一元二次方程根与系数的关系的关系(含答案).doc

21.2.4 一元二次方程的根与系数的关系A基础知识详解知识点 一元二次方程根与系数的关系关系如果一元二次方程ax2+bx+c=0的两个根为x1，x2，那么x1+x2= - ，x1x2= .常用变形x12+x22=(x1+x2)2-2x1x2; (x1+1)(x2+1)=x1x2+(x1+x2)+1; ;=;=.逆用如果已知某一元二次方程的两根为x1，x2，则该一元二次方程可表示为x2-(x1+x2)x+x1x2=0或(x-x1)(x-x2)=0.特别提醒根与系数关系存在的基础是方程有解，即0.随堂例题例1 设a，b是方程x2+x-2018=0的两个不相等的实数根（1）a+b= -1；ab= -2016；（2）求代数式a2+2a+b的值自主解答：（1）a，b是方程x2+x-2016=0的两个不相等的实数根，a+b=-1；ab=-2016；（2）a是方程x2+x-2018=0的实数根，a2+a-2018=0，a2=-a+2018，a2+2a+b=-a+2018+2a+b=a+b+2018，a、b是方程x2+x-2018=0的两个实数根，a+b=-1，a2+2a+b=-1+2018=2017【一中名师点拨】（1）直接利用根与系数的关系求解；（2）要先变形，利用根与系数的关系已经方程的解来求解.随堂训练1.已知x1、x2是方程2x2+3x-4=0的两根，那么x1+ x2= ；x1x2= 2 ；+= ；= ；= .2.已知关于x的一元二次方程x2+4x+m-1=0（1）当m何值时，方程有两个相等的实数根；（2）当m=2时，设、是方程的两个实数根， 求2+2+的值解：（1）依题意得：=42-4（m-1）=0，解得m=5；（2）当m=2时，设、是方程的两个实数根，+=-4，=m-1=1，2+2+=（+）2-=（-4）2-1=15，即2+2+=15例2 已知：关于x的方程x2+kx-2=0（1）求证：方程有两个不相等的实数根；（2）若方程的一个根是-1，求另一个根及k值自主解答：（1）=k2-41（-2）=k2+80，方程有两个不相等的实数根;（2）将x=-1代入原方程，得1-k-2=0，k=-1设方程的另一个根为x1，根据题意得-1x1=-2，x1=2方程的另一个根为2，k值为-1【八中名师点拨】利用根与系数的关系可以简便的根据两根求出方程中未知数的值，也可以简便的根据一根求出方程的另一根.随堂训练3.已知关于x的一元二次方程x2-kx-6=0的一个根为x=3，则另一个根为（A）Ax=-2Bx=-3Cx=2Dx=34.（2017绵阳）关于x的方程2x2+mx+n=0的两个根是-2和1，则nm的值为（C）A-8B8C16D-165. 若方程x2+（m+1）x-2n=0的两根分别为2和-5，则m= 2 2，n= 5 5B重难点解读重难点 根据方程中两根的关系确定方程中字母的值随堂例题例1 已知关于x的方程x2+（2k-1）x+k2-1=0有两个实数根x1、x2（1）求实数k的取值范围；（2）若x1、x2满足x12+x22=16+x1x2，求实数k的值自主解答：（1）关于x的方程x2+（2k-1）x+k2-1=0有两个实数根x1，x2，=（2k-1）2-4（k2-1）=-4k+50，解得k，实数k的取值范围为k；（2）关于x的方程x2+（2k-1）x+k2-1=0有两个实数根x1，x2，x1+x2=1-2k，x1x2=k2-1x12+x22=（x1+x2）2-2x1x2=16+x1x2，（1-2k）2-2（k2-1）=16+（k2-1），即k2-4k-12=0，解得k=-2或k=6（不符合题意，舍去）实数k的值为-2【一中名师点拨】题目中提到两个实数根，即隐含着根的判别式大于等于0；当根据方程中两根的关系确定方程中字母的值，关键是把这种关系式转化为含x1+x2及x1x2的形式.随堂训练1.（2017烟台）若x1，x2是方程x2-2mx+m2-m-1=0的两个根，且x1+x2=1-x1x2，则m的值为（D）A-1或2 B1或-2 C-2 D12.