资源描述
2022-2023学年九上数学期末模拟试卷
考生请注意：
1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。
2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。
3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题（每题4分，共48分）
1．解方程最适当的方法是（ ）
A．直接开平方法 B．配方法 C．因式分解法 D．公式法
2．如图，AB是半圆O的直径，∠BAC＝40°，则∠D的度数为( )
A．140° B．135° C．130° D．125°
3．2019年教育部等九部门印发中小学生减负三十条：严控书面作业总量，初中家庭作业不超过90分钟．某初中学校为了尽快落实减负三十条，了解学生做书面家庭作业的时间，随机调查了40名同学每天做书面家庭作业的时间，情况如下表．下列关于40名同学每天做书面家庭作业的时间说法中，错误的是（ ）
书面家庭作业时间（分钟）
70
80
90
100
110
学生人数（人）
4
7
20
7
2
A．众数是90分钟 B．估计全校每天做书面家庭作业的平均时间是89分钟
C．中位数是90分钟 D．估计全校每天做书面家庭作业的时间超过90分钟的有9人
4．如图，⊙O的圆周角∠A =40°，则∠OBC的度数为（ ）
A．80° B．50° C．40° D．30°
5．如图，△ODC是由△OAB绕点O顺时针旋转30°后得到的图形，若点D恰好落在AB上，则∠A的度数为（ ）
A．70° B．75° C．60° D．65°
6．反比例函数y＝的图象位于（ ）
A．第一、三象限 B．第二、三象限
C．第一、二象限 D．第二、四象限
7．抛物线y＝ax2+bx+c（a≠1）如图所示，下列结论：①abc＜1；②点（﹣3，y1），（1，y2）都在抛物线上，则有y1＞y2；③b2＞（a+c）2；④2a﹣b＜1．正确的结论有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
8．若点(2, 3)在反比例函数y=的图象上，那么下列各点在此图象上的是( )
A．(-2,3) B．(1,5) C．(1, 6) D．(1, -6)
9．如图，⊙O的半径为6，直径CD过弦EF的中点G，若∠EOD＝60°，则弦CF的长等于（ ）
A．6 B．6 C．3 D．9
10．下列各数中是无理数的是（ ）
A．0 B． C． D．0.5
11．已知函数是的图像过点，则的值为（ ）
A．-2 B．3 C．-6 D．6
12．下列方程是一元二次方程的是( )
A． B． C． D．
二、填空题（每题4分，共24分）
13．如图，扇形OAB，∠AOB=90，⊙P 与OA、OB分别相切于点F、E，并且与弧AB切于点C，则扇形OAB的面积与⊙P的面积比是 ．
14．如图，与关于点成中心对称，若，则______．
15．若关于的一元二次方程有实数根，则的值可以为________（写出一个即可）．
16．若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则m的值为_________．
17．如图，圆锥的底面直径，母线的中点处有一食物，一只小蚂蚁从点出发沿圆锥表面到处觅食，蚂蚁走过的最短路线长为___________
18．如图，已知的半径为2，内接于，，则__________．
三、解答题（共78分）
19．（8分）某种商品每天的销售利润y（元）与销售单价x（元）之间满足关系：y=ax2+bx-1．其图象如图所示．
⑴a＝ ；b＝ ；
⑵销售单价为多少元时，该种商品每天的销售利润最大？最大利润为多少元？
⑶由图象可知，销售单价x在 时，该种商品每天的销售利润不低于16元？
20．（8分）菜农李伟种植的某蔬菜计划以每千克5元的单价对外批发销售，由于部分菜农盲目扩大种植，造成该蔬菜滞销.李伟为了加快销售，减少损失，对价格经过两次下调后，以每千克3.2元的单价对外批发销售.
(1)求平均每次下调的百分率；
(2)小华准备到李伟处购买5吨该蔬菜，因数量多，李伟决定再给予两种优惠方案以供选择：
方案一：打九折销售；
方案二：不打折，每吨优惠现金200元.
试问小华选择哪种方案更优惠，请说明理由.
