2023届唐山市重点中学高一上数学期末经典试题含解析.doc

2022-2023学年高一上数学期末模拟试卷
注意事项
1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．
2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．
3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．
4．作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效．
5．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．

一、选择题（本大题共12小题，共60分）
1．若直线平面，直线平面，则直线a与直线b的位置关系为（ ）
A.异面 B.相交
C.平行 D.平行或异面
2．将函数图象上所有点的横坐标缩短为原来的倍（纵坐标不变），再向右平移个单位，得到函数的图象，则函数的图象的一条对称轴为
A. B.
C. D.
3．已知函数的值域为R，则实数的取值范围是( )
A. B.
C. D.
4．已知是方程的两根，且，则的值为
A. B.
C.或 D.
5．已知实数，，，则，，的大小关系为（）
A. B.
C. D.
6．已知一个空间几何体的三视图如图所示，根据图中标出的尺寸，可得这个几何体的体积是（）

A.6 B.8
C.12 D.18
7．手机屏幕面积与手机前面板面积的比值叫手机的“屏占比”，它是手机外观设计中一个重要参数，其值通常在0~1之间．若设计师将某款手机的屏幕面积和手机前面板面积同时增加相同的数量，升级为一款新手机，则该款手机的“屏占比”和升级前相比（）
A.不变 B.变小
C.变大 D.变化不确定
8．在区间上单调递减的函数是（）
A. B.
C. D.
9．在线段上任取一点，则此点坐标大于1的概率是（ ）
A. B.
C. D.
10．如图是一个体积为10的空间几何体的三视图，则图中的值为(　　)

A2 B.3
C.4 D.5
11．关于不同的直线与不同的平面，有下列四个命题：
①， ，且，则 ②， ，且，则
③， ，且，则 ④， ，且，则
其中正确命题的序号是
A.① ② B.②③
C.①③ D.③④
12．设，则
A.f(x)与g(x)都是奇函数 B.f(x)是奇函数，g(x)是偶函数
C.f(x)与g(x)都是偶函数 D.f(x)是偶函数，g(x)是奇函数
二、填空题（本大题共4小题，共20分）
13．如图所示，正方体的棱长为1，B′C∩BC′＝O，则AO与A′C′所成角的度数为________.

14．直线l过点P(－1,2)且到点A(2,3)和点B(－4,5)的距离相等，则直线l的方程为____________
15．若，则实数____________.
16．已知，若，则的最小值是___________.
三、解答题（本大题共6小题，共70分）
17．已知两条直线l1：ax＋2y－1＝0，l2：3x＋(a＋1)y＋1＝0.
(1)若l1∥l2，求实数a的值；
(2)若l1⊥l2，求实数a的值
18．在平面直角坐标系xOy中，角的顶点与原点O重合，始边与x轴的正半轴重合，它的终边过点，以角的终边为始边，逆时针旋转得到角
Ⅰ求值；
Ⅱ求的值
19．已知函数.
（1）求函数的单调区间；
（2）若函数在有且仅有两个零点，求实数取值范围.
20．如图所示，某市政府决定在以政府大楼O为中心，正北方向和正东方向的马路为边界的扇形地域内建造一个图书馆.为了充分利用这块土地，并考虑与周边环境协调，设计要求该图书馆底面矩形的四个顶点都要在边界上，图书馆的正面要朝市政府大楼.设扇形的半径OM＝R，∠MOP＝45°，OB与OM之间的夹角为θ.

（1）将图书馆底面矩形ABCD的面积S表示成θ的函数.
（2）若R＝45 m，求当θ为何值时，矩形ABCD的面积S最大？最大面积是多少？(取＝1.414)
21．函数的定义域，且满足对于任意,有
(1) 求的值
(2) 判断的奇偶性，并证明
(3)如果，且在上是增函数，求的取值范围
22．已知幂函数为偶函数
（1）求的解析式；
（2）若函数在区间（2，3）上为单调函数，求实数的取值范围

