11年川大高等代数及答案.doc

四川大学2011年攻读硕士学位研究生入学考试题
一、（本题满分20分）
1. (5分)设是数域上的线性空间，.令.证明：是的子空间（称为由生成的子空间）.
证明：取且，
，则 ①
，则 ②
由①、②，得是的子空间
2. （15分）设是数域上的阶方阵组成的线性空间，设是由如下的个矩阵生成的的子空间：
，，，，
（1）求并写出的一个基.
（2）设映射：为：，其中表示矩阵的迹.
求并写出的一个基.
解：（1）取的一个基、、、，在这个基下对应的矩阵是
有，则

则，故的一个基为、、
（2）取矩阵，使得，根据题意，有
由，有方程
此方程的基础解系由个线性无关的向量构成，即、
，
则有，故的一个基为、
二、（本题满分20分）设，都是数域且.
1.(5分)设是上的维列向量.证明：在上线性相关当且仅当在上线性相关.
证明：取的极大无关组为
必要性：
在上线性相关，则方程有解（）
有，则方程在上有解
故在上线性相关
充分性：
在上线性相关，则方程在上有解
在上有
由，则在上也有
故方程在上有解
故在上线性相关
2.（5分）设，为上的阶方阵.证明：，在上相似当且仅当，在上相似.
证明：必要性：
由，在上相似，存在可逆矩阵，使得
又，则，在上相似
充分性：
由，在上相似，则在上，有相同的行列式因子（）
由，，有属于
则在上，也有相同的行列式因子
故，在上相似
3.（5分）设上的次多项式在上有个根.
证明：属于.
证明：令 （）
由根与系数的关系，有
、、……
由为对称多项式，则可由表示
故属于
4.(5分)证明：关于数的加法和乘法是上的线性空间.
证明：取上的元素、，数、
由， ，有为上的元素
，为上的元素
则关于数的加法和乘法是上的线性空间
三、(本题满分20分)给定任意的可逆矩阵.请说出4种求的方法（使用计算机程序的方法除外），并简要说明理由.
解：法1：通过初等变换
由行变，有；由列变，有
法2：通过伴随矩阵
由，有
法3：通过H-C定理
令的特征多项式为
如，有，则含特征值，不可逆
故，则
有
法4：通过的最小多项式
令的最小多项式
同上，有，则
有
四、（本题满分20分）设，是素数.
1.（10分）证明在有理数域上不可约.
2.（10分）令，其中是全体阶复矩阵组成的集合.把中的矩阵按相似关系分类，即，属于同一类当且仅当存在可逆的复矩阵使得.问中的全部矩阵可以分成几类？说明理由.
1.证明：，令，有

由艾森斯坦判别法，为素数，、不能整除、不能整除
故在有理数域不可约，即在有理数域不可约.

2.证明： 由，又，则不是的特征值
由，则有个特征值（）
则存在可逆矩阵，使得
除去排列次序外是由唯一确定的，则可能为
，，……，
共有种，则中的全部矩阵可分为类
五、（本题满分20分）设是数域上的维线性空间，表示上的全体线性变换组成的线性空间.
1.（10分）求并写出的一个基.
2.（10分）设，设的特征多项式为.证明：如果可以分解为非平凡的不变子空间的直和，那么，在上可约.问：此结论的逆命题是否成立？说明理由.
1.解：设是 的一组基， 是维的，可知V的全体线性变换与同构， 故V的全体线性变换组成的线性空间是维的。
设V的一组基为，令
则对任意的，有

显然线性无关，且对任意的都可以由线性表出，所以是的一组基

2.证明：在上可约，但在上不一定有根，故逆命题不成立
六、（本题满分20分）设是维欧式空间，内积为
1.（10分）设是中的一个线性无关的向量组.证明如下的Schmidt正交化定理：存在中的一个两两正交的向量组满足：对任意有与等价.
2.（10分）对中的任意一个向量组，证明：线性无关的充分必要条件是矩阵是正定矩阵.
1.证明：由无关，把正交化，得正交向量组
则
在和中分别任取个向量
有，故和等价
令（）
故存在中的一个两两正交的向量组满足：对任意有与等价

2.证明：必要性：
线性无关，则构成的一个子空间
则为的一个基
是这个基下的度量矩阵，故此矩阵正定
充分性：

由该矩阵正定，有该矩阵的秩为（），令矩阵，则
由，由，故
则有线性无关
八、（本题满分15分）求实矩阵使得
解：，即的特征值为、、
当时，
，基础解系由两个特征向量构成，即、
当时，
，基础解系由一个特征向量构成，即
则有个特征值对应个线性无关的特征向量，可对角化
令，有
由，得，则
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