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(word完整版)中考复习专题——解直角三角形
中考.解直角三角形

中考复习之——解直角三角形
1.了解直角三角形的概念，探索并掌握直角三角形的性质定理：直角三角形的两个锐角互余，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.掌握有两个角互余的三角形是直角三角；
2。探索勾股定理及其逆定理，并掌握运用它们解决一些简单的实际问题；
3。利用相似的直角三角形，探索并认识锐角三角函数（sin A、cos A、tan A)；知道30°、45°、60°角的三角函数值；
4．会使用计算器由已知锐角求它的三角函数值，由已知三角函数值求它对应的锐角;
5。能用锐角三角函数解直角三角形，并用相关知识解决一些简单的实际问题．
三．知识回顾
1．知识脉络
直角三角形
边的关系：勾股定理
边角关系：锐角三角函数
解直角三角形
角的关系：两个锐角互余
锐角三角函数的应用

2．基础知识
(1)勾股定理及其逆定理
①勾股定理：直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方．
即：如果直角三角形的两条直角边分别为a、b,斜边为c，那么a2+b2=c2．
②勾股定理的逆定理：如果三角形的一条边的平方等于另外两条边的平方和，那么这个三角形是直角三角形．
A
C
B
斜边c
∠A的对边a
∠A的邻边b
图7-1
（2）锐角三角函数
①锐角三角函数的定义
如图7—1,在Rt△ABC中，∠C=90°，则
sin A==,cos A==，
tan A==．
sin A、cos A、tan A分别叫做锐角∠A的正弦、余弦、正切，统称为锐角∠A的三角函数．
②锐角三角函数的取值范围
0<sin A〈1，0〈cos A<1，tan A>0．
③各锐角三角函数间的关系
中考.解直角三角形

sin A=cos (90°−A)，cos A=sin (90°−A）．
④特殊角的三角函数值
a
sin a
cos a
tan a
30°

45°

1
60°

⑤使用计算器由已知锐角求它的三角函数值，由已知三角函数值求它对应的锐角．
（3)解直角三角形
①解直角三角形的的定义：已知边和角(其中必有一条边）,求所有未知的边和角。
②解直角三角形的依据
角的关系：两个锐角互余；
边的关系：勾股定理；
边角关系：锐角三角函数;
②解直角三角形的常见类型及一般解法
Rt△ABC中的已知条件
一般解法
两边
两直角边a，b
(1);
（2)由求出∠A；
(3)∠B=90°−∠A.
一直角边a，斜边c
(1）;
（2)由求出∠A；
（3)∠B=90°−∠A。
一边一锐角
一直角边a，锐角A
(1)∠B=90°−∠A；
(2）；
（3)。
斜边c，锐角A
（1）∠B=90°−∠A；
(2）a=c·sin A;
（3）b=c·cos A。
③实际问题中术语的含义
如图7-2,在进行测量时，从下向上看，视线与水平线的夹角叫做仰角;从上往下看，视中考.解直角三角形

线与水平线的夹角叫做俯角．
铅垂线
视线
视线
水平线
仰角
俯角
图7-2
a
i=h:l
h
l
图7-3

如图7—3，坡面的铅垂高度(h)和水平宽度(l）的比叫做坡面的坡度(或坡比),记作i，即．坡度通常写成1∶m的形式，如i=1∶6．坡面与水平面的夹角叫做坡角，记作a,有=tan a．显然,坡度越大，坡角α就越大,坡面就越陡.
方位角：指南或指北的方向线与目标方向线所成的小于90°角的为方位角．
④解决实际问题的关键在于建立数学模型，要善于把实际问题的数量关系转化为解直角三角形的问题．在解直角三角形的过程中,常会遇到近似计算，应根据题目要求的精确度确定答案．

