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第三章 一元一次方程知识点归纳及典型例题
实验中学 马贵荣编

[1]由方程的定义可知，方程必须满足两个条件：一要是等式，二要含有未知数〖见基础练习T1〗。
[2]方程的解的个数随方程的不同而有多有少〖见基础练习T2〗，但一个一元一次方程有且只有一个解。
[3] 一元一次方程的一般形式：（a、b为常数，且a≠0，即末知数的系数一定不能为0）〖见基础练习T5〗。
一元一次方程，一定是整式方程（也就是说：等号两边的式子都是整式）。如：3x－5=6x，其左边是一次二项式（多项式）3x－5，而右边是单项式6x。
所以只要分母中含有未知数的方程一定不是整式方程（也就不可能是一元一次方程了），如〖基础练习T3〗。
一、 【相关概念】
1、方 程：含 的等式叫做方程 [1].
2、方程的解：使方程的等号左右两边相等的
，就是方程的解[2]。
3、解 方 程：求 的过程叫做解方程。
4、一元一次方程[3]
只含有一个未知数（元），未知数的最高次数是1的整式方程叫做一元一次方程。
[基础练习]
1☆选项中是方程的是（ ）
A.3+2=5 B. a-1>2 C. a2＋b2－5 D. a2+2a-3=5
2☆下列各数是方程a2+a+3=5的解的是（ ）
A.2 B. -2 C.1 D. 1和-2
3☆下列方程是一元一次方程的是（ ）
A.+1=5 B. 3(m-1)-1=2 C. x-y=6 D.都不是
4★若x=4是方程=4的解，则a等于（ ） A. 0 B. C.-3 D.-2
5★★已知关于x的一元一次方程ax－bx=m（m≠0）有解，则有（ ）
A. a≠b B.a>b C.a<b D.以上都对
二、【方程变形——解方程的重要依据】
1、▲等式的基本性质
·等式的性质1：等式的两边同时加（或减） （ ），结果仍相等。
即：如果，那么 。
[4]▲分数的基本的性质主要是用于将方程中的小数系数（特别是分母中的小数）化为整数，如下面的方程：
－=1.6
将上方程化为下面的形式后，更可用习惯的方法解了。
－=1.6
注意：方程的右边没有变化，这要和“去分母”区别。

·等式的性质2：等式的两边同时乘 ，或除以 数，结果仍相等。即：如果，那么 或 如果a=b（ ），那么
【注：等式的性质（补充）： 等式的两边，结果仍相等。即：如果a=b，那么b=a 】
2、△分数的基本的性质[4]
分数的分子、分母同时乘以或除以同一个不为0的数，分数的值不变。
即：==（其中m≠0）
[基础练习]
1☆ 利用等式的性质解方程：2x+13=12
第一步：在等式的两边同时 ，
第二步：在等式的两边同时 ，
解得：x=
2★ 下列变形中，正确的是（ ）

3★★解方程：
三、 【解一元一次方程的一般步骤】图示
步骤
名 称
具 体 方 法
理 论 依 据
注 意 事 项
1
去分母
在方程两边同时乘以所有分母的最小公倍数（即把每个含分母的部分和不含分母的部分都乘以所有分母的最小公倍数）
等式性质2
1、不含分母的项也要乘以最小公倍数；2、分子是多项式的一定要先用括号括起来。
2
去括号
去括号法则（可先分配再去括号）
乘法分配律
1、符号问题(“负”变“正”不变)；2、不漏乘括号内的项。
3
移项
把未知项移到方程的一边（左边），常数项移到另一边（右边）
等式性质1
移项一定要改变符号。即，动变静不变，不动项保留其符号。
4
合并 同类项
分别将未知项的系数相加、常数项相加，化成ax=b的形式，（其中a、b为常数，且a≠0.）
1、合并同类项法则；
2、有理数的加法法则
1、单独的一个未知数的系数为“±1”
2、准确确定各同类项的系数。
5
系数化为“1”
在方程两边同时除以未知数的系数（或方程两边同时乘以未知数系数的倒数），得到x=b/a
等式性质2
不要颠倒了被除数和除数（未知数的系数作除数或分母）
*6
检根
x=a
方法：把x=b/a分别代入原方程的两边，分别计算出结果。
①　若 左边＝右边，则x=b/a是方程的解；②　若 左边≠右边，则x=b/a不是方程的解。
注：当题目要求时，此步骤必须表达出来。
步骤名称
具体办法
理论依据
注意事项
去分母
在方程两边同时乘以所有分母的最小公倍数（即把每个含分母的部分和不含分母的部分都乘以所有分母的最小公倍数）
等式性质2
1、不含分母的项也要乘以最小公倍数；2、分子是多项式的一定要先用括号括起来。
去括号
去括号法则（可先分配再去括号）
乘法分配律
1、符号问题(“负”变“正”不变)；2、不漏乘括号内的项。
移项
把未知项移到方程的一边（左边），常数项移到另一边（右边）
等式性质1
移项一定要改变符号。即，动变静不变，不动项保留其符号。
合并同类项
分别将未知项的系数相加、常数项相加，化成的形式，（其中为常数，且.）
1、合并同类项法则；
2、有理数的加法法则
1、单独的一个未知数的系数为“±1”
2、准确确定各同类项的系数。
系数化为“1”
在方程两边同时除以未知数的系数（或方程两边同时乘以未知数系数的倒数），得到
等式性质2
不要颠倒了被除数和除数（未知数的系数作除数或分母）
检根
x=a
方法：把分别代入原方程的两边，分别计算出结果。
①　若 左边＝右边，则是方程的解；②　若 左边≠右边，则不是方程的解。
注：当题目要求时，此步骤必须表达出来。
说明：1、上表仅说明了在解一元一次方程时经常用到的几个步骤，但并不是说解每一个方程都必须经过五个步骤；
2、解方程时，一定要先认真观察方程的形式，再选择步骤和方法；
3、对于形式较复杂的方程，可依据有效的数学知识将其转化或变形成我们常见的形式，再依照一般方法解。　
　要点诠释：理解方程ax=b在不同条件下解的各种情况，并能进行简单应用:
　①a≠0时，方程有唯一解；②a=0，b=0时，方程有无数个解；③a=0，b≠0时，方程无解。
[基础练习]
（1） （2）

