一元二次方程根与系数的关系的关系(含答案).doc

21.2.4 一元二次方程的根与系数的关系
A基础知识详解——————————————
☆知识点 一元二次方程根与系数的关系
关系
如果一元二次方程ax2+bx+c=0的两个根为x1，x2，那么x1+x2= - ，x1x2= .
常用变形
x12+x22=(x1+x2)2-2x1x2; (x1+1)(x2+1)=x1x2+(x1+x2)+1; ;
=;=.
逆用
如果已知某一元二次方程的两根为x1，x2，则该一元二次方程可表示为x2-(x1+x2)x+x1x2=0或(x-x1)(x-x2)=0.
特别提醒
根与系数关系存在的基础是方程有解，即△≥0.

○随堂例题
例1 设a，b是方程x2+x-2018=0的两个不相等的实数根．
（1）a+b= -1
；ab= -2016
；
（2）求代数式a2+2a+b的值．
自主解答：（1）∵a，b是方程x2+x-2016=0的两个不相等的实数根，
∴a+b=-1；ab=-2016；
（2）∵a是方程x2+x-2018=0的实数根，
∴a2+a-2018=0，∴a2=-a+2018，
∴a2+2a+b=-a+2018+2a+b=a+b+2018，
∵a、b是方程x2+x-2018=0的两个实数根，
∴a+b=-1，
∴a2+2a+b=-1+2018=2017．
【一中名师点拨】（1）直接利用根与系数的关系求解；（2）要先变形，利用根与系数的关系已经方程的解来求解.
○随堂训练
1.已知x1、x2是方程2x2+3x-4=0的两根，那么x1+ x2= ；x1·x2= 2 ；+= ；= ；= .
2.已知关于x的一元二次方程x2+4x+m-1=0．
（1）当m何值时，方程有两个相等的实数根；
（2）当m=2时，设α、β是方程的两个实数根， 求α2+β2+αβ的值．
解：（1）依题意得：△=42-4（m-1）=0，
解得m=5；
（2）∵当m=2时，设α、β是方程的两个实数根，
∴α+β=-4，αβ=m-1=1，
∴α2+β2+αβ=（α+β）2-αβ=（-4）2-1=15，
即α2+β2+αβ=15．

例2 已知：关于x的方程x2+kx-2=0
（1）求证：方程有两个不相等的实数根；
（2）若方程的一个根是-1，求另一个根及k值．
自主解答：（1）∵△=k2-4×1×（-2）=k2+8＞0，∴方程有两个不相等的实数根;
（2）将x=-1代入原方程，得1-k-2=0，
∴k=-1．设方程的另一个根为x1，
根据题意得-1•x1=-2，∴x1=2．
∴方程的另一个根为2，k值为-1．
【八中名师点拨】利用根与系数的关系可以简便的根据两根求出方程中未知数的值，也可以简便的根据一根求出方程的另一根.
○随堂训练
3.已知关于 x的一元二次方程x2-kx-6=0的一个根为x=3，则另一个根为（　A　）
A．x=-2 B．x=-3 C．x=2 D．x=3
4.（2017绵阳）关于x的方程2x2+mx+n=0的两个根是-2和1，则nm的值为（　C　）
A．-8 B．8 C．16 D．-16
5. 若方程x2+（m+1）x-2n=0的两根分别为2和-5，则m= 2 2
，n= 5 5
．

B重难点解读—————————

☆重难点 根据方程中两根的关系确定方程中字母的值

○随堂例题
例1 已知关于x的方程x2+（2k-1）x+k2-1=0有两个实数根x1、x2．
（1）求实数k的取值范围；
（2）若x1、x2满足x12+x22=16+x1•x2，求实数k的值．
自主解答：（1）∵关于x的方程x2+（2k-1）x+k2-1=0有两个实数根x1，x2，
∴△=（2k-1）2-4（k2-1）=-4k+5≥0，
解得k≤，∴实数k的取值范围为k≤；
（2）∵关于x的方程x2+（2k-1）x+k2-1=0有两个实数根x1，x2，∴x1+x2=1-2k，x1•x2=k2-1．
∵x12+x22=（x1+x2）2-2x1•x2=16+x1•x2，
∴（1-2k）2-2×（k2-1）=16+（k2-1），即k2-4k-12=0，
解得k=-2或k=6（不符合题意，舍去）．
∴实数k的值为-2．
【一中名师点拨】题目中提到两个实数根，即隐含着根的判别式大于等于0；当根据方程中两根的关系确定方程中字母的值，关键是把这种关系式转化为含x1+x2及x1x2的形式.
○随堂训练
1.（2017烟台）若x1，x2是方程x2-2mx+m2-m-1=0的两个根，且x1+x2=1-x1x2，则m的值为（　D　）
A．-1或2 B．1或-2 C．-2 D．1
2.已知关于x的一元二次方程x2+（m+2）x+m=0，
（1）求证：无论m取何值，原方程总有两个不相等的实数根；
（2）若x1，x2是原方程的两根，且=-2，求m的值.
解：（1）△=（m+2）2-4m=m2+4＞0，∴无论m取何值，原方程总有两个不相等的实数根；
（2）∵x1，x2是原方程的两根，
∴x1+x2=-（m+2），x1x2=m．
∵==-=-2，
解得m=2，经检验，m=2是分式方程的解，且符合题意，∴m的值为2．

