中山市2012年初三数学竞赛试题及答案.doc

//////////////////////////////////////////// 密 封 线 内 不 要 答 题 ///////////////////////////////
考 号

姓 名

学 校

镇 区

中山市2012年初三数学竞赛试题

题 号
一
二
三
总 分
合分人
复查人
1～5
6～10
11
12
13
14
得 分

评卷人

一、选择题（共5小题，每小题7分，共35分. 每道小题有且只有一个选项是正确的. 请将正确选项代号填入题后的括号里，不填、多填或错填都得0分）
1．对任意实数，下列等式一定成立的是 （　D ）
A． B． 　　 C．　 D．
2．若实数满足，则下列式子一定成立的是 （ D ）
A． B． C． D．
3．关于的方程有两个不相等的实根且有，则的值是 （ C ）
A．1 B．2　　　 C．-1　　　 D．1或-1
4．二次函数的图像如图所示，则反比列函数与正比列函数在同一坐标系内的大致图像是 （ B ）

O
x
y
O
y
x
A
O
y
x
B
O
y
x
D
O
y
x
C

5．如图，矩形中，=8，=6，若将矩形顶点A、C重合折叠起来，则折痕PQ长为（ A ）
A． B．7
C．8 D．
二、填空题（共5小题，每小题7分，共35分）
6．对实数、，定义运算☆如下：☆
计算[2☆()][()☆()]= .
7．已知，则= 0 .
8．如图，是二次函数图像的一部分，给出下列结论 ：①；②；③方程的两根分别为-3和1；④；⑤；⑥．其中错误结论是 ④ ．（只要求填写正确命题的序号）
9．如图，三个半圆依次相外切，它们的圆心都在轴的正半轴上，并与直线相切．设半圆,,的半径分别是，，，则当时， 9 ．
y
x
O
C1
C2
C3

第8题图 第9题图
10．已知，，，…，则的值为 m ．（用含的代数式表示）
三、解答题（共4题，每题20分，共80分）
11．已知函数 ，且使成立的值恰好有四个，求实数的取值范围.

解：如图

观察图像易知，直线与函数图像恰有四个交点，直线与函数图像恰有两个交点，所以实数的取值范围为.(画图15分，结论5分)

12．如图，在平面直角坐标系内，正的顶点坐标为B(1，0)、C(3，0)，过坐标原点O的一条直线分别与边AB、AC交于点M、N. 若OM =MN，求点M的坐标.

解：过点N作轴的平行线与AB交于点L，因为OM=MN，所以,
由于是边长为2的等边三角形，所以是边长为1的等边三角形，N是边AC的中点，
在中可求得，有，所以，进而可求得.

13.在中,, ,P为的角平分线与的角平分线的交点.证明:.

证明：如图，联结AP并延长至D使PD =PC，知.
进而 ，所以为等边三角形，
又AC=CA，
则，因此AB=CD.
由CD=PC，得AB=PC.

14．已知关于的一元二次方程的两个根都是整数.求实数的值.
解：原方程可化为

因为≠0,所以,

故,

其中,≠－1, ≠－1.
两式相减并化简得

因为、都是整数,所以,

从而,
经检验,均满足题意.