四．例题分析:
1。勾股定理与锐角三角函数知识的应用
例1 在Rt△ABC中,∠C=90°，若sin A=,则cos A的值为(　　)
A． B． C． D．
【分析】
先画出图形，由于cos A=，故只需求得AC，AB的关系，可利用sin A=先求得BC,AB的关系,再利用勾股定理即可求得．
【解】选D．
【说明】
本题主要是要学生了解三角函数的定义及勾股定理．解决这一类问题，必须熟练掌握三角函数的定义以及勾股定理的应用,把它们有机地结合起来，因此在复习时要引导学生加强对基础知识的巩固．
变式: 如图7—4，在Rt△ABC中,∠C=90°，AB=10,sin A=。
求BC的长和tan B的值．
中考.解直角三角形

【分析】用正弦的定义即可求得BC，而要求tan B则先要用勾股定理求得AC．
B
A
C
图7-4
【解】∵sin A==，AB=10,∴BC=4．
∵AC=，
∴tan B==．
【说明】
本题是最基本的解直角三角形问题．

2。仰角、俯角、方位角、坡角和坡度（或坡比）的概念
图7-6-1
C
D
B
H
A
E
45°
60°
例1 如图7—6—1，某大楼的顶部树有一块广告牌CD，小李在山坡的坡脚A处测得广告牌底部D的仰角为60°．沿坡面AB向上走到B处测得广告牌顶部C的仰角为45°,已知山坡AB的坡度i=1：，AB=10米，AE=15米．(i=1:是指坡面的铅直高度BH与水平宽度AH的比）
(1)求点B距水平面AE的高度BH;
(2)求广告牌CD的高度．
(测角器的高度忽略不计，结果精确到0。1米．参考数据：≈1。414，≈1.732）

【分析】
（1)显然在Rt△ABH中,通过坡度的概念求出BH、AH;
（2)在△ADE解直角三角形求出DE的长,进而可求出EH即BG的长,在Rt△CBG中，∠CBG=45°，则CG=BG，由此可求出CG的长然后根据CD=CG+GE-DE即可求出宣传牌的高度．
【解】(1）如图7—6—2，过B作BG⊥DE于G，
C
D
B
H
A
E
45°
60°
G
图7-6-2
在Rt△ABF中，
∵i=tan∠BAH==，
∴∠BAH=30°。 ∴BH=AB=5；
(2）由（1）得：BH=5，AH=5，
∴BG=AH+AE=5+15.
在Rt△BGC中,
∵∠CBG=45°， ∴CG=BG=5+15．
中考.解直角三角形

在Rt△ADE中,
∵∠DAE=60°，AE=15，∴DE=AE=15．
∴CD=CG+GE﹣DE=5+15+5-15=20-10≈2。7m．
答：宣传牌CD高约2。7米．
【说明】
此题综合考查了仰角、坡度的定义,能够正确地构建出直角三角形,将实际问题化归为解直角三角形的问题是解答此类题的关键．

图7-7-1
45°
36°52′
A
E
B
D
C
例2 如图7—7-1，为了测量山顶铁塔AE的高，小明在27m高的楼CD底部D测得塔顶A的仰角为45°，在楼顶C测得塔顶A的仰角36°52′．已知山高BE为56m，楼的底部D与山脚在同一水平线上,求该铁塔的高AE．(参考数据：sin36°52′≈0.60,tan36°52′≈0.75）

【分析】
根据楼高和山高可求出EF，继而得出AF，在Rt△AFC中表示出CF,在Rt△ABD中表示出BD,根据CF=BD可建立方程，解出即可．
【解】
如图7—7—2，过点C作CF⊥AB于点F．
设塔高AE=x,由题意得:
EF=BE-CD=56—27=29，AF=AE+EF=（x+29)，
在Rt△AFC中，
∵∠ACF=36°52′，AF=(x+29），
45°
36°52′
A
E
B
D
C
F
图7-7-2
∴CF===x+，
在Rt△ABD中，
∵∠ADB=45°，AB=x+56，∴BD=AB=x+56.
∵CF=BD,∴x+56=x+。 解得：x=52.
答:该铁塔的高AE为52米．
【说明】
本题考查了解直角三角形的应用，解答本题的关键是构造直角三角形，注意利用方程思中考.解直角三角形

