2018年松江区初三数学二模试卷及参考答案.doc

2018年松江区初三数学二模试卷
（满分150分，完卷时间100分钟） 2018.4

考生注意：
1．本试卷含三个大题，共25题；
2．答题时，考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、本试卷上答题一律无效；
3．除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置上写出证明或计算的主要步骤．

一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）
【下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上】
1．下列根式中，与是同类二次根式的为（▲）
（A）； （B）； （C）； （D）.
2．下列运算正确的是（▲）
（A）； （B）； （C）； （D）．
3．下列图形中，既是中心对称又是轴对称图形的为（▲）
（A）正三角形； （B）等腰梯形； （C）平行四边形； （D）菱形．
4．关于反比例函数，下列说法中错误的是（▲）
（A）它的图像是双曲线；
（B）它的图像在第一、三象限；
（C）的值随的值增大而减小；
（D）若点（a，b）在它的图像上，则点（b，a）也在它的图像上.
5．将一组数据中的每一个数都加上1得到一组新的数据，那么下列四个统计量中，值保持不变的是（▲）
C
B
A
（第6题图）
（A）方差； （B）平均数； （C）中位数； （D）众数.
6．如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，⊙B的半径为1，已知⊙A与直线BC相交，且与⊙B没有公共点，那么⊙A的半径可以是（▲）
（A）4； （B）5；
（C）6； （D）7.
二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）
【请将结果直接填入答题纸的相应位置上】
7．因式分解： = ▲ ．
8．方程的根是 ▲ ．
9．函数的定义域是 ▲ ．
10．已知方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是 ▲ ．
11．把抛物线向左平移1个单位，则平移后抛物线的表达式为 ▲ ．
12．函数的图像如图所示，则当时，的取值范围是 ▲ ．
13．一枚质地均匀的正方体骰子的六个面上分别刻有1到6的点数，随机投掷这枚骰子，那么向上一面的点数为合数的概率是 ▲ ．
14．某区有4000名学生参加学业水平测试，从中随机抽取500名，对测试成绩进行了统计，统计结果见下表：
成绩（x）
x＜60
60≤x＜70
70≤x＜80
80≤x＜90
90≤x≤100
人数
15
59
78
140
208
那么根据上述数据可以估计该区这次参加学业水平测试成绩小于60分的有 ▲ 人．
0
-1
x
y
(第12题图)
A
C
D
E
(第15题图)
B
(第18题图)
A
D
C
B
15． 如图，在△ABC中，D是AB的中点，E是AC上一点，且AE=2EC，如果，，那么=▲ ．（用、表示）．

16．一个正n边形的一个内角等于它的中心角的2倍，则n=▲ ．
17．平面直角坐标系xoy中，若抛物线上的两点A、B满足OA=OB，且，则称线段AB为该抛物线的通径．那么抛物线的通径长为 ▲ ．
18．如图，已知平行四边形ABCD中，AC=BC，∠ACB=45°，将三角形ABC沿着AC翻折，点B落在点E处，联结DE，那么的值为 ▲ ．
三、解答题：（本大题共7题，满分78分）
19．（本题满分10分）
计算：．
20．（本题满分10分）
解不等式组： 并把解集在数轴上表示出来．

0
1
2
3
4
5
–4
–3
–2
–1
–5

21.（本题满分10分, 每小题各5分）
B
(第21题图)
D
A
C
B
E
如图，已知△ABC中，∠B=45°，，
BC=6.
（1）求△ABC面积；
（2）AC的垂直平分线交AC于点D，交BC于
点E. 求DE的长．

C
22．（本题满分10分）
某条高速铁路全长540公里，高铁列车与动车组列车在该高速铁路上运行时，高铁列车的平均速度比动车组列车每小时快90公里，因此全程少用1小时，求高铁列车全程的运行时间．

23.（本题满分12分，第（1）小题满分7分，第（2）小题满分5分）
如图，已知梯形ABCD中，AB∥CD，∠D=90°，BE平分∠ABC，交CD于点E，
(第23题图)
F
A
C
D
E
B
F是AB的中点，联结AE、EF，且AE⊥BE．
求证：（1）四边形BCEF是菱形；
（2）.

24．（本题满分12分，每小题各4分）
如图，已知抛物线y=ax2+bx的顶点为C（1，），P是抛物线上位于第一象限内的一点，直线OP交该抛物线对称轴于点B，直线CP交x轴于点A．
（1）求该抛物线的表达式；
（2）如果点P的横坐标为m，试用m的代数式表示线段BC的长；
（3）如果△ABP的面积等于△ABC的面积，求点P坐标．
(第24题图)
y
P
O
x
C
B
A

25．（本题满分14分，第（1）小题4分，第（2）小题每个小题各5分）
如图，已知Rt△ABC 中，∠ACB=90°，BC=2，AC=3，以点C为圆心、CB为半径的圆交AB于点D，过点A作AE∥CD，交BC延长线于点E.
（1）求CE的长；
（2）P是 CE延长线上一点，直线AP、CD交于点Q.
① 如果△ACQ ∽△CPQ，求CP的长；
② 如果以点A为圆心，AQ为半径的圆与⊙C相切，求CP的长.
(备用图)
C
B
A
D
E
(第25题图)
C
B
A
D
E

