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第五章 二元一次方程组导学案
§5.1 认识二元一次方程组
班级： 姓名: 小组：
【学习目标】 1.理解二元一次方程的定义和二元一次方程的解；2.会判断二元一次方程和二元一次方程的解； 3.会求简单的不定方程的解。
【学习重点】 1.会判断二元一次方程和二元一次方程的解。
2.会求简单的不定方程的解。
【学习过程】（一）学习准备：
1.含未知数的等式叫 ，如：
2.若方程中 这样的方程叫 ，如：
3.满足方程左右两边未知数的值叫做方程的
4.若是关于一元一次方程的解，则=
注意等号对齐
5.方程是一元一次方程吗？ ；若不是，请你把它取名叫 方程。
（二）课堂探究：阅读教材P103——P104，试解决下列问题：
老牛与小马
分析：审题 ：数量问题

设老牛驮了个包裹，
小马驮了个包裹。
1.二元一次方程：像方程和等这类方程中，含有 个未知数，并且所含未知数的项的次数都是 的方程叫做 。
即时练习：下列方程是二元一次方程的是
评析：①二元一次方程的左右两边必须是 式；②方程中必须含 个未知数；③未知项的次数为 ，而不是未知数的次数为1
①；②；③；
④；⑤；⑥
2.二元一次方程的解：
定义：适合一个二元一次方程的一组未知数的值，叫做这个二元一次方程的一个
即时练习：（1）请找出是二元一次方程的解的是：
方程组的解应写成 的形式，以表示它们要同时取值才能使方程组成立

①；②；③。

（2）已知是二元一次方程的解，求的值。

3.二元一次方程组及方程组及二元一次方程组的解：
定义：共含有 个未知数的两个 方程所组成的一组方程，叫做二元一次方程组。
即时练习：下列是二元一次方程组的是（ ）
①；②；③；④；⑤。
定义：二元一次方程组中各个方程的 叫做这个二元一次方程组的解。
即时练习：在下列数对中：（1）是方程的解的是_______；是方程的解的是_______；既是方程的解，又是方程的解的是_______．所以方程组的解是
（三）当堂检测：
1.方程是关于、二元一次方程，则= ，= 。
2.二元一次方程的正整数解有（ ）组 A．1 B.2 C.3 D.4
3.若满足方程组的的值是1，则该方程组的解是________．
3.在（1）这三对数值中，_______是方程的解，_____是方程的解，因此_______是方程组的解．（填序号）
§5.2求解二元一次方程组（1）——代入消元法
班级： 姓名: 小组：
【学习目标】 学会用代入消元法解二元一次方程组。
【学习重、难点】 会用代入法解二元一次方程组,。
一、学习准备
1.下面方程中，是二元一次方程的是（ ）
A、 B、 C、 D、
2.下面4组数值中，是二元一次方程的解的是（ ）
A. B. C. D.
3.二元一次方程的解是（ ）
A、 B、 C、 D、
4.如：叫做用表示，叫做用表示。
（1）你能把下列方程用表示吗？ 则= ，则= 。
（2）你能把下列方程用表示吗？则= ，则= 。
我们只学过一元一次方程，想办法变成一元一次方程
二、课堂探究
例1 解下列方程
解：把②代入①，得
（注意把①中的换为+3时要加括号，因为+3这个整体是）

所以原方程组的解是
想一想，变那个方程我们代入时更方便
例2
解：由 ②，得 ③

小组合作：上面解方程组的基本思路是什么？主要步骤有哪些？
上面解方程的基本思路是“ ”——把“二元”变为“ ”。
主要步骤是：
①将其中一个方程中的某个未知数 ；
②将这个代数式代入另一个方程中，从而 ，化二元一次方程组为 ；③解这个一元一次方程；
④把求得的一次方程的解代入方程中，求得另一个未知数值，组成方程组的解。这种解方程组的方法称为代入消元法。简称代入法。
简写为：①编号 ②表示 ③代入 ④解方程 ⑤代回求另一个未知数值 ⑥答语
三、当堂检测。用代入消元法解下列方程组：
（1） （2） （3）

（4） （5） （6）

四、反思小结
这节课我们学到了什么？
§5.2求解二元一次方程组（2）——加减消元法
班级： 姓名: 小组：
【学习目标】1.会用加减法解二元一次方程组
2．掌握加减法解二元一次方程组的一般步骤
【学习重点】会用加减消元法解二元一次方程组,
一、 学习准备
1.代入消元法的基本步骤：① ② ③ ④
⑤ ⑥
2.用代入消元法解下列方程组：
（1） （2）