参考答案

一、选择题（本大题共12小题，共60分）
1、C
【解析】利用线面垂直的性质定理进行判断.
【详解】由于垂直于同一平面的两直线平行，故当直线平面，直线平面时，直线与直线平行.
故选：C.
2、C
【解析】，
所以，所以，所以是一条对称轴
故选C
3、C
【解析】分段函数值域为R，在x＝1左侧值域和右侧值域并集为R.
【详解】当，
∴当时，，
∵的值域为R，∴当时，值域需包含，
∴，解得，
故选：C.
4、A
【解析】∵是方程的两根，
∴，
∴
又，
∴，
∵，
∴又，
∴，
∴．选A
点睛：解决三角恒等变换中给值求角问题的注意点
解决“给值求角”问题时，解题的关键也是变角，即把所求角用含已知角的式子表示，然后求出适合的一个三角函数值．再根据所给的条件确定所求角的范围，最后结合该范围求得角，有时为了解题需要压缩角的取值范围
5、A
【解析】利用指数函数和对数函数的单调性比较a三个数与0、1的大小关系，
由此可得出a、b、c大小关系.
【详解】解析：由题，，，即有.
故选：A.
6、A
【解析】由三视图还原几何体：底面等腰直角三角形，高为4的三棱锥，应用棱锥的体积公式求体积即可.
【详解】由三视图可得如下几何体：底面等腰直角三角形，高为4的三棱锥，

∴其体积.
故选：A.
7、C
【解析】做差法比较与的大小即可得出结论.
【详解】设升级前的“屏占比”为，升级后的“屏占比”为（，）．因为，所以升级后手机“屏占比”和升级前相比变大，
故选：C
8、C
【解析】依次判断四个选项的单调性即可.
【详解】A选项：增函数，错误；B选项：增函数，错误；
C选项：当时，，为减函数，正确；
D选项：增函数，错误.
故选：C.
9、B
【解析】设“所取点坐标大于1”为事件A，则满足A的区间为[1,3]
根据几何概率的计算公式可得，
故选B.
点睛：(1)当试验的结果构成的区域为长度、面积、体积等时，应考虑使用几何概型求解
(2)利用几何概型求概率时，关键是试验的全部结果构成的区域和事件发生的区域的寻找，有时需要设出变量，在坐标系中表示所需要的区域
（3）几何概型有两个特点：一是无限性，二是等可能性．基本事件可以抽象为点，尽管这些点是无限的，但它们所占据的区域都是有限的，因此可用“比例解法”求解几何概型的概率
10、A
【解析】由已知可得：该几何体是一个四棱锥和四棱柱的组合体，
其中棱柱的体积为：3×2×1=6，
棱锥的体积为：×3×2×x=2x
则组合体的体积V=6+2x=10，
解得：x=2，
故选A
点睛：思考三视图还原空间几何体首先应深刻理解三视图之间的关系，遵循“长对正，高平齐，宽相等”的基本原则，其内涵为正视图的高是几何体的高，长是几何体的长；俯视图的长是几何体的长，宽是几何体的宽；侧视图的高是几何体的高，宽是几何体的宽.
11、C
【解析】根据线线垂直，线线平行的判定，结合线面位置关系，即可容易求得判断.
【详解】对于①，若， ，且，显然一定有，故正确；
对于②，因为， ，且，则的位置关系可能平行，也可能相交，也可能是异面直线，故错；
对于③，若，// 且//，则一定有，故③正确；
对于④，， ，且，则与的位置关系不定，故④错
故正确的序号有：①③.
故选C
【点睛】本题考查直线和直线的位置关系，涉及线面垂直以及面面垂直，属综合基础题.
12、B
【解析】定义域为，定义域为R,均关于原点对称
因为，所以f(x)是奇函数，
因为，所以g(x)是偶函数，选B.

二、填空题（本大题共4小题，共20分）
13、30°
【解析】∵A′C′∥AC，∴AO与A′C′所成的角就是∠OAC(或其补角).
∵OC⊂平面BB′C′C，AB⊥平面BB′C′C，
∴OC⊥AB.又OC⊥OB，AB∩BO＝B，
∴OC⊥平面ABO.又AO⊂平面ABO，
∴OC⊥OA.在Rt△AOC中，，∴∠OAC＝30°.
即AO与A′C′所成角度数为30°.
点睛：平移线段法是求异面直线所成角的常用方法，其基本思路是通过平移直线，把异面问题化归为共面问题来解决，具体步骤如下：
①平移：平移异面直线中的一条或两条，作出异面直线所成的角；
②认定：证明作出的角就是所求异面直线所成的角；
③计算：求该角的值，常利用解三角形；
④取舍：由异面直线所成的角的取值范围是，当所作的角为钝角时，应取它的补角作为两条异面直线所成的角
14、x＋3y－5＝0或x＝－1
【解析】当直线l为x=﹣1时，满足条件，因此直线l方程可以为x=﹣1
当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为：y﹣2=k（x+1），化为：kx﹣y+k+2=0，
则，化为：3k﹣1=±（3k+3），解得k=﹣
∴直线l的方程为：y﹣2=﹣(x+1），化为：x+3y﹣5=0
综上可得：直线l的方程为：x+3y﹣5=0或x=﹣1
故答案为x+3y﹣5=0或x=﹣1
15、5##
【解析】根据题中条件，由元素与集合之间的关系，得到求解，即可得出结果.
【详解】因为，
所以，解得.
故答案为：.
16、16
【解析】乘1后借助已知展开，然后由基本不等式可得.
【详解】因为，
所以
当且仅当，，即时，取“=”号，
所以的最小值为16.
故答案为：16

