初一数学奥林匹克竞赛题(含标准答案).doc

初一数学奥林匹克竞赛题（含答案）初一奥数题一甲多开支100元，三年后负债600元求每人每年收入多少？ S的末四位数字的和是多少？4一个人以3千米/小时的速度上坡，以6千米/小时的速度下坡，行程12千米共用了3小时20分钟，试求上坡与下坡的路程5求和：6证明：质数p除以30所得的余数一定不是合数8若两个整数x，y使x2+xy+y2能被9整除，证明：x和y能被3整除9如图195所示在四边形ABCD中，对角线AC，BD的中点为M，N，MN的延长线与AB边交于P点求证：PCD的面积等于四边形ABCD的面积的一半解答：所以 x=5000(元)所以S的末四位数字的和为1995=243因为 a-b0，即ab即当ba0或ba0时，等式成立4设上坡路程为x千米，下坡路程为y千米依题意则有由有2x+y=20， 由有y=12-x将之代入得 2x+12-x=20所以x=8(千米)，于是y=4(千米)5第n项为所以6设p=30qr，0r30因为p为质数，故r0，即0r30假设r为合数，由于r30，所以r的最小质约数只可能为2，3，5再由p=30qr知，当r的最小质约数为2，3，5时，p不是质数，矛盾所以，r一定不是合数7设由式得(2p-1)(2q-1)=mpq，即(4-m)pq+1=2(p+q)可知m4由，m0，且为整数，所以m=1，2，3下面分别研究p，q(1)若m=1时，有解得p=1，q=1，与已知不符，舍去(2)若m=2时，有因为2p-1=2q或2q-1=2p都是不可能的，故m=2时无解(3)若m=3时，有解之得故 pq=88因为x2+xy+y2=(x-y)2+3xy由题设，9(x2+xyy2)，所以3(x2xyy2)，从而3(x-y)2因为3是质数，故3(x-y)进而9(x-y)2由上式又可知，93xy，故3xy所以3x或3y若3x，结合3(x-y)，便得3y；若3y，同理可得，3x9连结AN，CN，如图1103所示因为N是BD的中点，所以上述两式相加另一方面，SPCD=SCNDSCNPSDNP因此只需证明SANDSCNPSDNP由于M，N分别为AC，BD的中点，所以SCNP=SCPM-SCMN =SAPM-SAMN=SANP又SDNP=SBNP，所以SCNPSDNP=SANP+SBNP=SANB=SAND初一奥数题二1已知3x2-x=1，求6x3+7x2-5x2000的值2某商店出售的一种商品，每天卖出100件，每件可获利4元，现在他们采用提高售价、减少进货量的办法增加利润，根据经验，这种商品每涨价1元，每天就少卖出10件试问将每件商品提价多少元，才能获得最大利润？最大利润是多少元？3如图196所示已知CBAB，CE平分BCD，DE平分CDA，12=90求证：DAAB4已知方程组的解应为一个学生解题时把c抄错了，因此得到的解为求a2b2c2的值5求方程xy-2x+y=4的整数解6王平买了年利率7.11的三年期和年利率为7.86的五年期国库券共35000元，若三年期国库券到期后，把本息再连续存两个一年期的定期储蓄，五年后与五年期国库券的本息总和为47761元，问王平买三年期与五年期国库券各多少？(一年期定期储蓄年利率为5.22)7对k，m的哪些值，方程组 至少有一组解？8求不定方程3x4y13z=57的整数解9小王用5元钱买40个水果招待五位朋友水果有苹果、梨子和杏子三种，每个的价格分别为20分、8分、3分小王希望他和五位朋友都能分到苹果，并且各人得到的苹果数目互不相同，试问他能否实现自己的愿望？解答：1原式=2x(3x2-x)+3(3x2-x)-2x+2000 =2x131-2x+2000=20032原来每天可获利4100元，若每件提价x元，则每件商品获利(4x)元，但每天卖出为(100-10x)件如果设每天获利为y元，则y (4x)(100-10x)=400100x-40x-10x2=-10(x2-6x9)90400=-10(x-3)2490所以当x=3时，y最大=490元，即每件提价3元，每天获利最大，为490元3因为CE平分BCD，DE平分ADC及12=90(图1104)，所以ADCBCD=180，所以 ADBC又因为 ABBC，由， ABAD4依题意有所以a2+b2+c2=345xy-2x+y=4，即 x(y-2)+(y-2)=2，所以(x+1)(y-2)=2因为x10，且x，y都是整数，所以所以有6设王平买三年期和五年期国库券分别为x元和y元，则因为y=35000-x，所以 x(10.07113)(10.0522)2+(35000-x)(1+0.07865)=47761，所以 