同角三角函数的基本关系式及诱导公式.doc

(完整word)同角三角函数的基本关系式及诱导公式
同角三角函数的基本关系式及诱导公式
题型一　诱导公式
（1)诱导公式的两个应用方向与原则：
①求值，化角的原则与方向:负化正，大化小，化到锐角为终了．
②化简，化简的原则与方向：统一角，统一名,同角名少为终了．
（1）化简：;
（2）若n∈Z，化简：.
思考题1　(1)已知sin（α+)＝，则cos(α+π）的值为（　　)
A.　　　　B．- C．- D.
题型二　同角三角函数基本关系式
（1)已知cosα＝，且α是第四象限角，求sinα和tanα.
(2）已知tanα＝，求sinα.
(3)化简：(1+tan2α）（1-sin2α)．
思考题2　(1)已知sinα＝m(m≠0，且m≠±1），求tanα。
（2)(2016·课标全国Ⅰ）已知θ是第四象限角,且sin（θ+)＝，则tan（θ-)＝________．
题型三　sinx+cosx，sinx—cosx，sinxcosx之间的关系
(1)已知asinx+bcosx＝c可与sin2x+cos2x＝1联立，求得sinx,cosx。
(2）sinx+cosx,sinx-cosx，sinxcosx之间的关系为
（sinx+cosx)2＝1+2sinxcosx，（sinx—cosx）2＝1—2sinxcosx，
（sinx+cosx)2+(sinx—cosx)2＝2。
因此已知上述三个代数式中的任意一个代数式的值,便可求其余两个代数式的值．
已知sinθ+cosθ＝,θ∈（0，π），则
（1）sinθ—cosθ＝________；（2)sin3θ+cos3θ＝________；(3）tanθ＝________．
【解析】　(1）∵sinθ+cosθ＝,
∴（sinθ+cosθ）2＝.∴2sinθcosθ＝-。
又θ∈(0，π），∴sinθ〉0，cosθ<0.
∴sinθ-cosθ＝
＝＝。
思考题3　（1)已知sin2θ＝，且＜θ＜,求cosθ-sinθ的值．
（2）已知α是三角形的内角,且sinα+cosα＝,则＝________．

题型四　齐次式下弦切互化
这是一组在已知tanα＝m的条件下，求关于sinα、cosα的齐次式的问题，解这类问题有两个方法．
(1)直接求出sinα和cosα的值，再代入求解，但这种方法较繁琐．
（2)将所求式转化为只含tanα的代数式，再代入求解，这是常用的解法．但应用此法时要注意两点:①一定是关于sinα和cosα的齐次式（或能化为齐次式)的三角函数式；②因为cosα≠0，可用cosnα（n∈N）除之，这样可以将所求式化为关于tanα的表达式,从而可以整体代入tanα＝m的值进行求解．
（1)已知tanα＝3，求sin2α—3sinαcosα+1的值．
【解析】　方法一：∵tanα＝3〉0,∴α是第一、三象限角．
由
得(α为第一象限角），或（α为第三象限角)．
∴sinαcosα＝。
∴sin2α—3sinαcosα+1＝—3×+1＝1。
方法二：∵tanα＝3，sin2α+cos2α＝1,
∴sin2α-3sinαcosα+1＝+1
＝+1＝+1＝1.