已知关于x的一元二次方程x2+（m+2）x+m=0，（1）求证：无论m取何值，原方程总有两个不相等的实数根；（2）若x1，x2是原方程的两根，且=-2，求m的值.解：（1）=（m+2）2-4m=m2+40，无论m取何值，原方程总有两个不相等的实数根；（2）x1，x2是原方程的两根，x1+x2=-（m+2），x1x2=m=-=-2，解得m=2，经检验，m=2是分式方程的解，且符合题意，m的值为2 课后达标基础训练1.（2017呼和浩特）关于x的一元二次方程x2+（a2-2a）x+a-1=0的两个实数根互为相反数，则a的值为（B）A2B0C1D2或02.（2017新疆）已知关于x的方程x2+x-a=0的一个根为2，则另一个根是（A）A-3B-2C3D63.已知m，n是一元二次方程x2-4x-3=0的两个实数根，则代数式（m+1）（n+1）的值为（D）A-6B-2C0D24.已知实数x1，x2满足x1+x2=11，x1x2=30，则以x1，x2为根的一元二次方程是（A）Ax2-11x+30=0Bx2+11x+30=0Cx2+11x-30=0Dx2-11x-30=05.已知x1、x2是方程2x2+3x-4=0的两根，那么x1+ x2= ；x1x2= 2 ；+= ；x12+ x22= ；= .6.已知关于x的方程x2+ax+b+1=0的解为x1=x2=2，则a+b的值为 -1 .7.以+和-为两根的一元二次方程是 x2-2x+1=0 .8.已知方程5x2+mx-10=0的一根是-5，求方程的另一根及m的值. 解：设方程的另一个根为k，则-5k=-2，解得，又k-5=，得m=23.9.已知关于x的一元二次方程kx2+x-2=0有两个不相等的实数根（1）求实数k的取值范围；（2）设方程两个实数根分别为x1，x2，且满足x12+x22+3x1x2=3，求k的值解：（1）根据题意得k0且=12-4k（-2）0，解得k-且k0；（2）根据题意得x1+x2=-，x1x2=-，x12+x22+3x1x2=3，（x1+x2）2+x1x2=3，（-）2-=3，整理得3k2+2k-1=0，解得k1=，k2=-1，k-且k0，k=10.已知关于x的一元二次方程x2+（2m-3）x+m2=0有两个实数根x1和x2（1）求实数m的取值范围；（2）若x1+x2=6-x1x2，求（x1-x2）2+3x1x2-5的值解：（1）=（2m-3）2-4m2=4m2-12m+9-4m2=-12m+9，0，-12m+90，m；（2）由题意可得x1+x2=-（2m-3）=3-2m，x1x2=m2，又x1+x2=6-x1x2，3-2m=6-m2，m2-2m-3=0，m1=3，m2=-1，又m，m=-1，x1+x2=5，x1x2=1，（x1-x2）2+3x1x2-5=（x1+x2）2-4x1x2+3x1x2-5=（x1+x2）2-x1x2-5=52-1-5=19能力提升11.（2017仙桃）若、为方程2x2-5x-1=0的两个实数根，则22+3+5的值为（B）A-13B12C14D1512.若非零实数a，b（a0）满足a2-a-2018=0,b2-b-2018=0，则= .13.已知关于x的方程x2-（k+1）x+k2+1=0的两根是一个矩形两邻边的长，且矩形的对角线长为，求k= 2 .14.已知关于x的一元二次方程x2+(2k+1)x+k2-2=0的两根为x1和x2，且(x1-2)(x1-x2)=0，则k的值是 -2或- .15.（2017黄石）已知关于x的一元二次方程x2-4x-m2=0.（1）求证：该方程有两个不等的实根；（2）若该方程的两实根x1、x2满足x1+2x2=9，求m的值解：（1）在方程x2-4x-m2=0中，=（-4）2-41（-m2）=16+4m20，该方程有两个不等的实根；（2）该方程的两个实数根分别为x1、x2，x1+x2=4，x1x2=-m2x1+2x2=9，联立解得x1=-1，x2=5，x1x2=-5=-m2，解得m=