高等数学答案第六章4曲面与曲线.doc

习 题 6—4
1、一动点移动时，与及面等距离，求该动点的轨迹方程.
解：设在给定的坐标系下，动点，所求的轨迹为，则
亦即
从而所求的轨迹方程为.

2、 求下列各球面的方程：
（1）圆心，半径为； （2）圆心在原点，且经过点；
（3）一条直径的两端点是；（4）通过原点与
解：（1）所求的球面方程为：
（2）由已知，半径，所以球面方程为
（3）由已知，球面的球心坐标，
球的半径，所以球面方程为：

（4）设所求的球面方程为：
因该球面经过点，所以 解之得
所求的球面方程为.

3、求下列旋转曲面的方程：
（1）将坐标面上的抛物线绕旋转一周所生成的旋转曲面；
解：(旋转抛物面) .

（2）将坐标面上的双曲线分别绕轴和轴旋转一周所生成的旋转曲面．
解： 绕轴旋转得 绕轴旋转得.

4、 说明下列旋转曲面是怎样形成的？
（1）；（2）（3）；（4）
解：（1）平面上椭圆绕轴旋转而成；或者 平面上椭圆绕轴旋转而成
（2）平面上的双曲线绕轴旋转而成；或者 平面上的双曲线绕轴旋转而成
（3）平面上的双曲线绕轴旋转而成；或者 平面上的双曲线绕轴旋转而成
（4）平面上的直线绕轴旋转而成或者 平面上的直线绕轴旋转而成.

5、指出下列方程在平面解析几何和空间解析几何中分别表示什么图形？
（1） ；（2）；（3）；（4）.
解：（1）在平面解析几何中表示直线，在空间解析几何中表示平面；
（2）在平面解析几何中表示圆周，在空间解析几何中表示圆柱面；
（3）在平面解析几何中表示双曲线，在空间解析几何中表示双曲柱面；
（4）在平面解析几何中表示抛物线，在空间解析几何中表示抛物柱面.

6、指出下列曲面的名称，并作图：
（1）；（2）；（3） ；（4）；
（5）；（6）；（7）；
（8）；（9）；（10）.
解： (1)椭圆柱面；(2) 抛物柱面；(3) 圆柱面；(4)球面；（5）圆锥面；（6）双曲抛物面；
（7）椭圆抛物面；（8）双叶双曲面；（9）为旋转椭球面；（10）单叶双曲面.

7、 画出下列各曲面所围立体的图形：
（1）与三个坐标平面所围成；（2）及三坐标平面所围成；
（3）及在第一卦限所围成；（4）所围.
解：（1）平面与三个坐标平面围成一个在第一卦限的四面体；
（2）抛物柱面与平面及三坐标平面所围成；
（3）坐标面、及平面、和圆柱面在第一卦限所围成；
（4）开口向上的旋转抛物面与开口向下的抛物面所围.作图略.

8、画出下列曲线在第一卦限内的图形
（1）；（2）；（3）
解：（1）是平面与相交所得的一条直线；
（2）上半球面与平面的交线为圆弧；
（3）圆柱面与的交线.图形略.

9、分别求母线平行于轴及轴而且通过曲线的柱面方程.
解：消去坐标得，为母线平行于轴的柱面；
消去坐标得：，为母线平行于轴的柱面.

10、求在平面内以坐标原点为圆心的单位圆的方程（任写出三种不同形式的方程）.
解：；； .
11、试求平面与椭球面相交所得椭圆的半轴与顶点.
解：将椭圆方程化简为：，可知其为平面上的椭圆，半轴分别为，顶点分别为.

12 、将下面曲线的一般方程化为参数方程
（1）； （2）
解：（1）原曲线方程即：，化为；
（2）.

13、指出下列方程所表示的曲线
（1） （2）；
（3）； （4）； （5）.
解：（1）圆； （2）椭圆； （3）双曲线； （4）抛物线； （5）双曲线.

14、求螺旋线 在三个坐标面上的投影曲线的直角坐标方程.
解：；；.

15、 求曲线 在坐标面上的投影.
解：（1）消去变量后得在面上的投影为它是中心在原点，半径为的圆周.
（2）因为曲线在平面上，所以在面上的投影为线段.
（3）同理在面上的投影也为线段.

16、 求抛物面与平面 的交线在三个坐标面上的投影曲线方程.
解： 交线方程为，（1）消去得投影
（2）消去得投影，（3）消去得投影.