B；
（2）若集合B是集合A的子集，求实数m的取值范围
18．已知函数为奇函数.
（1）求实数a的值；
（2）求的值.
19．定义在上的函数，如果满足：对任意，存在常数，都有成立，则称是上的有界函数，其中称为函数的上界，已知函数.
（1）当时，求函数在上的值域，并判断函数在上是否为有界函数，请说明理由；
（2）若函数在上是以4为上界的有界函数，求实数的取值范围.
20．在平面直角坐标系xOy中，角α与角β均以Ox为始边，它们的终边关于y轴对称.若，则=___________.
21．已知函数的部分图象如下图所示
（1）求函数的解析式；
（2）讨论函数在上的单调性
22．已知全集，集合
（1）若，求
（2）．若p是q的充分不必要条件，求a的取值范围
参考答案
一、选择题（本大题共12 小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案涂在答题卡上.）
1、B
【解析】由条件可得，为周期函数，且一个周期为6，设，则得到偶函数，由有唯一的实数解，得有唯一的零点，则，从而得到答案.
【详解】由得，即，
从而，所以为周期函数，且一个周期为6，
所以.
设，将的图象向右平移1个单位长度，
可得到函数的图象，
且为偶函数.由有唯一的实数解，得有唯一的零点，
从而偶函数有唯一的零点，且零点为，即，即，
解得，所以
故选：.
【点睛】关键点睛：本题考查函数的奇偶性和周期性的应用，解答本题的关键是由条件得到，得到为周期函数，设的图象，且为偶函数.由有唯一的实数解，得有唯一的零点，从而偶函数有唯一的零点，且零点为，属于中档题.
2、D
【解析】∵边长为a的正四面体的表面为4个边长为a正三角形，
∴表面积为：4×a=a2，
故选D
3、D
【解析】先根据幂函数f（x）的图象过点（16，8）求出α=>0，再根据幂函数的单调性得到0<x<x2，解不等式即得不等式的解集.
【详解】设幂函数的解析式是f（x）=xα，将点（16，8）代入解析式得16α=8，解得α=>0，故函数
f（x）在定义域是[0，+∞），故f（x）在[0，+∞）递增，故 ，解得x>1．故选D
【点睛】(1) 本题主要考查幂函数的概念和解析式的求法，考查幂函数的图像和性质，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2) 幂函数在是增函数，，幂函数在是减函数，且以两条坐标轴为渐近线.
4、C
【解析】由补集的概念，得，故选C
【考点】集合的补集运算
【名师点睛】研究集合的关系，处理集合的交、并、补的运算问题，常用韦恩图、数轴等几何工具辅助解题．一般地，对离散的数集、抽象的集合间的关系及运算，可借助韦恩图，而对连续的集合间的运算及关系，可借助数轴的直观性，进行合理转化
5、D
【解析】先将自变量的系数变为正数，再由三角函数的单调性得出自变量所满足的不等式，求解即可得出所要的单调递增区间
【详解】y＝sin（2x）＝﹣sin（2x）
令，k∈Z解得，k∈Z
函数的递增区间是，]（k∈Z）
故选D
【点睛】本题考查正弦函数的单调性，求解本题的关键有二，一是将自变量的系数为为正，二是根据正弦函数的单调性得出相位满足的取值范围，解题时不要忘记引入的参数的取值范围即k∈Z
6、A
【解析】根据对数换底公式，结合指数函数与对数函数的单调性直接判断.
【详解】由对数函数的单调性可知，即，且，
，且，
又，即，所以，
又根据指数函数的单调性可得，
所以，
故选：A.
7、A
【解析】根据题意可得1，是方程的两根，从而得到的关系，然后再解不等式从而得到答案.
【详解】由题意可得，且1，是方程的两根，
为方程的根，，
则不等式可化为，即，
不等式的解集为
故选: A
8、D
【解析】利用两平行线间的距离公式即可求解.
【详解】直线的方程可化为，
则与之间的距离
故选：D
9、B
【解析】方体的长、宽、高分别为,其顶点都在一个球面上,长方体的对角线的
长就是外接球的直径，所以球直径为：，
所以球的半径为，所以球的表面积是，故选B
10、D
【解析】根据对数的运算性质以及指数函数和对数函数的单调性即可判断
【详解】因为，而函数在定义域上递增，，所以
故选：D
11、C
【解析】由函数的解析式求得f（2）f（3）＜0，再根据根据函数零点的判定定理可得函数f（x）的零点所在的区间
【详解】∵函数f（x）=lnx+3x-7在其定义域上单调递增，
∴f（2）=ln2+2×3-7=ln2-1＜0，f（3）=ln3+9-7=ln3+2＞0，
∴f（2）f（3）＜0.
根据函数零点的判定定理可得函数f（x）的零点所在的区间是（2，3），
故选C
【点睛】本题主要考查求函数的值，函数零点的判定定理，属于基础题
12、B
【解析】由题意长方体的外接球的直径就是长方体的对角线，求出长方体的对角线，就是求出球的直径，然后求出球的表面积
【详解】解：长方体的一个顶点上的三条棱长分别是3，4，5，且它的8个顶点都在同一个球面上，
所以长方体的对角线就是球的直径，长方体的对角线为：，
所以球的半径为：；则这个球的表面积是：
故选：
二、选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分,将答案写在答题卡上.）
13、##
【解析】右边化简可得，利用基本不等式，计算化简即可求得结果.
