泰安第一中学2022-2023学年高一上数学期末联考试题含解析.doc

2022-2023学年高一上数学期末模拟试卷
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题（本大题共10小题；在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题意，请将正确选项填涂在答题卡上.）
1．与直线垂直，且在轴上的截距为-2的直线方程为（）
A. B.
C. D.
2．已知当时，函数取最大值，则函数图象的一条对称轴为
A. B.
C. D.
3．已知函数，把函数的图像向右平移个单位，得到函数的图像，若是在内的两根，则的值为（ ）
A. B.
C. D.
4．函数f（x）=lnx+3x-7的零点所在的区间是（　　）
A. B.
C. D.
5．函数的最小值和最小正周期为（ ）
A.1和2π B.0和2π
C.1和 π D.0和π
6．在直角梯形中， ， ， ， 分别为， 的中点，以为圆心， 为半径的圆交于，点在弧上运动（如图）.若，其中， ，则的取值范围是

A. B.
C. D.
7．已知函数在区间上有且只有一个零点，则正实数的取值范围是（）
A. B.
C. D.
8．已知，，，则的大小关系为
A. B.
C. D.
9．若命题“”是命题“”的充分不必要条件，则的取值范围是（）
A. B.
C. D.
10．若，，则的值为（ ）
A. B.－
C. D.
二、填空题（本大题共5小题，请把答案填在答题卡中相应题中横线上）
11．若x，y∈(0,＋∞)，且x＋4y＝1，则的最小值为________.
12．已知集合．
（1）集合A的真子集的个数为___________；
（2）若，则t的所有可能的取值构成的集合是___________．
13．函数的单调递减区间为__
14．某学校在校学生有2000人，为了增强学生的体质，学校举行了跑步和登山比赛，每人都参加且只参加其中一项比赛，高一、高二、高三年级参加跑步的人数分别为a，b，c，且，全校参加登山的人数占总人数的.为了了解学生对本次比赛的满意程度，按分层抽样的方法从中抽取一个容量为200的样本进行调查，则应从高三年级参加跑步的学生中抽取人数为______.
15．已知函数是幂函数，且过点，则___________.
三、解答题（本大题共6小题.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）
16．设矩形的周长为，其中，如图所示，把它沿对角线对折后，交于点.设，.

（1）将表示成的函数，并求定义域；
（2）求面积的最大值.
17．（1）计算：；
（2）已知，，求，的值.
18．我们知道，声音由物体的振动产生，以波的形式在一定的介质（如固体、液体、气体）中进行传播．在物理学中，声波在单位时间内作用在与其传递方向垂直的单位面积上的能量称为声强I（）．但在实际生活中，常用声音的声强级D（分贝）来度量．为了描述声强级D（）与声强I（）之间的函数关系，经过多次测定，得到如下数据：
组别
1
2
3
4
5
6
7
声强I（）

①

声强级D（）
10
13.01
14.77
16.02
20
40
②
现有以下三种函数模型供选择：
（1）试根据第1-5组的数据选出你认为符合实际的函数模型，简单叙述理由，并根据第1组和第5组数据求出相应的解析式；
（2）根据（1）中所求解析式，结合表中已知数据，求出表格中①、②数据的值；
（3）已知烟花的噪声分贝一般在，其声强为；鞭炮的噪声分贝一般在，其声强为；飞机起飞时发动机的噪声分贝一般在，其声强为，试判断与的大小关系，并说明理由
19．设函数是定义在R上的奇函数.
（Ⅰ）求实数m的值；
（Ⅱ）若，且在上的最小值为2，求实数k的取值范围.
20．近年来，国产手机因为其炫酷的外观和强大的功能，深受国人喜爱，多次登顶智能手机销售榜首.为了调查本市市民对某款国产手机的满意程度，专卖店的经理策划了一次问卷调查，让顾客对手机的“外观”和“性能”打分，其相关得分情况统计如茎叶图所示，

且经理将该款手机上市五个月以来在本市的销量按月份统计如下：
月份代码t
1
2
3
4
5
销售量y（千克）
5.6
5.7
6
6.2
6.5
（1）记“外观”得分的平均数以及方差分别为，，“性能”得分的平均数以及方差分别， .若，求茎叶图中字母表示的数；并计算与；
（2）根据上表中数据，建立关于的线性回归方程，并预测第6个月该款手机在本市的销售量.
附：对于一组数据（）其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：
， 参考数据：
21．已知函数对任意实数x，y满足，，当时，
判断在R上的单调性，并证明你的结论
是否存在实数a使f 成立？若存在求出实数a；若不存在，则说明理由

