一题多解专题一：一元二次不等式恒成立问题.doc

一题多解专题一：一元二次不等式恒成立问题一元二次不等式恒成立问题的两种解法(1)分离参数法.把所求参数与自变量分离,转化为求具体函数的最值问题.(2)不等式组法.借助二次函数的图象性质,列不等式组求解.例1. 设函数，对于满足1x0，求实数a的 取值范围.【解析】法一：当a0时，由x(1,4)，f(x)0得 或或 所以或或，所以或，即。 当a0, 即,x(1,4)， 则有在(1，4)上恒成立. 令， ， 所以要使f(x)0在(1,4)上恒成立，只要即可. 故a的取值范围为.针对性练习：1.已知不等式2xm10.(1)若对所有的实数x不等式恒成立，求m的取值范围；(2)设不等式对于满足|m|2的一切m的值都成立，求x的取值范围解析(1)不等式2xm10恒成立， 即函数f(x)2xm1的图象全部在x轴下方. （i) 当m0时，12x0不恒成立； （ii) 当m0时，函数f(x)mx22xm1为二次函数，需满足图象开口向下且 方程mx22xm10无解，即则m无解. 综上，不存在这样的m，使不等式恒成立. (2) 设f(m)(1)m(12x)， 当10时，即x1时，检验得x1时符合题意， 当1时，则f(m)是以m为自变量的一次函数，其图象是一条直线，由题意知该 直线当2m2时的线段在x轴下方， 即 解，得x， 解，得x. 由，得x，且x1. 综上，x的取值范围为2.已知函数在区间(，2上单调递增，在区间2,2上单调 递减，且b0.(1)求f(x)的表达式；(2)设0m2，若对任意的x1、x2m2，m不等式|f(x1)f(x2)|16m恒成立，求实 数m的最小值解析(1)由题意知x2是该函数的一个极值点. f(x)3x22bxc，f(2)0，即124bc0. 又f(x)在2,2上单调递减， f(x)3x22bxc在2,2上恒有f(x)0. f(2)0，即124bc0. 124b4b120. b0，又b0，b0，c12，f(x)x312x1. (2)f(x)3x2123(x2)(x2) 0m2，而当m2xm时，0mx2m2，m4x2m20， f(x)0，xm2，m. 因此f(x)为m2，m上的减函数， 对任意x1，x2m2，m都有|f(x1)f(x2)|f(x)maxf(x)minf(m2)f(m) 6m212m1616m， m，即mmin.