数学模型--数学论文指导--传染病模型1.ppt

2021/3/29 星期一1一、问题在人类的生活中，一直受传染病的困绕，尽管诸如霍乱、天花等曾经肆虐全球的疾病已经得到有效的控制，但是一些新的、不断变异着的传染病却悄悄向人类袭来，如20世纪80年代开始的十分险恶的爱滋病；21世纪第一个在世界范围内传播的SARS（俗称非典型肺炎）等等，给人们的生命财产带来极大的危害。长期以来，建立传染病模型，描述传染病的传播过程，分析受感染人数的变化规律，探索制止传染病蔓延的手段等，一直是各国专家和官员关注的课题。2021/3/29 星期一2v研究传染病模型，不可能通过实验获取数据，而从医疗部门得到的资料也是不完全和不充分的，同时不同的传染病的传播过程各有不同的特点，所以，我们在这里只能是按照机理分析的方法，按一般的传播机理建立几种简单的模型。2021/3/29 星期一3 *机理分析法机理分析法 根据对现实对象特性的认识，根据对现实对象特性的认识，分析其因果关系，找出反映内部机理的规律分析其因果关系，找出反映内部机理的规律.2021/3/29 星期一4、模型的假设 v1、在疾病传播期内，所考察地区的总、在疾病传播期内，所考察地区的总人数人数N不变。人群分为健康人（易感染不变。人群分为健康人（易感染者者Susceptible）和病人（已感染者）和病人（已感染者Infective）。设在）。设在t时刻它们所占总人时刻它们所占总人数的比例分别为数的比例分别为s（t）和）和i（t）v2、每个病人在、每个病人在t时刻有效接触的人数时刻有效接触的人数为为 ，在较短时间内，可以设为常，在较短时间内，可以设为常数（成为日接触率）。数（成为日接触率）。v3、在开始时刻病人数为、在开始时刻病人数为2021/3/29 星期一5v模型模型1（SI模型）（控制前自然传播）模型）（控制前自然传播）每个病人每天可使个健康人变每个病人每天可使个健康人变为病人，所以有：为病人，所以有：（此模型为阻滞增长 logistic）模型）2021/3/29 星期一6v解此微分方程组得解此微分方程组得 2021/3/29 星期一7v此式中当此式中当 时，时，说明，说明在不进行控制的情况下，最终所有人全在不进行控制的情况下，最终所有人全变为病人。同时由（变为病人。同时由（1）式知，当）式知，当 时，时，达到最大，这个时刻为达到最大，这个时刻为2021/3/29 星期一8v这时病人增加得最快，预示着传染病这时病人增加得最快，预示着传染病高潮的到来，高潮的到来，是医疗部门关注的时是医疗部门关注的时刻。刻。与成反比。说明的值与成反比。说明的值越大，该地区的卫生水平越高，传染越大，该地区的卫生水平越高，传染病高峰期的到来越迟。病高峰期的到来越迟。2021/3/29 星期一9v模型模型2（SIS模型）（控制后的传播模型）模型）（控制后的传播模型）有些传染病如伤风、痢疾等，病人治愈后有些传染病如伤风、痢疾等，病人治愈后又成为病人，所以应考虑治疗情况。设每又成为病人，所以应考虑治疗情况。设每天治愈的病人数占病人总数的比例为天治愈的病人数占病人总数的比例为（称为日治愈率）。显然，为这种传染病（称为日治愈率）。显然，为这种传染病的平均传染期。于是模型变为：的平均传染期。于是模型变为：2021/3/29 星期一10（2）2021/3/29 星期一11v此微分方程的解为此微分方程的解为（3）2021/3/29 星期一12v定义（整个传染期内每个病人定义（整个传染期内每个病人有效接触的平均人数，称为接触数）。有效接触的平均人数，称为接触数）。此时方程组（此时方程组（2）的第一、二式可以改）的第一、二式可以改写为写为（4）2021/3/29 星期一13v此时（3）式变为：2021/3/29 星期一14v当当 时，由（时，由（4）可）可 以以 看出，看出，时，达到最大，预示着传染时，达到最大，预示着传染病高潮的到来；同时病高潮的到来；同时 当当 时，病时，病 人人 比比 例例 越越 来来 小。可见小。可见 是一个是一个阈值。阈值。2021/3/29 星期一15v模型模型3（SIR模型）模型）有一些传染病如天花、肝炎等治愈后具有很强的免疫能力，所以治愈的人既非健康人又非病人，他们已经退出了传染系统，此时，人群分为三类，健康人、病人和治愈后的移出者。设他们所占总人数的比例分别为s（t）、i（t）、r（t）。又设开始时病人数 ，移出者数为 ，于是所建立模型为：2021/3/29 星期一16v方程（5）无法求出相应的解析解，我们利用相轨线讨论解的性质。平面称为相平面，相轨线在相平面上的定义域为（5）2021/3/29 星期一17若微分方程组其右端的函数不显含自变量 t，称为一阶n维驻定系统(自治系统、动力系统).2021/3/29 星期一18一般二维驻定系统形式为 2021/3/29 星期一19存在且唯一，则在三维空间(x,y,t)中有且仅有一条解曲线通过点(x0,y0,t0).基本思想 将空间曲线投影到平面上进 行分析.2021/3/29 星期一20v 定义：称平面(x,y)为相平面，称解曲线v在相平面上的投影为相轨线，相轨线族称为相位图.2021/3/29 星期一21xytot0(x,y,t)解曲线投影曲线相轨线 轨线方程 由原方程（2）消去 t 而得到,相点的运动方向由原方程确定.2021/3/29 星期一22使 P(x0,y0)=Q(x0,y0)=0 的(x0,y0)称为方程(2)的平衡点.2021/3/29 星期一23v在（5）式中消去，并注意到的定义，得：v解得：v1、可以证明极限 都存在，并且，即病人最终全部消失。（6）2021/3/29 星期一24v2、最终未被感染的健康人数的比例满足（在（6）式中，令）：v（7）v该方程在内有根，即取值在内。2021/3/29 星期一25v3、当时，达到最大v4、当时，传染病会蔓延时，传染病不会蔓延，是一个阈值。于是提高阈值，减少接触数，即日接触率减小，日治愈率增大，也即提高卫生水平和医疗水平有助于控制传染病的蔓延。2021/3/29 星期一26v5、（群体免疫和预防）当（群体免疫和预防）当 时，时，传染病不会蔓延，所以除了提高卫生传染病不会蔓延，所以除了提高卫生水平和医疗水平外，另一控制传染病水平和医疗水平外，另一控制传染病蔓延的途径是降低，从而提高，蔓延的途径是降低，从而提高，即通过群体免疫，使开始时的移出者即通过群体免疫，使开始时的移出者增大。增大。2021/3/29 星期一27v6、实际中，的值很难估计，、实际中，的值很难估计，在（在（7）式中求得：）式中求得：v可以通过此式来分析传染病的蔓延过可以通过此式来分析传染病的蔓延过程。程。2021/3/29 星期一28v7、（被传染比例的估计）令，则由、（被传染比例的估计）令，则由（6）式得：）式得：v取对数函数泰勒展开的前两项，并忽取对数函数泰勒展开的前两项，并忽略得：略得：v即得即得 2021/3/29 星期一29v 为该地区人口比例中超过为该地区人口比例中超过阈值的部分，当这个值充阈值的部分，当这个值充分小时分小时当阈值提高时，这个比例会降低。当阈值提高时，这个比例会降低。2021/3/29 星期一302021/3/29 星期一312021/3/29 星期一32