参考答案

一、选择题（本大题共10小题；在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题意，请将正确选项填涂在答题卡上.）
1、A
【解析】先求出直线的斜率，再利用直线的点斜式方程求解.
【详解】由题得所求直线的斜率为，
∴所求直线方程为，
整理为
故选：A
【点睛】方法点睛：求直线的方程，常用的方法：待定系数法，先定式（从直线的五种形式中选择一种作为直线的方程），后定量（求出直线方程中的待定系数）.
2、A
【解析】由最值确定参数a,再根据正弦函数性质确定对称轴
【详解】由题意得
因此
当时，，选A.
【点睛】本题考查三角函数最值与对称轴，考查基本分析求解能力，属基础题.
3、A
【解析】把函数图象向右平移个单位，得到函数，化简得 且周期为，因为是在内的两根，所以必有，根据 得，
令，则，，所以 ,故选A.
4、C
【解析】由函数的解析式求得f（2）f（3）＜0，再根据根据函数零点的判定定理可得函数f（x）的零点所在的区间
【详解】∵函数f（x）=lnx+3x-7在其定义域上单调递增，
∴f（2）=ln2+2×3-7=ln2-1＜0，f（3）=ln3+9-7=ln3+2＞0，
∴f（2）f（3）＜0.
根据函数零点的判定定理可得函数f（x）的零点所在的区间是（2，3），
故选C
【点睛】本题主要考查求函数的值，函数零点的判定定理，属于基础题
5、D
【解析】由正弦函数的性质即可求得的最小值和最小正周期
【详解】解：∵，
∴当＝﹣1时，f（x）取得最小值，
即f（x）min；
又其最小正周期Tπ，
∴f（x）的最小值和最小正周期分别是：，π
故选D
【点睛】本题考查正弦函数的周期性与最值，熟练掌握正弦函数的图象与性质是解题关键，属于中档题
6、D
【解析】建立如图所示的坐标系，则A（0，0），B（2，0），D（0，1），C（2，2），E（2，1），F（1，1.5），P（cosα，sinα）（0≤α），由λμ得，（cosα，sinα）＝λ（2，1）+μ（﹣1，），λ，μ用参数α进行表示，利用辅助角公式化简，即可得出结论
【详解】解：建立如图所示的坐标系，
则A（0，0），B（2，0），D（0，1），C（2，2），E（2，1），F（1，1.5），
P（cosα，sinα）（0≤α），
由λμ得，（cosα，sinα）＝λ（2，1）+μ（﹣1，）
⇒cosα＝2λ﹣μ，sinα＝λ
⇒λ，
∴6λ+μ＝6（）2（sinα+cosα）＝2sin（）
∵，∴sin（）
∴2sin（）∈[2，2]，即6λ+μ的取值范围是[2，2]
故选D

【点睛】本题考查平面向量的坐标运算，考查学生的计算能力，正确利用坐标系是关键．属于中档题
7、D
【解析】将零点个数问题转化为两个函数图象的交点个数问题，通过对参数讨论作图可解.
【详解】在区间上有且只有一个零点在区间上有且只有一个解，即在区间上有且只有一个解
令，，
当，即时，因为在上单调递减，在上单调递增
且，，
由图1知，此时函数与在上只有一个交点；
当，即时，因为，所以要使函数与在上有且只有一个交点，由图2知，即，解得或（舍去）.
综上，的取值范围为.
故选：D

8、A
【解析】利用利用等中间值区分各个数值的大小
【详解】；
；

故
故选A
【点睛】利用指数函数、对数函数的单调性时要根据底数与的大小区别对待
9、C
【解析】解不等式得，进而根据题意得集合是集合的真子集，再根据集合关系求解即可.
【详解】解：解不等式得，
因为命题“”是命题“”的充分不必要条件，
所以集合是集合的真子集，
所以
故选：C
10、D
【解析】直接利用同角三角函数关系式的应用求出结果.
【详解】已知，，
所以，即，
所以，
所以，
所以.
故选：D.

二、填空题（本大题共5小题，请把答案填在答题卡中相应题中横线上）
11、9
【解析】由x＋4y＝1，结合目标式，将x＋4y替换目标式中的“1”即可得到基本不等式的形式，进而求得它的最小值，注意等号成立的条件
【详解】∵x，y∈(0,＋∞)且x＋4y＝1
∴当且仅当有时取等号
∴的最小值为9
故答案为：9
【点睛】本题考查了基本不等式中“1”的代换，注意基本不等式使用条件“一正二定三相等”，属于简单题
12、 ①.15 ②.
【解析】（1）根据集合真子集的计算公式即可求解；（2）根据集合的包含关系即可求解．
【详解】解：（1）集合A的真子集的个数为个，
（2）因为，又，
所以t可能的取值构成的集合为，
故答案为：15；．
13、
【解析】由根式内部的代数式大于等于0，求得原函数的定义域，再求出内层函数的减区间，即可得到原函数的减区间
【详解】由，得或，
令，该函数在上单调递减，而y＝是定义域内的增函数，
∴函数的单调递减区间为
故答案为：
14、
【解析】由题意求得样本中抽取的高三的人数为人进而求得样本中高三年级参加登山的人，即可求解.
【详解】由题意，高一、高二、高三年级参加跑步的人数分别为a，b，c，且，
所以样本中抽取的高三的人数为人，
又因为全校参加登山的人数占总人数的，
所以样本中高三年级参加登山的人数为，
所以样本中高三年级参加跑步的人数为人.
故答案为：.
15、
【解析】由题意，设代入点坐标可得，计算即得解
【详解】由题意，设，过点
故，解得
故
则
故答案为：

