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一题多解专题一：一元二次不等式恒成立问题
一元二次不等式恒成立问题的两种解法
(1)分离参数法.把所求参数与自变量分离,转化为求具体函数的最值问题.
(2)不等式组法.借助二次函数的图象性质,列不等式组求解.
例1. 设函数，对于满足1<x<4的一切x值，都有f(x)>0，求实数a的 取值范围.
【解析】法一：当a>0时，，由x∈(1,4)，f(x)>0得
或或
所以或或，所以或，即。
当a<0时，，解得a∈;
当a=0时，, f(1)=0,f(4)=-6,∴不合题意.
综上可得，实数a的取值范围是。 .
法二：由f(x)>0, 即,x∈(1,4)，
则有在(1，4)上恒成立.
令， ，
所以要使f(x)>0在(1,4)上恒成立，只要即可. 故a的取值范围为.
针对性练习：
1.已知不等式－2x－m＋1<0.
(1)若对所有的实数x不等式恒成立，求m的取值范围；
(2)设不等式对于满足|m|≤2的一切m的值都成立，求x的取值范围．
解析　(1)不等式－2x－m＋1<0恒成立，
即函数f(x)＝－2x－m＋1的图象全部在x轴下方.
（i) 当m＝0时，1－2x<0不恒成立；
（ii) 当m≠0时，函数f(x)＝mx2－2x－m＋1为二次函数，需满足图象开口向下且 方程mx2－2x－m＋1＝0无解，即则m无解.
综上，不存在这样的m，使不等式恒成立.
(2) 设f(m)＝(－1)m＋(1－2x)，
当－1＝0时，即x＝±1时，检验得x＝1时符合题意，
当≠1时，则f(m)是以m为自变量的一次函数，其图象是一条直线，由题意知该 直线当－2≤m≤2时的线段在x轴下方，
∴即
解①，得x<或x>， 解②，得<x<.
由①②，得<x<，且x≠1.
综上，x的取值范围为
2.已知函数在区间(－∞，－2]上单调递增，在区间[－2,2]上单调 递减，且b≥0.
(1)求f(x)的表达式；
(2)设0<m≤2，若对任意的x1、x2∈[m－2，m]不等式|f(x1)－f(x2)|≤16m恒成立，求实 数m的最小值．
解析　(1)由题意知x＝－2是该函数的一个极值点.
∵f′(x)＝3x2＋2bx＋c，∴f′(－2)＝0，即12－4b＋c＝0.
又f(x)在[－2,2]上单调递减， ∴f′(x)＝3x2＋2bx＋c在[－2,2]上恒有f′(x)≤0.
∴f′(2)≤0，即12＋4b＋c≤0. ∴12＋4b＋4b－12≤0.
∴b≤0，又b≥0，∴b＝0，c＝－12，f(x)＝x3－12x＋1.
(2)∵f′(x)＝3x2－12＝3(x－2)(x＋2)．
0<m≤2，而当m－2≤x≤m时，0<m≤x＋2<m＋2，m－4≤x－2≤m－2≤0，
∴f′(x)≤0，x∈[m－2，m]. 因此f(x)为[m－2，m]上的减函数，
∴对任意x1，x2∈[m－2，m]都有|f(x1)－f(x2)|≤f(x)max－f(x)min＝f(m－2)－f(m)
＝－6m2＋12m＋16≤16m， ∴m≥，即mmin＝.