课后达标

基础训练
1.（2017呼和浩特）关于x的一元二次方程x2+（a2-2a）x+a-1=0的两个实数根互为相反数，则a的值为（　B　）
A．2 B．0 C．1 D．2或0
2.（2017新疆）已知关于x的方程x2+x-a=0的一个根为2，则另一个根是（　A　）
A．-3 B．-2 C．3 D．6
3.已知m，n是一元二次方程x2-4x-3=0的两个实数根，则代数式（m+1）（n+1）的值为（　D　）
A．-6 B．-2 C．0 D．2
4.已知实数x1，x2满足x1+x2=11，x1x2=30，则以x1，x2为根的一元二次方程是（　A　）
A．x2-11x+30=0 B．x2+11x+30=0
C．x2+11x-30=0 D．x2-11x-30=0
5.已知x1、x2是方程2x2+3x-4=0的两根，那么x1+ x2= ；x1·x2= 2 ；+= ；x12+ x22= ；= .
6.已知关于x的方程x2+ax+b+1=0的解为x1=x2=2，则a+b的值为 -1 .
7.以+和-为两根的一元二次方程是 x2-2x+1=0 .
8.已知方程5x2+mx-10=0的一根是-5，求方程的另一根及m的值.
解：设方程的另一个根为k，
则-5k=-2，解得，又k-5=，得m=23.

9.已知关于x的一元二次方程kx2+x-2=0有两个不相等的实数根．
（1）求实数k的取值范围；
（2）设方程两个实数根分别为x1，x2，且满足x12+x22+3x1•x2=3，求k的值．
解：（1）根据题意得k≠0且△=12-4k•（-2）＞0，解得k＞-且k≠0；（2）根据题意得x1+x2=-，x1x2=-，∵x12+x22+3x1•x2=3，∴（x1+x2）2+x1•x2=3，∴（-）2-=3，整理得3k2+2k-1=0，解得k1=，k2=-1，∵k＞-且k≠0，∴k=．

10.已知关于x的一元二次方程x2+（2m-3）x+m2=0有两个实数根x1和x2．
（1）求实数m的取值范围；
（2）若x1+x2=6-x1x2，求（x1-x2）2+3x1x2-5的值．
解：（1）△=（2m-3）2-4m2=4m2-12m+9-4m2=-12m+9，∵△≥0，∴-12m+9≥0，∴m≤；
（2）由题意可得x1+x2=-（2m-3）=3-2m，x1x2=m2，又∵x1+x2=6-x1x2，∴3-2m=6-m2，∴m2-2m-3=0，∴m1=3，m2=-1，又∵m≤，∴m=-1，∴x1+x2=5，x1x2=1，∴（x1-x2）2+3x1x2-5=（x1+x2）2-4x1x2+3x1x2-5=（x1+x2）2-x1x2-5=52-1-5=19．

能力提升
11.（2017仙桃）若α、β为方程2x2-5x-1=0的两个实数根，则2α2+3αβ+5β的值为（　B　）
A．-13 B．12 C．14 D．15
12.若非零实数a，b（a≠0）满足a2-a-2018=0,b2-b-2018=0，则= .
13.已知关于x的方程x2-（k+1）x+k2+1=0的两根是一个矩形两邻边的长，且矩形的对角线长为，求k= 2 .
14.已知关于x的一元二次方程x2+(2k+1)x+k2-2=0的两根为x1和x2，且(x1-2)(x1-x2)=0，则k的值是 -2或- .
15.（2017黄石）已知关于x的一元二次方程x2-4x-m2=0.
（1）求证：该方程有两个不等的实根；
（2）若该方程的两实根x1、x2满足x1+2x2=9，求m的值．
解：（1）∵在方程x2-4x-m2=0中，△=（-4）2-4×1×（-m2）=16+4m2＞0，
∴该方程有两个不等的实根；
（2）∵该方程的两个实数根分别为x1、x2，
∴x1+x2=4①，x1•x2=-m2②．
∵x1+2x2=9③，∴联立①③解得x1=-1，x2=5，
∴x1•x2=-5=-m2，解得m=±．