三、解答题（本大题共6小题.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）
16、（1），；（2）
【解析】（1）由题意得，则，根据，可得，所以，化简整理，即可求得y与x的关系，根据，即可求得x的范围，即可得答案；
（2）由（1）可得，，则的面积，根据x的范围，结合基本不等式，即可求得答案.
【详解】（1）由题意得：，则，
因为在和中，，
所以，即，
所以在中，，
所以，
化简可得，
因为，所以，解得，
所以，；
（2）由（1）可得，，
所以面积，
因为，所以，
所以，
当且仅当，即时等号成立，
此时面积，
即面积最大值为
【点睛】解题的关键是根据条件，表示出各个边长，根据三角形全等，结合勾股定理，进行求解，易错点为：利用基本不等式求解时，需满足“①正”，“②定”，“③相等”，注意检验取等条件是否成立，考查分析理解，计算化简的能力，属中档题.
17、（1）；（2）
【解析】（1）根据指数运算与对数运算的法则计算即可；
（2）先根据指对数运算得，进而，再将其转化为求解即可.
【详解】解：（1）原式＝
＝
（2）
∴，，化为：，
，解得
∴
18、（1），理由见解析
（2），
（3），理由见解析
【解析】（1）根据表格中的数据进行分析，可排除一次函数和二次函数，再根据待定系数法，即可得到结果；
（2）由（1），令，可求出的值，即可知道①处的值；由已知可得时，可得，进而可求出当时的值，进而求出②处的值；
（3）设烟花噪声、鞭炮噪声和飞机起飞时发动机噪声的声强级分别为，由已知可得，代入关系式，即可判断与的大小关系.
【小问1详解】
解：选择.
由表格中的前四组数据可知，当自变量增加量为时，函数值的增加量不是
同一个常数，所以不应该选择一次函数；
同时当自变量增加量为时，函数值的增加量从变为，后又缩小为，函数值的增加量越来越小，也不应该选择二次函数；
故应选择.
由已知可得：，即，解之得
所以解析式为.
【小问2详解】
解：由（1）知，
令，可得，，故①处应填；
由已知可得时，，
所以，
又当时，，
故②处应填.
【小问3详解】
解：设烟花噪声、鞭炮噪声和飞机起飞时发动机噪声的声强级分别为，
由已知，
故有，
所以，
因此，即，所以.
19、 (Ⅰ)；(Ⅱ).
【解析】（Ⅰ）由奇函数即可解得，需要检验；
（Ⅱ）由得,进而得，令，得,结合的范围求解即可.
试题解析：
(Ⅰ)
经检验成立 .
(Ⅱ).
，设
设.
.
当时，成立.
当时，成立 .
当时，不成立，舍去.
综上所述，实数的取值范围是.
20、（1）,,;（2）回归方程为;预测第6个月该款手机在本市的销售量为6.69（千台）.
【解析】（1）由茎叶图求出，利用即可得出值，利用方差公式计算与；
（2）由题意知代入可得，代入可得，得出回归方程为，即可预测第6个月该款手机在本市的销售量.
【详解】解：（1）由茎叶图可知

解得

（2）由题意知

所求回归方程为
令，
故预测第6个月该款手机在本市的销售量为6.69（千台）.
【点睛】本题考查了统计图，茎叶图的认识和平均数，方差的公式应用，以及线性回归方程的应用，属于中档题
21、（1）在上单调递增，证明见解析；（2）存在，.
【解析】（1）令，则，根据已知中函数对任意实数满足，当时，易证得，由增函数的定义，即可得到在上单调递增；（2）由已知中函数对任意实数满足，，利用“凑”的思想，我们可得，结合（1）中函数在上单调递增，我们可将转化为一个关于的一元二次不等式，解不等式即可得到实数的取值范围
试题解析：（1）设，∴，又，
∴

即，∴在上单调递增
（2）令，则，
∴
∴，∴，即，
又在上单调递增，∴，
即，解得，故存在这样的实数，即
考点：1.抽象函数及其应用；2.函数单调性的判断与证明；3.解不等式.
【方法点睛】本题主要考查的是抽象函数及其应用,函数单调性的判断与证明,属于中档题，此类题目解题的核心思想就是对抽象函数进行变形处理，然后利用定义变形求出的大小关系，进而得到函数的单调性，对于解不等式，需要经常用到的利用“凑”的思想，对已知的函数值进行转化，求出常数所对的函数值，从而利用前面证明的函数的单调性进行转化为关于的一元二次不等式，因此正确对抽象函数关系的变形以及利用“凑”的思想，对已知的函数值进行转化是解决此类问题的关键.