1.3433x48755-1.393x=47761，所以 0.0497x=994，所以 x=20000(元)，y=35000-20000=15000(元)7因为 (k1)xm-4， m为一切实数时，方程组有唯一解当k=1，m=4时，的解为一切实数，所以方程组有无穷多组解当k=1，m4时，无解所以，k1，m为任何实数，或k=1，m=4时，方程组至少有一组解8由题设方程得z3m-yx=19-y-4(3m-y)-m =19+3y-13m原方程的通解为 其中n，m取任意整数值9设苹果、梨子、杏子分别买了x，y，z个，则消去y，得12x-5z=180它的解是x=90-5t，z=180-12t代入原方程，得y=-23017t故x=90-5t，y=-230+17t，z=180-12t x=20，y=8，z=12因此，小王的愿望不能实现，因为按他的要求，苹果至少要有123+456=2120个初一奥数题三1解关于x的方程2解方程其中abc03求(8x3-6x2+4x-7)3(2x5-3)2的展开式中各项系数之和4液态农药一桶，倒出8升后用水灌满，再倒出混合溶液4升，再用水灌满，这时农药的浓度为72，求桶的容量5满足-1.77x=-2x的自然数x共有几个？这里x表示不超过x的最大整数，例如-5.6=-6，3=36设P是ABC内一点求：P到ABC三顶点的距离和与三角形周长之比的取值范围7甲乙两人同时从东西两站相向步行，相会时，甲比乙多行24千米，甲经过9小时到东站，乙经过16小时到西站，求两站距离8黑板上写着三个数，任意擦去其中一个，将它改写成其他两数的和减1，这样继续下去，最后得到19，1997，1999，问原来的三个数能否是2，2，2？9设有n个实数x1，x2，xn，其中每一个不是+1就是-1，且求证：n是4的倍数解答：1化简得6(a-1)x=3-6b+4ab，当a1时，2将原方程变形为由此可解得x=ab+c3当x=1时，(8-6+4-7)3(2-1)2=1即所求展开式中各项系数之和为1依题意得去分母、化简得7x2-300x+800=0，即7x-20)(x-40)=0，5若n为整数，有nx=nx，所以-1.77x=-2x0.23x=-2x+0.23x由已知-1.77x=-2x，所以-2x=-2x+0.23x，所以 0.23x=0又因为x为自然数，所以00.23x1，经试验，可知x可取1，2，3，4，共4个6如图1105所示在PBC中有BCPBPC， 延长BP交AC于D易证PBPCABAC 由， BCPBPCAB+AC， 同理 ACPAPCACBC， ABPAPBACAB 得ABBCCA2(PAPBPC)2(ABBCCA)所以7设甲步行速度为x千米/小时，乙步行速度为y千米/小时，则所求距离为(9x+16y)千米依题意得由得16y2=9x2， 由得16y=249x，将之代入得即 (249x)2=(12x)2解之得于是所以两站距离为98166=168(千米)8答案是否定的对于2，2，2，首先变为2，2，3，其中两个偶数，一个奇数以后无论改变多少次，总是两个偶数，一个奇数(数值可以改变，但奇偶性不变)，所以，不可能变为19，1997，1999这三个奇数。又因为所以，k是偶数，从而n是4的倍数初一奥数题四1已知a，b，c，d都是正数，并且ada，cdb求证：acbdab2已知甲种商品的原价是乙种商品原价的1.5倍因市场变化，乙种商品提价的百分数是甲种商品降价的百分数的2倍调价后，甲乙两种商品单价之和比原单价之和提高了2，求乙种商品提价的百分数3在锐角三角形ABC中，三个内角都是质数求三角形的三个内角4某工厂三年计划中，每年产量递增相同，若第三年比原计划多生产1000台，那么每年比上一年增长的百分数就相同，而且第三年的产量恰为原计划三年总产量的一半，求原计划每年各生产多少台？ z=x+y+y+1+x-2y+4，求z的最大值与最小值8从1到500的自然数中，有多少个数出现1或5？9从19，20，21，98这80个数中，选取两个不同的数，使它们的和为偶数的选法有多少种？