21．（8分）如图，△ABC中，点E在BC边上，AE＝AB，将线段AC绕A点逆时针旋转到AF的位置，使得∠CAF＝∠BAE，连接EF，EF与AC交于点G．求证：EF＝BC．
22．（10分）已知：如图，B,C,D三点在 上，，PA是钝角△ABC的高线，PA的延长线与线段CD交于点E.
（1）请在图中找出一个与∠CAP相等的角，这个角是 ；
（2）用等式表示线段AC，EC，ED之间的数量关系，并证明.
23．（10分）如图，一次函数y=ax+b（a≠0）的图象与反比例函数y＝（k≠0）的图象交于第二、四象限的F、C（3，m）两点，与x、y轴分别交于B、A（0，4）两点，过点C作CD⊥x轴于点D，连接OC，且△OCD的面积为3，作点B关于y轴对称点E．
（1）求一次函数和反比例函数的解析式；
（2）连接FE、EC，求△EFC的面积．
24．（10分）如图，顶点为M的抛物线y＝ax2+bx+3与x轴交于A（3，0），B（﹣1，0）两点，与y轴交于点C
（1）求抛物线的表达式；
（2）在直线AC的上方的抛物线上，有一点P（不与点M重合），使△ACP的面积等于△ACM的面积，请求出点P的坐标；
（3）在y轴上是否存在一点Q，使得△QAM为直角三角形？若存在，请直接写出点Q的坐标：若不存在，请说明理由．
25．（12分）计算：2cos45°﹣tan60°+sin30°﹣tan45°
26．小昆和小明玩摸牌游戏，游戏规则如下：有3张背面完全相同，牌面标有数字1、2、3的纸牌，将纸牌洗匀后背面朝上放在桌面上，随机抽出一张，记下牌面数字，放回后洗匀再随机抽出一张．
（1）请用画树形图或列表的方法（只选其中一种），表示出两次抽出的纸牌数字可能出现的所有结果；
（2）若规定：两次抽出的纸牌数字之和为奇数，则小昆获胜，两次抽出的纸牌数字之和为偶数，则小明获胜，这个游戏公平吗？为什么？
参考答案
一、选择题（每题4分，共48分）
1、C
【分析】根据解一元二次方程的方法进行判断．
【详解】解：先移项得到，然后利用因式分解法解方程．
故选：C．
【点睛】
本题考查了解一元二次方程——因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．
2、C
【分析】根据圆周角定理可知，再由三角形的内角和可得，最后根据圆内接四边形的性质即可得.
【详解】 AB是半圆O的直径
（圆周角定理）
（圆内接四边形的对角互补）
故选：C.
【点睛】
本题考查了圆周角定理、三角形的内角和定理、圆内接四边形的性质，掌握灵活运用各定理和性质是解题关键.
3、D
【分析】利用众数、中位数及平均数的定义分别确定后即可得到本题的正确的选项．
【详解】解：A、书面家庭作业时间为90分钟的有20人，最多，故众数为90分钟，正确；
B、共40人，中位数是第20和第21人的平均数，即＝90，正确；
C、平均时间为：×（70×4＋80×7＋90×20＋100×8＋110）＝89，正确；
D、随机调查了40名同学中，每天做书面家庭作业的时间超过90分钟的有8＋1＝9人，故估计全校每天做书面家庭作业的时间超过90分钟的有9人说法错误，
故选：D．
【点睛】
本题考查了众数、中位数及平均数的定义，属于统计基础题，比较简单．
4、B
【分析】然后根据圆周角定理即可得到∠OBC的度数，由OB=OC，得到∠OBC=∠OCB，根据三角形内角和定理计算出∠OBC．
【详解】∵∠A=40°．
∴∠BOC=80°，
∵OB=OC，
∴∠OBC=∠OCB=50°，
故选：B．
【点睛】
本题考查了圆周角定理：一条弧所对的圆周角是它所对的圆心角的一半；也考查了等腰三角形的性质以及三角形的内角和定理．
5、B
【分析】由旋转的性质知∠AOD=30°，OA=OD，根据等腰三角形的性质及内角和定理可得答案．
【详解】由题意得：∠AOD=30°，OA=OD，∴∠A=∠ADO75°．
故选B．
【点睛】
本题考查了旋转的性质，熟练掌握旋转的性质：①对应点到旋转中心的距离相等．②对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角．③旋转前、后的图形全等是解题的关键．
6、A
【分析】由反比例函数k＞0，函数经过一三象限即可求解；
【详解】∵k＝2＞0，
∴反比例函数经过第一、三象限；
故选：A．
【点睛】
本题考查的是反比例函数的图像与性质，比较简单，需要熟练掌握反比例函数的图像与性质.
