数学建模-传染病模型.ppt

传传染病模型染病模型 传传染病是人染病是人类类的大的大敌敌，通，通过过疾病疾病传传播播过过程中若干重要因程中若干重要因素之素之间间的的联联系建立微分方程加以系建立微分方程加以讨论讨论，研究，研究传传染病流行的染病流行的规规律并找出控制疾病流行的方法律并找出控制疾病流行的方法显显然是一件十分有意然是一件十分有意义义的工作。的工作。在本在本节节中，我中，我们们将主要用多房室系将主要用多房室系统统的的观观点来看待点来看待传传染病的染病的流行，并建立起相流行，并建立起相应应的多房室模型。的多房室模型。医生医生们发现们发现，在一个民族或地区，当某种，在一个民族或地区，当某种传传染病流染病流传时传时，波及到的波及到的总总人数大体上保持人数大体上保持为为一个常数。即既非所有人都会一个常数。即既非所有人都会得病也非毫无得病也非毫无规规律，两次流行（同种疾病）的波及人数不会律，两次流行（同种疾病）的波及人数不会相差太大。如何解相差太大。如何解释这释这一一现现象呢？象呢？试试用建模方法来加以用建模方法来加以证证明。明。问题问题的提出：的提出：1.设设某地区共有某地区共有n+1人，最初人，最初时时刻共有刻共有i人得病，人得病，t时时刻已刻已感染（感染（infective）的病人数）的病人数为为i(t)，假定每一已感染者在，假定每一已感染者在单单位位时间时间内将疾病内将疾病传传播播给给k个人（个人（k称称为该为该疾病的疾病的传传染染强强度），度），且且设设此疾病既不此疾病既不导导致死亡也不会康复致死亡也不会康复模型模型1 此模型即此模型即MalthusMalthus模型，它大体上反映了模型，它大体上反映了传传染病流行初期染病流行初期的病人增的病人增长长情况，在医学上有一定的参考价情况，在医学上有一定的参考价值值，但随着，但随着时间时间的的推移，将越来越偏离推移，将越来越偏离实际实际情况。情况。已感染者与尚未感染者之已感染者与尚未感染者之间间存在着明存在着明显显的区的区别别，有必要将，有必要将人群划分成已感染者与尚未感染的易感染，人群划分成已感染者与尚未感染的易感染，对对每一每一类类中的个体中的个体则则不加任何区分，来建立两房室系不加任何区分，来建立两房室系统统。则则可可导导出：出：故可得：故可得：（3.15）2.模型模型2 记记t时时刻的病人数与易感染人数刻的病人数与易感染人数（susceptible）分分别为别为i(t)与与s(t)，初始，初始时时刻的病人数刻的病人数为为 i。根据病人不死也不会康复。根据病人不死也不会康复的假的假设设及（及（竞竞争争项项）统计统计筹算律，筹算律，其中：其中：解得：解得：（3.17）可得：可得：（3.16）统计结统计结果果显显示，示，(3.17)(3.17)预报结预报结果比果比(3.15)(3.15)更接近更接近实际实际情况。医学上称曲情况。医学上称曲线线 为传为传染病染病曲曲线线，并称，并称 最大最大值时值时刻刻t1为为此此传传染病的流行染病的流行高峰。高峰。令：令：得：得：此值与传染病的实际高峰期非常接近，可用作医学上的预报公式。模型模型2 2仍有不足之仍有不足之处处，它，它无法解无法解释释医生医生们发现们发现的的现现象，且当象，且当时间趋时间趋与无与无穷时穷时，模型模型预测预测最最终终所有人都得所有人都得病，与病，与实际实际情况不符。情况不符。为为了使模型更精了使模型更精确，有必要再将确，有必要再将人群人群细细分，建立分，建立多房室系多房室系统统3.infectiverecoveredsusceptiblekl（3.18）l 称为传染病恢复系数 求解求解过过程如下：程如下：对对（3）式求）式求导导，由（，由（1）、（）、（2）得：）得：解得：解得：记记：则则：将人群划分将人群划分为为三三类类（见见右右图图）：易感染者、已感染）：易感染者、已感染者和已恢复者（者和已恢复者（recovered）。