【易错题】苏科版九年级下第七章锐角三角函数单元测试卷(教师用).doc

【易错题解析】苏科版九年级数学下册 第七章 锐角三角函数 单元测试卷一、单选题（共10题；共29分）1.在ABC中，A，B都是锐角，tanA=1，sinB= 22 ，你认为ABC最确切的判断是（ ） A.等腰三角形B.等腰直角三角形C.直角三角形D.锐角三角形【答案】B 【考点】三角形内角和定理，特殊角的三角函数值 【解析】【解答】解：由题意得：A=45，B=45，C=180AB=90故答案为：B【分析】由特殊角的锐角三角函数值可得A=45，B=45，再由三角形内角和定理可得C=180AB=90。2.如图，在RtABC中，C=90，BC=4，AC=3，则sinB= ACAB =（ ）A.35B.45C.37D.34【答案】A 【考点】锐角三角函数的定义 【解析】【解答】解：C=90，BC=4，AC=3，AB=5，sinB= ACAB = 35 ，故答案为：A【分析】根据勾股定理算出AB，再根据正弦函数的定义即可直接得出答案。3.游客上歌乐山山有两种方式：一种是如图，先从A沿登山步道走到B，再沿索道乘座缆车到C，另一种是沿着盘山公路开车上山到C，已知在A处观铡到C，得仰角CAD=3l，且A、B的水平距离AE=430米，A、B的竖直距离BE=210米，索道BC的坡度i=1：1.5，CDAD于D，BFCD于F，则山篙CD为（ ）米；（参考数据：tan310.6cos3l0.9） A.680B.690C.686D.693【答案】B 【考点】解直角三角形的应用坡度坡角问题，解直角三角形的应用仰角俯角问题 【解析】【解答】解：索道BC的坡度i=1：1.5， CF：BF=1：1.5，设CF=x，则BF=1.5x，CAD=3l，且A、B的水平距离AE=430米，A、B的竖直距离BE=210米，tanCAD= CDAD=x+210430+1.5x ，tan310.6， x+210430+1.5x=0.6 ，解得，x=480，CD=CF+DF=480+210=690，故选B【分析】根据题目中的数据和锐角三角函数可以求得CD的长，从而可以解答本题4.若是锐角，tantan50=1，则的值为（ ） A.20B.30C.40D.50【答案】C 【考点】互余两角三角函数的关系 【解析】【解答】解：tantan50=1 +50=90=40故选C【分析】互为余角的两个角的正切值互为倒数5.某地区准备修建一座高AB6m的过街天桥，已知天桥的坡面AC与地面BC的夹角ACB的余弦值为45，则坡面AC的长度为（）A.8B.9C.10D.12【答案】C 【考点】解直角三角形的应用坡度坡角问题 【解析】【分析】在RtABC中，通过已知边和已知角的余弦值，即可计算出未知边AC的长度【解答】由在RtABC中，cosACB=BCAC=45，设BC=4x，AC=5x，则AB=3x，则sinACB=ABAC=35；又AB=6m，AC=10m故选C6.如图，在四边形ABCD中，AB=AD=6，ABBC，ADCD，BAD=60，点M，N分别在AB，AD边上，若AM：MB=AN：ND=1：2，则sinMCN=（ ） A.3313B.3314C.35D.5 2【答案】B 【考点】相似三角形的判定与性质，解直角三角形 【解析】【解答】解：AB=AD=6，AM：MB=AN：ND=1：2， AM=AN=2，BM=DN=4，连接MN，连接AC，ABBC，ADCD，BAD=60在RtABC与RtADC中，AB=ADAC=AC ，RtABCRtADC（HL），BAC=DAC= 12 BAD=30，MC=NC，BC= 12 AC，AC2=BC2+AB2 ， 即（2BC）2=BC2+AB2 ， 3BC2=AB2 ， BC=2 3 ，在RtBMC中，CM= BM2+BC2 =2 7 ，AN=AM，MAN=60，MAN是等边三角形，MN=AM=AN=2，过M点作MECN于E，设NE=x，则CE=2 7 x，MN2NE2=MC2EC2 ， 即4x2=（2 7 ）2（2 7 x）2 ， 解得：x= 77 ，EC=2 7 77 = 1377 ，由勾股定理得：ME= MC2-CE2 = (27)2-(1377)2 = 3217 ，sinMCN= MECM = 321727 = 3314 ，故选B【分析】连接AC，通过三角形全等，求得BAC=30，从而求得BC的长，然后根据勾股定理求得CM的长，连接MN，过M点作MECN于E，则MNA是等边三角形求得MN=2，设NE=x，表示出CE，根据勾股定理即可求得ME，然后求得sinMCN的值即可7.在RtABC中，C=90，若cosB=35 ， 则sinB的值得是（） A.45B.35C.34D.43【答案】A 【考点】同角三角函数的关系 【解析】【解答】解：sin2B+cos2B=1，cosB=35 ， sin2B=1（35）2=1625 ， B为锐角，sinB=45 ， 故选A【分析】根据sin2B+cos2B=1和cosB=35即可求出答案8.如图，在反比例函数y= 32x 的图象上有一动点A，连接AO并延长交图象的另一支于点B，在第二象限内有一点C，满足AC=BC，当点A运动时，点C始终在函数y= kx 的图象上运动，若tanCAB=2，则k的值为（ ） A.3B.6C.9D.12【答案】B 【考点】相似三角形的判定与性质，解直角三角形，反比例函数图象上点的坐标特征 【解析】【解答】解：如图，连接OC，过点A作AEy轴于点E，过点C作CFy轴于点F， 由直线AB与反比例函数y= 32x 的对称性可知A、B点关于O点对称，AO=BO又AC=BC，COABAOE+AOF=90，AOF+COF=90，AOE=COF，又AEO=90，CFO=90，AOECOF， AECF = OEOF = AOCO ，tanCAB= OCOA =2，CF=2AE，OF=2OE又AEOE= 32 ，CFOF=|k|，k=6点C在第二象限，k=6，故选：B【分析】连接OC，过点A作AEx轴于点E，过点C作CFy轴于点F，通过角的计算找出AOE=COF，结合“AEO=90，CFO=90”可得出AOECOF，根据相似三角形的性质得出比例式，再由tanCAB=2，可得出CFOF的值，进而得到k的值9.如图，小敏同学想测量一棵大树的高度 她站在B处仰望树顶，测得仰角为30，再往大树的方向前进4m ， 测得仰角为60，已知小敏同学身高（AB）为1.6m ， 则这棵树的高度为（）（结果精确到0.1m ， 1.73） A.3.5mB.3.6mC.4.3mD.5.1m.【答案】D 【考点】解直角三角形的应用仰角俯角问题 【解析】【解答】设CD=x ， 在RtACD中，CD=x ， CAD=30，则tan30=CD：AD=x：AD故AD= x ， 在RtCED中，CD=x ， CED=60，则tan60=CD：ED=x：ED故ED= x ， 由题意得，AD-ED= x- x=4，解得：x=2 ，则这棵树的高度=2 +1.65.1m 故选D.【分析】设CD=x ， 在RtACD中求出AD ， 在RtCED中求出ED ， 再由AE=4m ， 可求出x的值，再由树高=CD+FD即可得出答案 10.如图，在平面直角坐标系中RtABC的斜边BC在x轴上，点B坐标为（1，0），AC=2，ABC=30，把RtABC先绕B点顺时针旋转180，然后再向下平移2个单位，则A点的对应点A的坐标为（ ）A.（4，2 3 ）B.（4，2+ 3 ）C.（2，2+ 3 ）D.