7、B
【分析】利用抛物线开口方向得到a＞1，利用抛物线的对称轴在y轴的左侧得到b＞1，利用抛物线与y轴的交点在x轴下方得到c＜1，则可对①进行判断；通过对称轴的位置，比较点（-3，y1）和点（1，y2）到对称轴的距离的大小可对②进行判断；由于（a+c）2-b2=（a+c-b）（a+c+b），而x=1时，a+b+c＞1；x=-1时，a-b+c＜1，则可对③进行判断；利用和不等式的性质可对④进行判断．
【详解】∵抛物线开口向上，
∴a＞1，
∵抛物线的对称轴在y轴的左侧，
∴a、b同号，
∴b＞1，
∵抛物线与y轴的交点在x轴下方，
∴c＜1，
∴abc＜1，所以①正确；
∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣，
而﹣1＜﹣＜1，
∴点（﹣3，y1）到对称轴的距离比点（1，y2）到对称轴的距离大，
∴y1＞y2，所以②正确；
∵x＝1时，y＞1，即a+b+c＞1，
x＝﹣1时，y＜1，即a﹣b+c＜1，
∴（a+c）2﹣b2＝（a+c﹣b）（a+c+b）＜1，
∴b2＞（a+c）2，所以③正确；
∵﹣1＜﹣＜1，
∴﹣2a＜﹣b，
∴2a﹣b＞1，所以④错误．
故选：B．
【点睛】
本题考查了二次函数图象与系数的关系：二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小．当a＞1时，抛物线向上开口；当a＜1时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时，对称轴在y轴左； 当a与b异号时，对称轴在y轴右．常数项c决定抛物线与y轴交点：抛物线与y轴交于（1，c）．抛物线与x轴交点个数由判别式确定：△=b2-4ac＞1时，抛物线与x轴有2个交点；△=b2-4ac=1时，抛物线与x轴有1个交点；△=b2-4ac＜1时，抛物线与x轴没有交点．
8、C
【解析】将（2，3）代入y=即可求出k的值，再根据k=xy解答即可．
【详解】∵点（2，3）在反比例函数y=（k≠0）的图象上，
∴k=xy=2×3=6，
A、∵-2×3=-6≠6，∴此点不在函数图象上；
B、∵1×5=5≠6，∴此点不在函数图象上；
C、∵1×6=6，此点在函数图象上；
D、∵1×（-6）=-6≠6，此点不在函数图象上．
故选：C．
【点睛】
本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，只要点在函数的图象上，则一定满足函数的解析式．反之，只要满足函数解析式就一定在函数的图象上．
9、B
【分析】连接DF，根据垂径定理得到 , 得到∠DCF=∠EOD=30°，根据圆周角定理、余弦的定义计算即可．
【详解】解：连接DF，
∵直径CD过弦EF的中点G，
∴，
∴∠DCF=∠EOD=30°，
∵CD是⊙O的直径，
∴∠CFD=90°，
∴CF=CD•cos∠DCF=12× = ，
故选B．
【点睛】
本题考查的是垂径定理的推论、解直角三角形，掌握平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧是解题的关键．
10、C
【分析】根据无理数的定义，分别进行判断，即可得到答案．
【详解】解：根据题意，是无理数；
0，，0.5是有理数；
故选：C．
【点睛】
本题考查了无理数的定义，解题的关键是熟记无理数的定义进行解题．
11、C
【解析】直接根据反比例函数图象上点的坐标特征求解．
【详解】∵反比例函数的图象经过点（-2，3），
∴k＝-2×3＝-1．
故选：C．
【点睛】
本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征：反比例函数（k为常数，k≠0）的图象是双曲线，图象上的点（x，y）的横纵坐标的积是定值k，即xy＝k．
12、B
【分析】一元二次方程有三个特点：（1）只含有一个未知数；（2）未知数的最高次数是2；（3）是整式方程．要判断一个方程是否为一元二次方程，先看它是否为整式方程，若是，再对它进行整理．如果能整理为ax2+bx+c=0（a≠0）的形式，则这个方程就为一元二次方程．