3.等式的基本性质：
二、 课堂探究：
例1.
解：

讨论：观察上题，两方程有何特点？除了代入消元法你还能有其他的方法消元吗？注意方程①中的5y与②中的-5y是相反数，再请注意：两个等式的两边也同时分别相加或相减，等式仍成立吗？
例2.解方程组
解：②-①得：__________ ∴=________
把 代入①得：
∴原方程组的解是
上面解方程组的基本思路是什么？主要步骤有哪些？
加减法的步骤：①编号②观察，确定要先消去 的未知数。③把选定的未知数的系数变成相等或互为相反数。④把两个方程相加（减），求出一个未知数的值。⑤代，求另一个未知数的值。⑥答语。
例3.解方程组
解：①×3 得：
②×2 得：

小结：⑴当两个方程中某一个未知数的系数是相同或互为相反数时，直接把两个方程的两边相加或相减就可以消去一个未知数，达到消元的目的。
⑵当两个方程中某一个未知数的系数的绝对值成倍数时，需把其中一个方程的两边同时乘以一个适当的整数，让这个未知数的系数的绝对值相等。
⑶若两个方程中两个未知数的系数不成倍数时，需要把两个方程都乘以适当的书，以便某个未知数的系数的绝对值相等，这种情况需要先确定消哪一个未知数，一般先消去系数简单的。
三、当堂检测：用加减消元法解下列方程组：
（1） （2） （3）

(4） (5） (6）

四、反思小结
1.解二元一次方程组的思路是消元，把二元变为一元
2.解题步骤概括为三步即：①变、②代、③解、
3.由一个方程变形得到的一个含有一个未知数的代数式必须代入另一个方程中去，否则会出现一个恒等式。
§5.3 应用二元一次方程组——鸡兔同笼
班级： 姓名: 小组：
【学习目标】能找出实际问题中的等量关系，列出二元一次方程组，解决简单的实际问题。
【学习重点】将题目中的等量关系进行转化，列出二元一次方程组。
一：学习准备 ：1. 回忆列一元一次方程解应用题时的常用步骤： ， ， ， ， ， 。
2．二元一次方程组的解法有：________________、__________________。
3．解方程组① ②

二．课堂探究：
例1：阅读课本P115完成“雉兔同笼” 题的分析：
等量关系：鸡头+兔头= ；鸡脚+兔脚= 。
设鸡有x只，兔有y只。 列方程：
则鸡头有 兔头有
鸡脚有 兔脚有
请你完成本题的标准解答

即时练习：（ 只写分析）若两个数中,较大数的3倍是较小数的8倍,较大数的一半与较小数的差是4,那么较大的数是多少？
分析 等量关系：
设 列方程组：

例2：以绳测井,若将绳三折测之,绳多五尺；若将绳四折测之,绳多一尺，绳长,井深各几何？分析：题目大意是

等量关系：
解：设
即时练习：4辆小卡车和5辆大卡车一次共可以运货物27吨,6辆小卡车和10辆大卡车一次共可以运货物51吨,问小卡车和大卡车每辆每次可运货物多少吨？
分析 ：等量关系：
解：设

三、反思小结
今天，我们学习了列方程组解应用题，应注意的是：
⑴解应用题的格式。
⑵解应用题时，等量关系如何去找？
四、达标检测：
1．今有鸡兔若干,它们共有24个头和74只脚,则鸡兔各有（ ）
A.鸡 10兔14 B. 鸡11兔13 C. 鸡12兔12 D. 鸡13兔11
2．一队敌人一队狗,两队并成一队走,脑袋共有八十个,却有二百条腿走,请君仔细数一数，多少敌军多少狗？

3．某制衣厂某车间计划用10天加工一批出口童装和成人装共360件,该车间的加工能力是：每天能单独加工童装45件或成人装30件。
（1）该车间应安排几天加工童装,几天加工成人装，才能如期完成任务？
（2）若加工童装一件可获利80元, 加工成人装一件可获利120元, 那么该车间加工完这批服装后，共可获利多少元？

4．某高校共有5个大餐厅和2个小餐厅,经过测试,同时开放1个大餐厅,2个小餐厅,可供1680名学生就餐；同时开放2个大餐厅,1个小餐厅,可供2280名学生就餐。
(1)求1个大餐厅,1个小餐厅分别可供多少名学生就餐；
(2)若7个餐厅同时开放,能否供全校5300名学生就餐?请说明理由。