（2，2 3 ）【答案】D 【考点】锐角三角函数的定义，作图旋转 【解析】【解答】解：作ADBC，并作出把RtABC先绕B点顺时针旋转180后所得A1BC1 ， 如图所示AC=2，ABC=30，BC=4，AB=2 3 ，AD= ABACBC = 2324 = 3 ，BD= AB2BC = （23）24 =3点B坐标为（1，0），A点的坐标为（4， 3 ）BD=3，BD1=3，D1坐标为（2，0），A1坐标为（2， 3 ）再向下平移2个单位，A的坐标为（2， 3 2）故答案为：D【分析】因本题要求点A的坐标，所以要求出A1D1和OD1的长度，那我们求出AD和OD的长度即可。首先，根据已知题意作出旋转图形A1BC1； 然后根据面积相等法求出AD的长度，再根据勾股定理求出BD的长度，即可得到A1的坐标：最后再根据题意向下平移2个单位即可。二、填空题（共10题；共33分）11.已知、均为锐角，且满足|sin 12 |+ (tan-1)2 =0，则+=_ 【答案】75 【考点】特殊角的三角函数值，非负数的性质：算术平方根，绝对值的非负性 【解析】【解答】由已知sin- 12 =0，tan-1=0，=30，=45，+=75【分析】根据两个非负数的和等于0可得这两个非负数都等于0可得，sin-12 =0，tan-1=0，sin=12，tan=1，由特殊角的三角函数值可得=30，=45，故，+=7512.在RtABC中，C=90，a，b分别是A、B的对边，如果sinA：sinB=2：3，那么a：b等于_ 【答案】2：3 【考点】互余两角三角函数的关系 【解析】【解答】解：在RtABC中，C=90，a，b分别是A、B的对边，c为C对的边， sinA= ac ，sinB= bc ，sinA：sinB=2：3， ac ： bc =2：3，a：b=2：3故答案为2：3【分析】根据正弦的定义得到sinA= ac ，sinB= bc ，再由sinA：sinB=2：3得到 ac ： bc =2：3，然后利用比例性质化简即可13.如图，O的直径AB与弦CD相交于点E，AB=5，AC=3，则tanADC =_【答案】34 【考点】圆周角定理，解直角三角形 【解析】【解答】解：AB是直径，AB=5，AC=3，BC= AB2-AC2=4 ，tanADC=tanB= ACBC=34 故答案为： 34 【分析】根据直径所对的圆周角是直角可得ACB=90，在直角三角形ABC中，由勾股定理可得BC=AB2-AC2=4,所以tanADC=tanB=ACBC=34.14.在ABC中，已知C=90，sinA= 13 ，则cosA= _，tanB= _. 【答案】223；2 2 【考点】同角三角函数的关系，互余两角三角函数的关系 【解析】【解答】解：如图，C=90，sinA= 13 ， sinC= BCAB = 13 ， 设BC=x，则AB=3x，AC= AB2-BC2 =2 2 x，cosA= ACAB = 22x3x = 223 ，tanB= ACBC = 22x3x =2 2 故答案为 223 ，2 2 【分析】根据正弦的定义得到sinC= ACAB = 13 ，则可设BC=x，则AB=3x，再利用勾股定理计算出AC，然后根据余弦和正切的定义求解15.赵亮同学想利用影长测量学校旗杆的高度，如图，他在某一时刻立1米长的标杆测得其影长为1.2米，同时旗杆的投影一部分在地面上，另一部分在某一建筑的墙上，分别测得其长度为9.6米和2米，则学校旗杆的高度为_米【答案】10 【考点】相似三角形的应用，解直角三角形的应用 【解析】【解答】解：1米长的标杆测得其影长为1.2米，即某一时刻实际高度和影长之比为定值 11.2 ，所以墙上的2米投射到地面上实际为2.4米，即旗杆影长为12米，因此旗杆总高度为10米【分析】根据同一时刻物高与影长成正比.过点D作DEAB于点E，由题意可得出AE:DE=1：1.2，即可求出旗杆的总高AB的长。16.