【详解】解：选项：是一元一次方程，故不符合题意；
选项：只含一个未知数，并且未知数最高次项是2次，是一元二次方程，故符合题意；
选项：有两个未知数，不是一元二次方程，故不符合题意；
选项：不是整式方程，故不符合题意；
综上，只有B正确．
故选：B．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的定义，属于基础知识的考查，比较简单．
二、填空题（每题4分，共24分）
13、
【详解】依题意连接OC则P在OC上，连接PF,PE则PF⊥OA,PE⊥OB,由切线长定理可知四边形OEPF为正方形，且其边长即⊙P的半径（设⊙P的半径为r）
∴OP=
又OC=OP+PC=+r=(1+)r即扇形OAB的(1+)r,
∴
14、
【分析】由题意根据中心对称的定义可得AB=DE，从而即可求值．
【详解】解：与△DEC关于点成中心对称，
.
【点睛】
本题主要考查了中心对称的定义，解题的关键是熟记中心对称的定义即把一个图形绕着某个点旋转180°，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫做对称中心．
15、5（答案不唯一，只有即可）
【解析】由于方程有实数根，则其根的判别式△≥1，由此可以得到关于c的不等式，解不等式就可以求出c的取值范围．
【详解】解：一元二次方程化为x2+6x+9-c=1，
∵△=36-4（9-c）=4c≥1，
解上式得c≥1．
故答为5（答案不唯一，只有c≥1即可）．
【点睛】
本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=1（a≠1）的根的判别式∆=b2﹣4ac与根的关系，熟练掌握根的判别式与根的关系式解答本题的关键.当∆>1时，一元二次方程有两个不相等的实数根；当∆=1时，一元二次方程有两个相等的实数根；当∆<1时，一元二次方程没有实数根.关键在于求出c的取值范围．
16、0
【分析】根据一元二次方程根的判别式的正负判断即可.
【详解】解：原方程可变形为，由题意可得
所以
故答案为：0
【点睛】
本题考查了一元二次方程，掌握根的判别式与一元二次方程的根的情况是解题的关键.
17、15
【分析】先将圆锥的侧面展开图画出来，然后根据弧长公式求出的度数，然后利用等边三角形的性质和特殊角的三角函数在即可求出AD的长度．
【详解】圆锥的侧面展开图如下图：
∵圆锥的底面直径
∴底面周长为
设
则有
解得
又
∴为等边三角形
为PB中点
∴蚂蚁从点出发沿圆锥表面到处觅食，蚂蚁走过的最短路线长为
故答案为：．
【点睛】
本题主要考查圆锥的侧面展开图，弧长公式和解直角三角形，掌握弧长公式和特殊角的三角函数值是解题的关键．
18、
【解析】分析：根据圆内接四边形对边互补和同弧所对的圆心角是圆周角的二倍，可以求得∠AOB的度数，然后根据勾股定理即可求得AB的长．
详解：连接AD、AE、OA、OB，
∵⊙O的半径为2，△ABC内接于⊙O，∠ACB=135°，
∴∠ADB=45°，
∴∠AOB=90°，
∵OA=OB=2，
∴AB=2，
故答案为：2．
点睛：本题考查三角形的外接圆和外心，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．
三、解答题（共78分）
19、（1）-1，20；（2）当x=10时，该商品的销售利润最大，最大利润是25元；（3）7≤x≤13
【分析】（1）利用待定系数法求二次函数解析式得出即可；
（2）利用配方法求出二次函数最值即可；
（3）根据题意令y=16，解方程可得x的值，结合图象可知x的范围．
【详解】解：（1）y=ax2+bx-1图象过点（5，0）、（7，16），
∴
解得：
故答案为-1，20
⑵∵
∴当x=10时，该商品的销售利润最大，最大利润是25元．
⑶根据题意，当y=16时，得：-x2+20x-1=16，
解得：x1=7，x2=13，
即销售单价7≤x≤13时，该种商品每天的销售利润不低于16元．
【点睛】
此题主要考查了二次函数的应用以及待定系数法求二次函数解析式等知识，正确利用二次函数图象是解题关键．
20、 (1) 10%.(1) 小华选择方案一购买更优惠.