想求解，难度一般．

图7-8-1
45°
60°
B
C
P
A
东
北
例3 如图7-8,在一笔直的海岸线l上有AB两个观测站，A在B的正东方向,AB=2(单位：km）．有一艘小船在点P处，从A测得小船在北偏西60°的方向，从B测得小船在北偏东45°的方向．
（1)求点P到海岸线l的距离；
（2）小船从点P处沿射线AP的方向航行一段时间后,到点C处，此时,从B测得小船在北偏西15°的方向．求点C与点B之间的距离．(上述两小题的结果都保留根号）
【分析】
(1）过点P作PD⊥AB于点D，设PD=x km,先解Rt△PBD，用含x的代数式表示BD，再解Rt△PAD，用含x的代数式表示AD，然后根据BD+AD=AB，列出关于x的方程，解方程即可；
(2)过点B作BF⊥AC于点F,先解Rt△ABF，得出BF=AB=1，再解Rt△BCF，得出BC=BF=．
【说明】
本题中涉及到方位角的问题，引导学生分析三角形的形状后，通过作高构造直角三角形是解题的关键．这一问题的解决，会让学生进一步感悟到数学知识在现实生活中的广泛应用．

变式：1．如图，天空中有一个静止的广告气球C，从地面点A测得点C的仰角为45°，从地面点B测得点C的仰角为60°．已知AB=20 m，点C和直线AB在同一铅垂平面上，求气球离地面的高度（结果保留根号）．

2．如图所示，海上有一灯塔P，在它周围3海里处有暗礁，一艘客轮以9海里／时的速度由西向东航行,行至A点处测得P在它的北偏东60°的方向，继续行驶20分钟后,到达B处又测得灯塔P在它的北偏东45°方向．问客轮不改变方向继续前进有无触礁的危险?
中考.解直角三角形

3。数形结合思想与转化思想的渗透
例3 如图7—5—1是工人将货物搬运上货车常用的方法，把一块木板斜靠在货车车厢的尾部，形成一个斜坡,货物通过斜坡进行搬运．根据经验，木板与地面的夹角为20°（即图10-5-2中∠ACB=20°）时最为合适,已知货车车厢底部到地面的距离AB=1.5m,木板超出车厢部分AD=0.5m，请求出木板CD的长度．
(参考数据:sin 20°≈0.3420，cos 20°≈0。9397，精确到0.1m）．

A
B
C
D
图7-5-1 图7-5-2

【分析】在Rt△ABC中，利用∠ACB的正弦即可求得AC的长,进而可得CD．
【说明】
本题考查学生运用数学知识分析、解决简单实际问题的能力．本题取材于学生熟悉的生活实际，解决这类题目的难度虽不大,但有利于引导学生关注生活中的数学，关注身边的数学，培养他们从实际问题中抽象出数学模型的能力，促进学生形成学数学、用数学、做数学的良好意识

变式：1。如图所示，某风景区内有一古塔AB，在塔的北面有一建筑物,冬至日的正午光线与水平面的夹角是30°，此时塔在建筑物的墙上留下了高3米的影子CD;而在春分日正午光线与地面的夹角是45°，此时塔尖A在地面上的影子E与墙角C有15米的距离（B、E、C在一条直线上），求塔AB的高度(结果保留根号）

中考.解直角三角形

2．如图，在观测点E测得小山上铁塔顶A的仰角为60°，铁塔底部B的仰角为45°．已知塔高AB=20m，观察点E到地面的距离EF=35m，求小山BD的高（精确到0。1m，≈1。732）．

3．如图所示，小山的顶部是一块平地，在这块平地上有一高压输电的铁架,小山的斜坡的坡度i=1：，斜坡BD的长是50米，在山坡的坡底处测得铁架顶端A的仰角为45°,在山坡的坡项D处测得铁架顶端A的仰角为60°．
(1）求小山的高度；
（2）求铁架的高度．（≈1。73，精确到0.1米）