已知一条长度为10米的斜坡两端的垂直高度差为6米，那么该斜坡的坡角度数约为_（备用数据：tan31=cot590.6，sin37=cos530.6） 【答案】37 【考点】解直角三角形的应用坡度坡角问题 【解析】【解答】解：斜坡的坡角的正弦值为： 610 =0.6，则斜坡的坡角度数约为37，故答案为：37【分析】根据解直角三角形求出斜坡的坡角的正弦值，得到斜坡的坡角度数.17.已知菱形的边长为3，一个内角为60，则该菱形的面积是_ 【答案】932 【考点】等边三角形的判定与性质，锐角三角函数的定义 【解析】【解答】解：如图所示：连接AC，过点A作AMBC于点M，菱形的边长为3，AB=BC=3，有一个内角是60，ABC=60，ABC是等边三角形，AM=ABsin60= 332 .此菱形的面积为：3 332 = 932 .【分析】如图所示：连接AC，过点A作AMBC于点M，首先根据菱形的性质及等边三角形的判定判断出ABC是等边三角形，根据正弦函数的定义由AM=ABsin60得出AM的长，再根据菱形的面积等于底乘以高即可得出答案。18.小明乘滑草车沿坡比为1：2.4的斜坡下滑130米，则他下降的高度为_米 【答案】50 【考点】解直角三角形的应用 【解析】【解答】解：坡比为1：2.4，BC：AC=1：2.4，设BC=x，AC=2.4x，则AB=AC2+BC2= x2+2.4x2=2.6x，AB=130米，x=50，则BC=x=50（米）故答案为：50【分析】根据斜坡的坡比为1：2.4，可得BC：AC=1：2.4，设BC=x，AC=2.4x，根据勾股定理求出AB，然后根据题意可知AB=130米，求出x的值，继而可求得BC的值19.如图，若ABC内一点P满足PAC=PCB=PBA，则称点P为ABC的布罗卡尔点，三角形的布罗卡尔点是法国数学家和数学教育家克雷尔首次发现，后来被数学爱好者法国军官布罗卡尔重新发现，并用他的名字命名，布罗卡尔点的再次发现，引发了研究“三角形几何”的热潮已知ABC中，CA=CB，ACB=120，P为ABC的布罗卡尔点，若PA= 3 ，则PB+PC=_【答案】1+ 33 【考点】等腰三角形的性质，相似三角形的判定与性质，锐角三角函数的定义 【解析】【解答】作CHAB于HCA=CB，CHAB，ACB=120，AH=BH，ACH=BCH=60，CAB=CBA=30，AB=2BH=2BCcos30= 3 BC，PAC=PCB=PBA，PAB=PBC，PABPBC， PAPB=PBPC=ABBC=3 ，PA= 3 ，PB=1，PC= 33 ，PB+PC=1+ 33 故答案为1+ 33 【分析】作CHAB于H根据等腰三角形的性质得出AH=BH，ACH=BCH=60，CAB=CBA=30，根据余弦函数的定义，BH=BCcos30，故AB=2BH=2BCcos30=3 BC，根据布罗卡尔点的定义及等腰三角形的性质得出PAB=PBC，从而判断出PABPBC，根据相似三角形对应边成比例得出PAPB=PBPC=ABBC=3,根据比例式即可算出PB,PC的长，从而得出答案。20.（2017贵港）如图，点P在等边ABC的内部，且PC=6，PA=8，PB=10，将线段PC绕点C顺时针旋转60得到PC，连接AP，则sinPAP的值为_ 【答案】35 【考点】等边三角形的性质，解直角三角形，旋转的性质 【解析】【解答】解：连接PP，如图， 线段PC绕点C顺时针旋转60得到PC，CP=CP=6，PCP=60，CPP为等边三角形，PP=PC=6，ABC为等边三角形，CB=CA，ACB=60，PCB=PCA，在PCB和PCA中PC=PCPCB=PCACB=CA ，PCBPCA，PB=PA=10，62+82=102 ， PP2+AP2=PA2 ， APP为直角三角形，APP=90，sinPAP= PPPA = 610 = 35 故答案为 35 【分析】连接PP，如图，先利用旋转的性质得CP=CP=6，PCP=60，则可判定CPP为等边三角形得到PP=PC=6，再证明PCBPCA得到PB=PA=10，接着利用勾股定理的逆定理证明APP为直角三角形，APP=90，然后根据正弦的定义求解三、解答题（共8题；共58分）21.