分）。分别记别记t时时刻的三刻的三类类人数人数为为s(t)、i(t)和和r(t)，则则可建立下面的三房室模型：可建立下面的三房室模型：模型模型34.infectiverecoveredsusceptiblekl 由由(1)(1)式可得：式可得：从而解得：从而解得：积积分得：分得：（3.19）不难验证，当t+时，r(t)趋向于一个常数，从而可以解释医生们发现的现象。为为揭示揭示产产生上述生上述现现象的原因（象的原因（3.183.18）中）中的第（的第（1 1）式改写成：）式改写成：其中其中 通常是一个与疾病种通常是一个与疾病种类类有关的有关的较较大的常数。大的常数。下面下面对对 进进行行讨论讨论，请请参参见见右右图图如果如果 ，则则有有 ，此疾病在，此疾病在该该地区根本流行不起来。地区根本流行不起来。如果如果 ，则则开始开始时时 ，i(t)单单增。但在增。但在i(t)增加的同增加的同时时，伴随地有伴随地有s(t)单单减。当减。当s(t)减少到小于等于减少到小于等于 时时，i(t)开始减开始减小，直至此疾病在小，直至此疾病在该该地区消失。地区消失。鉴鉴于在本模型中的作用，于在本模型中的作用，被被医生医生们们称称为为此疾病在此疾病在该该地区地区的的阀值阀值。的引入解的引入解释释了了为为什什么此疾病没有波及到么此疾病没有波及到该该地区地区的所有人。的所有人。图3-14 5.综综上所述，模型上所述，模型3 3指出了指出了传传染病的以下特征：染病的以下特征：（1 1）当当人人群群中中有有人人得得了了某某种种传传染染病病时时，此此疾疾病病并并不不一一定定流流传传，仅仅当易受感染的人数与超当易受感染的人数与超过阀值时过阀值时，疾病才会流，疾病才会流传传起来。起来。（2 2）疾疾病病并并非非因因缺缺少少易易感感染染者者而而停停止止传传播播，相相反反，是是因因为为缺少缺少传传播者才停止播者才停止传传播的，否播的，否则则将将导导致所有人得病。致所有人得病。（3 3）种群不可能因）种群不可能因为为某种某种传传染病而染病而绝灭绝灭。模型模型检验检验：医医疗疗机构一般依据机构一般依据r(t)来来统计统计疾病的波及人数疾病的波及人数，从广，从广义义上上理解，理解，r(t)为为t时时刻已就医而被隔离的人数，是康复刻已就医而被隔离的人数，是康复还还是死亡是死亡对对模型并无影响。模型并无影响。及：及：注意到：注意到：可得可得：（3.20）6.通常情况下，通常情况下，传传染病波及的人数占染病波及的人数占总总人数的百分比不会人数的百分比不会太大，故太大，故 一般是小量。利用泰勒公式展开取前三一般是小量。利用泰勒公式展开取前三项项，有：，有：代入（代入（3.203.20）得近似方程：）得近似方程：积积分得：分得：其中：其中：这这里双曲正切函数里双曲正切函数 ：而：而：对对r(t)求求导导：（3.21）7.曲曲线线 在医学上被称在医学上被称为为疾病疾病传传染曲染曲线线。图图3-14（a）给给出了（出了（3.21）式曲式曲线线的的图图形，可用医形，可用医疗单疗单位位每天每天实际实际登登录录数数进进行比行比较拟较拟合得最合得最优优曲曲线线。图3-14（a）图图3-14（b）记录记录了了1905年下半年至年下半年至1906年上半年印度孟年上半年印度孟买买瘟瘟疫大流行期疫大流行期间间每周死亡人数，不每周死亡人数，不难难看出两者有看出两者有较较好的一致性。好的一致性。8.