【解析】试题分析：（1）设出平均每次下调的百分率，根据从5元下调到3.1列出一元二次方程求解即可；
（1）根据优惠方案分别求得两种方案的费用后比较即可得到结果．
试题解析：（1）设平均每次下调的百分率为x．
由题意，得5（1﹣x）1=3.1．
解这个方程，得x1=0.1，x1=1.8（不符合题意），
符合题目要求的是x1=0.1=10%．
答：平均每次下调的百分率是10%．
（1）小华选择方案一购买更优惠．
理由：方案一所需费用为：3.1×0.9×5000=14400（元），
方案二所需费用为：3.1×5000﹣100×5=15000（元）．
∵14400＜15000，
∴小华选择方案一购买更优惠．
【考点】一元二次方程的应用．
21、见解析
【分析】由旋转前后图形全等的性质可得AC＝AF，由“SAS”可证△ABC≌△AEF，可得EF＝BC．
【详解】证明：∵∠CAF＝∠BAE，
∴∠BAC＝∠EAF，
∵将线段AC绕A点旋转到AF的位置，
∴AC＝AF，
在△ABC与△AEF中，
，
∴△ABC≌△AEF（SAS），
∴EF＝BC；
【点睛】
本题主要考查的是旋转前后图形全等的性质以及全等三角形的判定，掌握全等三角形的判定是解题的关键.
22、（1） ∠BAP；（2）AC，EC，ED满足的数量关系：EC2+ED2=2AC2. 证明见解析.
【分析】（1）根据等腰三角形∆ABC三线合一解答即可；
（2）连接EB，由PA是△CAB的垂直平分线，得到EC=EB.，∠ECP=∠EBP，∠ECA=∠EBA. 然后推出∠BAD=∠BED=90°，利用勾股定理可得EB2+ED2=BD2，找到BD2=2AB2,代入可求的EC2+ED2=2AC2的等量关系即可.
【详解】（1）∵等腰三角形∆ABC 且PA是钝角△ABC的高线
∴PA是∠CAB的角平分线
∴∠CAP=∠BAP
（2）AC，EC，ED满足的数量关系：EC2+ED2=2AC2.
证明：连接EB，与AD交于点F
∵点B，C两点在⊙A上,
∴AC=AB，
∴∠ACP=∠ABP.
∵PA是钝角△ABC的高线,
∴PA是△CAB的垂直平分线.
∵PA的延长线与线段CD交于点E，
∴EC=EB.
∴∠ECP=∠EBP.
∴∠ECP—∠ACP =∠EBP —∠ABP.
即∠ECA=∠EBA.
∵AC=AD，
∴∠ECA=∠EDA
∴∠EBA=∠EDA
∵∠AFB=∠EFD, ∠BCD=45°,
∴∠AFB+∠EBA =∠EFD+∠EDA=90°
即∠BAD=∠BED=90°
∴EB2+ED2=BD2.
∵BD2=AB2+AD2，
∴ BD2=2AB2,
∴EB2+ED2=2AB2，
∴EC2+ED2=2AC2
【点睛】
本题考查了圆的性质、等腰三角形的性质以及勾股定理，这是一个综合题，注意数形结合.