（2017深圳）计算 |2-2|-2cos45+(-1)-2+8 【答案】解：原式=2-2-222+1+22. =3. 【考点】实数的运算，负整数指数幂的运算性质，二次根式的性质与化简，特殊角的三角函数值，实数的绝对值 【解析】【分析】根据二次根式，负指数幂，绝对值，特殊角的三角函数值等性质计算即可得出答案.22.如图，一艘轮船位于灯塔P的北偏东60方向，与灯塔P的距离为80海里的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东45方向的B处，求此时轮船所在的B处与灯塔P的距离（参考数据： 6 2.449，结果保留整数）【答案】解：作PCAB交于C点，由题意可得APC=30，BPC=45，AP=80（海里）在RtAPC中，PC=PAcosAPC=40 3 （海里）在RtPCB中，PB= PCcosBPC=403cos45=406 98（海里）答：此时轮船所在的B处与灯塔P的距离是98海里 【考点】解直角三角形的应用方向角问题 【解析】【分析】构造直角三角形，作PCAB交于C点；由方位角易知APC=30，BPC=45，则根据解直角三角形的知识解答即可23.（2017恩施州）如图，小明家在学校O的北偏东60方向，距离学校80米的A处，小华家在学校O的南偏东45方向的B处，小华家在小明家的正南方向，求小华家到学校的距离（结果精确到1米，参考数据： 2 1.41， 3 1.73， 6 2.45）【答案】解：由题意可知：作OCAB于C，ACO=BCO=90，AOC=30，BOC=45在RtACO中，ACO=90，AOC=30，AC= 12 AO=40m，OC= 3 AC=40 3 m在RtBOC中，BCO=90，BOC=45，BC=OC=40 3 mOB= OC2+BC2 =40 6 402.4582（米）答：小华家到学校的距离大约为82米 【考点】解直角三角形的应用方向角问题 【解析】【分析】作OCAB于C，由已知可得ABO中A=60，B=45且OA=80m，要求OB的长，可以先求出OC和BC的长24.如图，某湖心岛上有一亭子 A ，在亭子 A 的正东方向上的湖边有一棵树 B ，在这个湖心岛的湖边 C 处测得亭子 A 在北偏西 45 方向上，测得树 B 在北偏东 36 方向上，又测得 B 、 C 之间的距离等于 200 米，求 A 、 B 之间的距离（结果精确到 1 米）（参考数据： 21.414 ， sin360.588 ， cos360.809 ， tan360.727 ， cot361.376 ）【答案】解：过点 C 作 CHAB ，垂足为点 H ，由题意，得 ACH=45 , BCH=36 , BC=200 ，在Rt BHC 中， sinBCH=BHBC , sin36=BH200 ， sin360.588 ， BH117.6 ，又 cosBCH=HCBC ， cos36=HC200， cos360.809 ， HC161.8在Rt AHC 中， tanACH=AHHC ACH=45 AH=HC AH161.8又 AB=AH+BH AB279.4 AB279 （米）答： A 、 B 之间的距离为 279 米. 【考点】解直角三角形的应用方向角问题 【解析】【分析】过点 C 作 C H A B ，垂足为点 H ， 在Rt B H C 中，根据正弦函数的定义得出BH的值，由余弦函数得出HC的值，在Rt A H C 中，根据正切函数得出A H = H C，从而根据线段的和差得出AB的值，即A、B之间的距离。25.某海船以 (23+2) 海里/小时的速度向北偏东70方向行驶，在A处看见灯塔B在海船的北偏东40方向，5小时后船行驶到C处，发现此时灯塔B在海船的北偏西65方向，求此时灯塔B到C处的距离。