四．综合演练
填空题
1．如图1，防洪大堤的横断面是梯形，坝高AC等于6米，背水坡AB的坡度i=1：2，则斜坡AB的长为_______米．
2．如图2所示,AB是⊙O的直径，弦AC、BD相交于E,则等于（ )
A．tan∠AED B．cot∠AED C．sin∠AED D．cos∠AED
3．如图3，在矩形ABCD中DE⊥AC于E，设∠ADE=a,且cosα=，AB=4,则AD的中考.解直角三角形

长为（ ）
A．3 B．
4．如图．两条宽度为l的带子以角交叉重叠，则重叠部分(阴影部分)的面积是
A、sin B． C． D．

5．有一拦水坝的横断面是等腰梯形，它的上底长为6 m，下底长为10 m,高为2m，那么此拦水坝斜坡的坡度和坡角分别是 （ ）
A．，60° B．，30° C．，60° D．，30°
解答题：
1．某地某时刻太阳光与水平线的夹角为31°，此时在该地测得一幢楼房在水平地面上的影长为30m，求这幢楼房的高AB．（结果精确到1m）(参考数据：sin31°≈0。52，cos31°≈0.86，tan31°≈0。60）

2．为测量某塔AB的高度，在离该塔底部20m处目测塔顶，仰角为60°，目高为1.5m，试求该塔的高度．(精确到0。1m，≈1。7）

3．如图，某超市在一楼至二楼之间安装有电梯，天花板与地面平行,请你根据图中数据计算回答:小敏身高1。78米，她乘电梯会有碰头危险吗？姚明身高2。29米，他乘电梯会有碰头危险吗?（可能用到的参考数值：sin27°=0。45，cos27°=0。89，tan27°=0.51）

中考.解直角三角形

（图6）

4．某商场为缓解我市“停车难”问题，拟建造地下停车库,图6是该地下停车库坡道入口的设计示意图，其中, AB⊥BD，∠BAD＝18o,C在BD上,BC＝0.5m．根据规定，地下停车库坡道入口上方要张贴限高标志,以便告知驾驶员所驾车辆能否安全驶入．小明认为CD的长就是所限制的高度，而小亮认为应该以CE的长作为限制的高度．小明和小亮谁说的对？请你判断并计算出正确的结果．（结果精确到0.1m)
参考数据:Sin180=0.31,Cos180=0。95，tan180=0.325新

5．Rt△ABC中,∠C=90°,AC=12，∠A的平分线AD=8，求BC，AB．

6．两建筑物AB和CD的水平距离为45m，从A点测得C点的俯角为30°,测得D点的俯角为60°，求建筑物CD的高度．

7．如图，甲、乙两幢高楼的水平距离BD为90米，从甲楼顶部C点测得乙楼顶部A点的仰角α为30°,测得乙楼底部B点的仰角β为60°,求甲,乙两幢高楼各有多高?（计算过程和结果不取近似值)

中考.解直角三角形

8．震泽中学九年级数学课外学习小组某下午实践活动课时，测量朝西教学楼前的旗杆AB的高度．如图所示，当阳光从正西方向照射过来时，旗杆AB的顶端A的影子落在教学楼前的坪地C处,测得影长CE=2m，DE=4m,BD=20m，DE与地面的夹角为α=30°．在同一时刻，测得一根长为1m的直立竹竿的影长恰为4m．根据这些数据求旗杆AB的高度．（可能用到的数据:≈1。414,≈1.732，结果保留两个有效数字）

拓展提高：
1、某型号飞机的机翼形状如图所示，AB∥CD,根据数据计算AC、BD和CD的长度.

2．如图，在△ABC中,∠B=45°，AC=5,BC=3．求sinA和AB的值．

中考.解直角三角形

3．如图，甲、乙两只捕捞船同时从A港出海捕鱼.甲船以每小时千米的速度沿西偏北30°方向前进，乙船以每小时15千米的速度沿东北方向前进。甲船航行2小时到达C处，此时甲船发现渔具丢在乙船上，于是甲船快速(匀速）沿北偏东75°的方向追赶,结果两船在B处相遇.
（1)甲船从C处追赶上乙船用了多少时间？
（2）甲船追赶乙船的速度是每小时多少千米？

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