解答题：利用已学知识，构造一元一次方程
1、根据绝对值或平方数相加等于零（非负数的性质）（注意：，）
（1）已知，求和的值.
（2）若，求的值．
2、方程中有未知字母，根据方程的解，求未知字母
（1）已知是方程的解，求的值.
（2）已知时，代数式的值是14，求时代数式的值．
3、根据代数式值相等、同类项或相反数的知识
（1）若代数式与代数式的值相等，求的值.
（2）当、取什么值时，单项式与是同类项？
四、【一元一次方程的应用】
▲依据题目中的信息将问题转化为解方程的问题
【想想算算填填】
(1)若 。
（2）若是同类项，则m= ，n= 。
（3）若的和为0，则m-n+3p = 。
（4）代数式x+6与3(x+2)的值互为相反数，则x的值为 。
（5）若与 互为倒数，则x= 。
建立一元一次方程模型解实际问题的步骤：
审：分析题中已知什么，未知什么，明确各量之间的关系，寻找等量关系．
设：设未知数，一般求什么就设什么为x，但有时也可以间接设未知数．
建：把相等关系左右两边的量用含有未知数的代数式表示出来，建立方程模型．
解：解方程．
检：一检验方程的解正确吗，二检验方程的解是否符合题意．
答：给实际问题一个结论．
常见建立方程模型解实际问题的几种类型
类型
基本数量关系
等量关系
和、差、倍
、分问题
①较大量＝较小量＋多余量
②总量＝倍数×倍量
抓住关键性词语
等积变
形问题

变形前后体积相等
行程问题
相遇
问题
路程＝速度×时间
甲走的路程＋乙走的路程＝两地距离
追及
问题
同地不同时出发：前者走的路程＝追者走的路程
同时不同地出发：前者走的路程＋两地距离＝追者所走的路程
顺、逆流问题
顺流速度＝静水速度＋水流速度
逆流速度＝静水速度－水流速度
顺流的距离＝逆流的距离
劳力调
配问题
从调配后的数量关系中找相等关系，要抓住“相等”“几倍”“几分之几”“多”“少”等关键词语
工程问题
工作总量＝工作效率×工作时间
各部分工作量之和＝1（总量）
利润
问题
利润＝售价－进价

售价＝进价×(1＋利润率)
利润＝进价×利润率
抓住价格升降对利润率的影响来考虑
或
抓住利润的两种计算方式
数字问题
设一个两位数的十位上的数字、个位上的数字分别为a，b，则这个两位数可表示为10a＋b
抓住数字所在的位置或新数、原数之间的关系
年龄问题
大小两个年龄差不会变
抓住年龄增长，一年一岁，人人平等
分配问题
一般分配
此问题中一般存在不变量，而不变量正是列方程必不可少的一种相等关系。
比例分配
甲∶乙∶丙＝a∶b∶c
全部数量＝各种成分的数量之和(设法1：设一份为x；设法2：设甲、乙、丙分别ax,bx,cx)
日历问题
同一行上相邻两数，右边的数比左边的数大1；同一列上相邻两数，下边的比上边的大7
日历中的数a的取值范围是1≤a≤31，且都是正整数