【答案】解：过点B作BDAC于点D.因为MAB=40，MAC=70，所以BAC=70-40=30，又因为NCB=65，NCA=180-70=110，所以ACB=45，所以DB=CD，AD= 3BD .设CD=x，则BD=x，AD= 3x .所以 3x +x=5 (23+2) ，解得x=10.所以BC= 102 .此时灯塔B到C处的距离是 102 海里.【考点】特殊角的三角函数值 【解析】【分析】过点B作BDAC于点D，根据特殊角的函数值，表示出边长，然后根据BD+AD=路程，求出BC的长度。26.（2016泰州）如图，地面上两个村庄C、D处于同一水平线上，一飞行器在空中以6千米/小时的速度沿MN方向水平飞行，航线MN与C、D在同一铅直平面内当该飞行器飞行至村庄C的正上方A处时，测得NAD=60；该飞行器从A处飞行40分钟至B处时，测得ABD=75求村庄C、D间的距离（ 3 取1.73，结果精确到0.1千米） 【答案】解：过B作BEAD于E， NAD=60，ABD=75，ADB=45，AB=6 =4，AE=2BE=2 ，DE=BE=2 ，AD=2+2 ，C=90，CAD=30，CD= AD=1+ 2.7千米【考点】解直角三角形的应用 【解析】【分析】过B作BEAD于E，三角形的内角和得到ADB=45，根据直角三角形的性质得到AE=2BE=2 3 ，求得AD=2+2 3 ，即可得到结论27.如图，书桌上的一种新型台历和一块主板AB、一个架板AC和环扣（不计宽度，记为点A）组成，其侧面示意图为ABC，测得ACBC，AB=5cm，AC=4cm，现为了书写记事方便，须调整台历的摆放，移动点C至C，当C=30时，求移动的距离即CC的长（或用计算器计算，结果取整数，其中 3 =1.732， 21 =4.583） 【答案】解：过点A作ADBC，垂足为D 在ABC中，ACBC，AB=5cm，AC=4cm，BC=3cm当动点C移动至C时，AC=AC=4cm在ADC中，C=30，ADC=90，AD= AC=2cm，CD= AD=2 cm在ADB中，ADB=90，AB=5cm，AD=2cm，BD= = cm，CC=CD+BDBC=2 + 3， =1.732， =4.583，CC=21.732+4.58335故移动的距离即CC的长约为5cm【考点】解直角三角形的应用 【解析】【分析】过点A作ADBC，垂足为D，先在ABC中，由勾股定理求出BC=3cm，再解RtADC，得出AD=2cm，CD=2 3 cm，在RtADB中，由勾股定理求出BD= 21 cm，然后根据CC=CD+BDBC，将数据代入，即可求出CC的长28.随着人们经济收入的不断提高，汽车已越来越多地进入到各个家庭某大型超市为缓解停车难问题，建筑设计师提供了楼顶停车场的设计示意图按规定，停车场坡道口上坡要张贴限高标志，以便告知车辆能否安全驶入如图，地面所在的直线ME与楼顶所在的直线AC是平行的，CD的厚度为0.5m，求出汽车通过坡道口的限高DF的长（结果精确到0.1m，sin280.47，cos280.88，tan280.53）【答案】解：ACME，CAB=AEM，在RtABC中，CAB=28，AC=9m，BC=ACtan2890.53=4.77（m），BD=BCCD=4.770.5=4.27（m），在RtBDF中，BDF+FBD=90，在RtABC中，CAB+FBC=90，BDF=CAB=28，DF=BDcos284.270.88=3.75763.8 （m），答：坡道口的限高DF的长是3.8m【考点】解直角三角形的应用 【解析】【分析】本题需先构造直角三角形，所以做CFAB，BDAC，在RtABC中，AC=9m，CAB=28，所以可知BC=ACtan2890.53=4.77m，因为CD=0.5m，进而可求出DF=BDcos284.270.88=3.75763.8.第 19 页 共 19 页