【详解】，
故,则，当且仅当时，等号成立
故答案为：
14、 ①. ②.
【解析】根据最小正周期以及关于的方程求解出的值，根据对称中心的公式求解出在上的对称中心；先求解出的值，然后根据角的配凑结合两角差的正弦公式求解出的值.
【详解】因为最小正周期为，所以，
又因为，所以，
所以或，
又因为，所以，所以，
所以，
令，所以，
又因为，所以，所以对称中心为；
因为，，所以，
若，则，不符合，
所以，所以，
所以，
故答案为：；.
15、①②④
【解析】
①连接 ，在正方体中， 平面 ，所以
平面平面，所以①是真命题；②连接MN，因为平面，所以，四边形MENF的对角线EF是定值，要使四边形MENF面积最小，只需MN的长最小即可，当M为棱的中点时，即当且仅当时，四边形MENF的面积最小；③因为，所以四边形是菱形，当时，的长度由大变小，当时，的长度由小变大，所以周长，是单调函数，是假命题；④连接，把四棱锥分割成两个小三棱锥，它们以为底，为顶点，因为三角形的面积是个常数，到平面的距离也是一个常数，所以四棱锥的体积为常函数；命题中真命题的序号为①②④
考点：面面垂直及几何体体积公式
16、-7
【解析】由已知是定义在上的奇函数, 当时, ，所以，则=
点睛：利用函数奇偶性求有关参数问题时，要灵活选用奇偶性的常用结论进行处理，可起到事半功倍的效果：
①若奇函数在处有定义，则；
②奇函数+奇函数=奇函数，偶函数+偶函数=偶函数，奇函数奇函数=偶函数偶函数=偶函数；
③特殊值验证法
三、解答题（本大题共6个小题，共70分。解答时要求写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。）
17、（1）A∩B＝∅；（2）（﹣∞，﹣5）
【解析】（1）由m＝﹣1求得B，再利用交集运算求解.
（2）根据B⊆A，分B＝∅和B≠∅两种求解讨论求解.
【详解】（1）m＝﹣1时，B＝{x|﹣7≤x≤﹣3}；
∴A∩B＝∅；
（2）∵B⊆A；
∴①B＝∅时，m﹣6＞2m﹣1；
∴m＜﹣5；
②B≠∅时，，此不等式组无解；
∴m的取值范围是（﹣∞，﹣5）
【点睛】本题主要考查集合的基本运算以及集合基本关系的应用，还考查了分类讨论的思想，属于基础题.
18、（1）（2）
【解析】
（1）由奇函数定义求；
（2）代入后结合对数恒等式计算．
【详解】（1）因为函数为奇函数，
所以恒成立，
可得.
（2）由（1）可得.
所以.
【点睛】本题考查函数的奇偶性，考查对数恒等式，属于基础题．
19、（1）值域为，不是有界函数；（2）
【解析】（1）把代入函数的表达式，得出函数的单调区间，结合有界函数的定义进行判断；（2）由题意知，对恒成立，令，对恒成立，设，，求出单调区间，得到函数的最值，从而求出的值.
试题解析：（1）当时，，令，∵，∴，；∵在上单调递增，∴，即在上的值域为，故不存在常数，使成立．∴函数在上不是有界函数
（2）由题意知，对恒成立，即：，令，∵，∴．∴对恒成立，∴，设，，由，由于在上递增，在上递减，在上的最大值为，在上的最小值为，∴实数的取值范围为
20、
【解析】因为和关于轴对称，所以，那么，（或），
所以.
【考点】同角三角函数，诱导公式，两角差余弦公式
【名师点睛】本题考查了角的对称关系，以及诱导公式，常用的一些对称关系包含：若与的终边关于轴对称，则 ，若与的终边关于轴对称，则，若与的终边关于原点对称，则.
21、（1）
（2）在，上单调递减，在，和，上单调递增
【解析】（1）由图知，，最小正周期，由，求得的值，再将点，代入函数的解析式中，求出的值，即可；
（2）由，，知，，再结合正弦函数的单调性，即可得解
【小问1详解】
解：由图知，，最小正周期，
因为，所以，
将点，代入函数的解析式中，得，
所以，，即，，
因为，所以，
故函数的解析式为；
【小问2详解】
解：因为，，所以，，
令，则，，
因为函数在，上单调递减，在，和，上单调递增，
令，得，
令，得，令，得，
所以在，上单调递减，在，和，上单调递增
22、（1）或；
（2）
【解析】（1）根据集合的补集和并集的定义进行求解即可；
（2）由充分不必要条件确定集合之间的关系，根据真子集的性质进行求解即可.
【小问1详解】
因为，所以，
因此或，而，
所以或；
【小问2详解】
因为p是q的充分不必要条件，
所以，因此有：，
故a的取值范围为.
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