23、（1）y＝；y＝﹣2x+1，y=-；（2）2
【分析】（1）点C在反比例函数y=图象上，和△OCD的面积为3，并且图象在二、四象限，可求出k的值，确定反比例函数的解析式，再确定点C的坐标，用A、C的坐标用待定系数法可确定一次函数y=ax+b的函数解析式．
（2）利用一次函数y=ax+b的函数解析式可求出于坐标轴的交点坐标，与反比例函数函数解析式联立可求出F点坐标，利用对称可求出点E坐标，最后由三角形的面积公式求出结果．
【详解】解：（1）∵点C在反比例函数y＝图象上，且△OCD的面积为3，
∴，
∴k＝±6，
∵反比例函数的图象在二、四象限，
∴k＝﹣6，
∴反比例函数的解析式为：y＝，
把C（3，m）代入为：y＝得，m＝﹣2，
∴C（3，﹣2），
把A（0，1）C（3，﹣2）代入一次函数y＝ax+b得： ，
解得，
∴一次函数的解析式为y＝﹣2x+1．
∴反比例函数和一次函数的解析式分别为：y＝，y＝﹣2x+1．
（2）一次函数y＝﹣2x+1与x轴的交点B（2，0）．
∵点B关于y轴对称点E，
∴点E（﹣2，0），
∴BE＝2+2＝1，
∵一次函数和反比例函数的解析式联立得：，
解得：
∴点F（﹣1，6），
∴．
答：△EFC的面积为2．
【点睛】
本题考查了反比例函数的图象和性质、一次函数的图象和性质以及方程组、三角形的面积等知识，掌握反比例函数、一次函数图象上点的坐标的特征是解题的关键．
24、（1）y＝﹣x2+2x+3；（2）点P的坐标为：（2，3）；（3）存在，点Q的坐标为：（0，1）或（0，3）或（0，）或（0，﹣）
【分析】（1）抛物线的表达式为：y＝a（x+1）（x﹣3）＝a（x2﹣2x﹣3），即可求解；
（2）过点M作直线m∥AC，在AC下方作等距离的直线n，直线n与抛物线交点即为点P，即可求解；
（3）分AM时斜边、AQ是斜边、MQ是斜边三种情况，分别求解即可．
【详解】解：（1）抛物线的表达式为：y＝a（x+1）（x﹣3）＝a（x2﹣2x﹣3），
故﹣3a＝1，解得：a＝﹣1，
故抛物线的表达式为：y＝﹣x2+2x+3；
（2）过点M作直线m∥AC，直线m与抛物线交点即为点P，
设直线m的表达式为：y＝﹣x+b，
点M（1，4），则直线m的表达式为：y＝﹣x+5，
联立方程组，
解得：x＝1（舍去）或2；
故点P的坐标为：（2，3）；
（3）设点Q的坐标为：（0，m），而点A、M的坐标分别为：（3，0）、（1，4）；
则AM2＝20，AQ2＝9+m2，MQ2＝（m﹣4）2+1＝m2﹣8m+17；
当AM时斜边时，则20＝9+m2+m2﹣8m+17，解得：m＝1或3；
当AQ是斜边时，则9+m2=20+ m2﹣8m+17，解得m＝；
当MQ是斜边时，则m2﹣8m+17=20+9+m2，解得m＝﹣，
综上，点Q的坐标为：（0，1）或（0，3）或（0，）或（0，﹣）
【点睛】
本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数的性质、勾股定理的运用等，其中(3)，要注意分类求解，避免遗漏．
25、-
【分析】将各特殊角的三角函数值代入即可得出答案．
【详解】解：原式=2×﹣+﹣×1
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【点睛】
此题考查特殊角的三角函数值，属于基础题，熟练记忆一些特殊角的三角函数值是关键．
26、（1）结果见解析；（2）不公平，理由见解析.
【解析】判断游戏是否公平，即是看双方取胜的概率是否相同，若相同，则公平，不相同则不公平．
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