三、解答题（本大题共6小题，共70分）
17、 (1) a=2 (2)
【解析】（1）利用直线与直线平行的条件直接求解；
（2）利用直线与直线垂直的条件直接求解
【详解】(1)由题可知，直线l1：ax＋2y－1＝0，l2：3x＋(a＋1)y＋1＝0.
若l1∥l2，则
解得a=2或a=-3(舍去)
综上，则a=2；
（2）由题意，若l1⊥l2，则,
解得.
【点睛】本题考查实数值的求法，考查直线与直线平行与垂直的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题
18、（Ⅰ）（Ⅱ）
【解析】Ⅰ由题意利用任意角的三角函数的定义，求得的值
Ⅱ先根据题意利用任意角的三角函数的定义求得、的值，再利用二倍角公式求得、的值，再利用两角和的余弦公式求得的值
【详解】解：Ⅰ角的顶点与原点O重合，始边与x轴的正半轴重合，它的终边过点，

Ⅱ以角的终边为始边，逆时针旋转得到角，
由Ⅰ利用任意角的三角函数的定义可得，，
，

【点睛】本题主要考查任意角的三角函数的定义，二倍角公式，两角和的余弦公式的应用，属于中档题
19、（1）单调递增区间为，单调递减区间为
（2）
【解析】（1）先由三角恒等变换化简解析式，再由正弦函数的性质得出单调区间；
（2）由的单调性结合零点的定义求出实数的取值范围.
【小问1详解】

由得
故函数的单调递增区间为.
由得
故函数的单调递减区间为
【小问2详解】
由（1）可知，在上为增函数，在上为减函数
由题意可知：，即，
解得，故实数的取值范围为.
20、（1）S＝R2sin－R2，θ∈；（2）当θ＝时，矩形ABCD面积S最大，最大面积为838.35 m2.
【解析】（1）设OM与BC的交点为F，用表示出，，，从而可得面积的表达式；
（2）结合正弦函数的性质求得最大值
【详解】解：（1）由题意，可知点M为PQ的中点，所以OM⊥AD.
设OM与BC的交点为F，则BC＝2Rsin θ，OF＝Rcos θ，所以AB＝OF－AD＝Rcos θ－Rsin θ.
所以S＝AB·BC＝2Rsin θ(Rcos θ－Rsin θ)＝R2(2sin θcos θ－2sin2θ)＝R2(sin 2θ－1＋cos 2θ)＝R2sin－R2，θ∈.

（2）因为θ∈，所以2θ＋∈，
所以当2θ＋，即θ＝时，S有最大值.
Smax＝(－1)R2＝(－1)×452＝0.414×2 025＝838.35(m2).
故当θ＝时，矩形ABCD的面积S最大，最大面积为838.35 m2.
【点睛】关键点点睛：本题考查三角函数的应用，解题关键是利用表示出矩形的边长，从而得矩形面积．利用三角函数恒等变换公式化函数为一个角的一个三角函数形式，然后结合正弦函数性质求得最大值
21、（1）0；（2）偶函数；（3）见解析
【解析】(1)令，代入，即可求出结果；
(2)先求出，再由，即可判断出结果；
(3)先由，求出，将不等式化为，根据函数在上是增函数，分和两种情况讨论，即可得出结果.
【详解】(1)因为对于任意,有，令，
则，所以；
(2)令，则，所以，
令，则，所以函数为偶函数；
(3)因为，所以，
所以不等式可化为；
又因为在上是增函数，而函数为偶函数，
所以或；
当时，或；
当时，或；
综上，当时，的取值范围为或；
当时，的取值范围为或.
【点睛】本题主要考查函数奇偶性与单调性的综合，以及抽象函数及其应用，常用赋值法求函数值，属于常考题型.
22、 (1);(2)或.
【解析】（1）由为幂函数知，得或
又因为函数为偶函数，所以函数不符合舍去
当时，，符合题意；
.
(2)由（1）得，
即函数的对称轴为，
由题意知在（2，3）上为单调函数，
所以或，
即或.