解答：1由对称性，不妨设ba，则acbdacad=a(cd)ab2设乙种商品原单价为x元，则甲种商品的原单价为1.5x元设甲商品降价y，则乙商品提价2y依题意有1.5x(1-y)+x(12y)=(1.5xx)(12)，化简得1.5-1.5y+1+2y=2.51.02所以y=0.1=10，所以甲种商品降价10，乙种商品提价203因为A+BC=180，所以A，B，C中必有偶数唯一的偶质数为2，所以C=2所以A+B=178由于需A，B为奇质数，这样的解不唯一，如4设每年增产d千台，则这三年的每一年计划的千台数分别为a-d，a，ad依题意有 解之得所以三年产量分别是4千台、6千台、8千台不等式组： 所以 x2； 无解6设原式为S，则 所以又0.112-0.001=0.111因为所以 =0.1057由x1，y1得 -1x1，-1y1所以y10，x-2y+4-1-21+4=10所以z=x+y+(y+1)+(x-2y+4)=x+yx-y5(1)当x+y+0时，z=-(x+y)x-y+5=5-2y由-1y1可推得35-2y7，所以这时，z的最小值为3、最大值为7(2)当x+y0时，z=(xy)+(x-y+5)=2x+5由-1x1及可推得32x+57，所以这时z的最小值为3、最大值为7由(1)，(2)知，z的最小值为3，最大值为78百位上数字只是1的数有100，101，199共100个数；十位上数字是1或5的(其百位上不为1)有2310=60(个)个位上出现1或5的(其百位和十位上都不是1或5)有238=48(个)再加上500这个数，所以，满足题意的数共有100+60+48+1=209(个)9从19到98共计80个不同的整数，其中有40个奇数，40个偶数第一个数可以任选，有80种选法第一个数如果是偶数，第二个数只能在其他的39个偶数中选取，有39种选法同理，第一个数如果是奇数，第二个数也有39种选法，但第一个数为a，第二个为b与第一个为b，第二个为a是同一种选法，所以总的选法应该折半，即共有种选法初一奥数题五1一项任务，若每天超额2件，可提前计划3天完工，若每天超额4件，可提前5天完工，试求工作的件数和原计划完工所用的时间2已知两列数2，5，8，11，14，17，2(200-1)3，5，9，13，17，21，25，5(200-1)4，它们都有200项，问这两列数中相同的项数有多少项？3求x3-3px2q能被x22axa2整除的条件4证明不等式5若两个三角形有一个角对应相等求证：这两个三角形的面积之比等于夹此角的两边乘积之比6已知(x-1)2除多项式x4ax3-3x2bx3所得的余式是x+1，试求a，b的值7今有长度分别为1，2，3，9的线段各一条，可用多少种不同方法，从中选用若干条，使它们能围成一个正方形？8平面上有10条直线，其中4条是互相平行的问：这10条直线最多能把平面分成多少部分？9边长为整数，周长为15的三角形有多少个？解答：1设每天计划完成x件，计划完工用的时间为y天，则总件数为xy件依题意得 解之得总件数xy=815=120(件)，即计划用15天完工，工作的件数为120件2第一列数中第n项表示为2(n-1)3，第二列数中第m项表示为5(m-1)4要使2(n-1)35+(m-1)4所以因为1n200，所以所以m=1，4，7，10，148共50项3x3-3px+2q被x22axa2除的余式为3(a2-p)x2(qa3)，所以所求的条件应为4令因为所以5如图1-106(a)，(b)所示ABC与FDE中，A=D现将DEF移至ABC中，使A与D重合，DE=AE，DF=AF，连结FB此时，AEF的面积等于三角形DEF的面积得6不妨设商式为x2+x由已知有x4ax3-3x2bx3=(x-1)2(x2+x)+(x1)=(x2-2x1)(x2 x)x1=x4+(-2)x3+(1-2)x2(1-2)x+1比较等号两端同次项的系数，应该有只须解出所以a=1，b=0即为所求7因为所以正方形的边长11下面按正方形边的长度分类枚举：(1)边长为11：92=8+3=74=6+5， 可得1种选法(2)边长为10：91=82=73=6+4， 可得1种选法(3)边长为9：9=8+1=7+2=6+3=5+4， 可得5种选法(4)边长为8：8=7+1=6+2=5+3， 可得1种选法(5)边长为7：7=6+1=52=43， 可得1种选法(6)边长6时，无法选择综上所述，共有1+1+5+1+1=9种选法组成正方形8先看6条不平行的直线，它们最多将平面分成2+23+4+56=22个部分现在加入平行线加入第1条平行线，它与前面的6条直线最多有6个交点，它被分成7段，每一段将原来的部分一分为二，故增加了7个部分加入第2，第3和第4条平行线也是如此，即每加入一条平行线，最多增加7个部分因此，这些直最多将平面分成22+74=50个部分9不妨设三角形的三边长a，b，c满足abc由bca，abc=15，abc可得，15=a(bc)2a，所以a7又15=a+bc3a，故a5于是a=5，6，7当a=5时，bc=10，故b=c=5；当a=b时，bc=9于是b=6，c=3，或b=5，c=4；当a=7时，b+c=8，于是b=7，c=1，或b=6，c=2，或b=5，c=3，或b=4，c=4所以，满足题意的三角形共有7个18 / 18