§5.4 应用二元一次方程组——增收节支
班级： 姓名: 小组：
【学习目标】1.能借助表格分析较为复杂问题中的数量关系，建立方程组解决问题。
2．进一步经历和体验列方程组解决问题的过程，体会方程（组）是刻画现
实世界数量关系的有效数学模型，发展模型思想和应用意识。
【学习重点】用列表的方式分析题中的各量关系,加强学生列方程组的技能训练。
一。学习准备
1.利润=__________________________。
2.阅读课本P117，完成“总收入、总支出”题的分析：
等量关系： 去年（收入）-去年（总支）=
今年（收入）-今年（总支）=
设去年总收入为x万元，总支出为y万元，则有

总收入/万元
总支出/万元
利润/万元
去年
x
y
200
今年

根据上表，可列出方程组
解得 。因此，去年的总收入是 ，总支出是 。
二．课堂探究：
例1、医院用甲,乙两种原料为手术后的病人配制营养品,每克甲原料含0.5单位蛋白质和1单位铁质,每克乙原料含0.7单位蛋白质和0.4单位铁质.若病人每餐需要35单位蛋白质和40单位铁质.那么每餐甲、乙两种原料各多少克恰好满足病人的需要？
分析：等量关系：甲（蛋白质）+乙（蛋白质）= ； 甲（铁）+乙（铁）=
设每餐需甲原料x克，需乙原料y克，则有

甲原料xg
乙原料yg
所配制的营养品
其所含蛋白质

其所含铁质

解：

三．反思小结
请你写出今天学习的收获（至少两条）：
⑴
⑵
1.有甲,乙两种商品，甲商品的利润率为5%，乙商品的利润率为4%，共获利46元，价格调整后，甲商品的利润率为4%，乙商品的利润率为5%，共获利44元，则两种商品的进价各为多少？

2．某校八年级三班,四班共有95人,体育锻炼的平均达标率为60%，如果三班的达标率为40%，四班的平均达标率为78%,则三班有多少人？四班有多少人？

3．某商店准备用两种价格分别为每千克18元和每千克10元的糖果混合成杂拌糖果出售，混合后糖果的价格是每千克15元。现在要配制这种杂拌糖果100千克，需要两种糖果各多少千克？

4．某同学的父母用甲,乙两种形式为其存储一笔教育准备金10000元，甲种年利率为2.25%，乙种年利率为2.5%,一年后,这名同学得到本息和共10243.5元,问其父母为其存储的甲,乙两种形式的教育准备金各多少钱？

§5.5 应用二元一次方程组—— 里程碑上的数
班级： 姓名: 小组：
【学习目标】1：能分析复杂问题中的数量关系，建立方程组解决问题。
2：进一步经历和体验列方程解决实际问题的过程，体会模型思想，发展应用意识。
【学习重点】体验列方程组解决实际问题的过程，理解题意，找出适当的等量关系，并列出方程组。
一、 学习准备：
1.一个两位数，十位数字为a，个位数字为b,则这两个数表示为 。
2.一个三位数，百位数字为a,十位数字为b,个位数字为c,则这个三数表示为 。
3.（解读教材 奇怪的数字） 阅读教材P120引例，完成下列填空：
小明爸爸骑着摩托车带着小明在公路上 行驶。
设小明在12.00时看到的十位数字是x，个位数字是y，那么
问题（1）：在12.00时小明看到的数字可表示为 。根据两个数字和是7，可列出方程为 。
问题（2）：在13.00小明看到的数字可表示为 。故12.00～13.00间摩托车行驶的路程为 。
问题（3）：在14.00小明看到的数字可表示为 。故13.00～14.00间摩托车行驶的路程为 。
问题（4）：12.00～13.00与13.00～14.00两段时间内摩托车的行驶路程有什么关系？你能列出相应的方程吗？

二、课堂探究
两位数的应用题
例、两个两位数的和是68，在较大的两位数的右边接着写较小的两位数，得到一个四位数；在较大的两位数的左边写上较小的两位数，也得到一个四位数。已知前一个四位数比后一个四位数大2178，求这两个两位数。

三、反思小结：
通过对上述两个问题的解决，你认为列二元一次方程组解决问题应该注意些什么问题？步骤是怎样的呢？

四、达标测评：
1.一个两位数，减去他的各位数之和的3倍，结果是23，这个两位数除以它的各位数数之和，商是5，余数是1。这两位数是多少？

2.小明和小亮做加减法游戏，小明在一个加数后面多写了一个0，得到的和为242，而小亮在另一个加数后面多写了一个0，得到的和为341。原来两个加数是多少？

3.有一个两位数，数值是数字和的5倍，如果数值加9，其和为这个两位数颠倒过来的两位数，求原来的两位数。

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