2018年松江区初三数学二模试卷
参考答案2018.4
一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）
1．B; 2．B; 3. D; 4. C; 5. A; 6. D;

二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）
7. ; 8. ; 9. ; 10. ; 11．;
12. ; 13. ; 14. 120; 15. ; 16. 6; 17. 2; 18. .
三、解答题：（本大题共7题，满分78分）
19．（本题满分10分）
计算：．
解：原式=……………………………（每个2分）
=……………………………………………………………2分
20．（本题满分10分）
解不等式组： 并把解集在数轴上表示出来．
0
1
2
3
4
5
–4
–3
–2
–1
–5

解：由① 得 ．………………………………………………………………（2分）
由② 得 …………………………………………………………（2分）
…………………………………………………………（1分）
解得 ．………………………………………………………………（2分）
所以，原不等式组的解集是．…………………………………………（1分）
在数轴上表示不等式组的解集，正确得2分（端点有一处错误，扣1分）．
(第21题图)
D
A
C
B
E
21.（本题满分10分, 每小题各5分）
解：（1）过点A作AH⊥BC于点H…………1分
在中，∠B=45°
设AH =x ,则BH=x………………………………1分
在中，
∴HC=2x………………………………………………………1分
∵BC=6
∴x+2x=6 得x=2
∴AH=2…………………………………………………………1分
∴……………………………………1分
(2)由（1）得AH=2，CH=4
在中，…………………2分
∵DE垂直平分AC
∴
ED⊥AC …………………………………………………1分
在中，……………………………1分
∴ ………………………………………………1分
C
22．（本题满分10分）
解：设高铁列车全程的运行时间为小时，…（1分）
则动车组列车全程的运行时间为(x+1)小时，…（1分）
∴,……………………………………………（3分）
．………………………………………………（1分）
…………………………………………………（1分）
………………………………………………（1分）
经检验：它们都是原方程的根，但不符合题意．……（1分）
答：高铁列车全程的运行时间为2小时．…………………（1分）
23.（本题满分12分，第（1）小题满分7分，第（2）小题满分5分）
证明：
(1) ∵BE平分∠ABC,
∴∠ABE=∠CBE…………………………………………………1分
∵AE⊥BE
∴∠AEB=90°
∵F是AB的中点
∴………………………………………………1分
∴∠FEB =∠FBE…………………………………………………1分
∴∠FEB =∠CBE…………………………………………………1分
∴EF∥BC…………………………………………………1分
∵AB∥CD
(第23题图)
F
A
C
D
E
B
∴四边形BCEF是平行四边形…………………………1分
∵
∴四边形BCEF是菱形……………………………………1分
(2) ∵四边形BCEF是菱形,
∴BC=BF
∵
∴AB=2BC ………………………………………………1分
∵ AB∥CD
∴ ∠DEA=∠EAB
∵ ∠D=∠AEB
∴ △EDA∽△AEB………………………………………2分
∴ …………………………………………1分
∴ BE·AE=AD·AB
∴ …………………………………1分
24．（本题满分12分，每小题各4分）
(第24题图)
y
P
O
x
C
B
A
解：（1）∵抛物线y=ax2+bx的顶点为C（1，）
∴ …………………………………2分
解得： …………………………………1分
∴抛物线的表达式为：y=x2-2x；…………………………1分
（2）∵点P 的横坐标为m，
∴P 的纵坐标为：m2-2m……………………………1分
令BC与x轴交点为M，过点P作PN⊥x轴，垂足为点N
∵P是抛物线上位于第一象限内的一点，
∴PN= m2-2m，ON=m，O M=1
由得………………………1分
∴ BM=m-2…………………………………………………1分
∵ 点C的坐标为（1，），
∴ BC= m-2+1=m-1………………………………………1分
（3）令P(t，t2-2t) ………………………………………………1分
△ABP的面积等于△ABC的面积
∴AC=AP
过点P作PQ⊥BC交BC于点Q
∴CM=MQ=1
∴t2-2t=1 …………………………………………………1分
∴（舍去）………………………………1分
∴ P的坐标为（）……………………………………1分
25．（本题满分14分，第（1）小题4分，第（2）小题每个小题各5分）
(第25题图)
C
B
A
D
E
解：（1）∵AE∥CD
∴…………………………………1分
∵BC=DC
∴BE=AE …………………………………1分
设CE=x
则AE=BE=x+2
∵ ∠ACB=90°，
∴
即………………………1分
C
B
A
D
E
P
Q
∴
即…………………………………1分
（2）①
∵△ACQ ∽△CPQ，∠QAC>∠P
∴∠ACQ=∠P…………………………………1分
又∵AE∥CD
∴∠ACQ=∠CAE
∴∠CAE=∠P………………………………1分
∴△ACE ∽△PCA，…………………………1分
∴…………………………1分
即
∴ ……………………………1分
②设CP=t，则
∵∠ACB=90°，
∴
∵AE∥CD
∴……………………………1分
即
∴……………………………1分
若两圆外切，那么
此时方程无实数解……………………………1分
若两圆内切切，那么
∴
解之得………………………1分
又∵
∴………………………1分

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