第八章二元一次方程组教学设计.doc

第八章《二元一次方程组》 的教学设计

杨科
2014-4—10

第八章 《二元一次方程组》全章教学设计
一、教材内容:
本章主要内容包括：二元一次方程组及相关概念,消元思想和代入法、加减法解二元一次方程组，三元一次方程组解法举例，二元一次方程组的应用.
本章在列方程的讨论中，重视教学与实际的联系，突出其中蕴含的建模思想，在解方程组的讨论中,重视过程与结果的关系，突出消元，化归的思想。
二、学习目标：
（一）知识与技能目标:
1、了解二元一次方程组及相关概念,能设两个未知数，并列方程组表示实际问题中的两种相关的等量关系；
2、掌握二元一次方程组的代入法和消元法,能根据二元一次方程组的具体形式选择适当的解法;
3、了解三元一次方程组的解法；
4、学会运用二(三)元一次方程组解决实际问题，进一步提高学生分析问题和解决问题的能力。
(二)过程与方法目标：
1、以含有多个未知数的实际问题为背景，经历“分析数量关系，设未知数，列方程，解方程和检验结果"，体会方程组是刻画现实世界中含有多个未知数的问题的数学模型。
2、在把二元一次方程组转化为x=a,y=b的形式的过程中，体会“消元”的思想。
（三）情感、态度与价值观：
通过探究实际问题，进一步认识利用二元一次方程组解决问题的基本过程,体会数学的应用价值，提高分析问题、解决问题的能力。
三、学习重点、难点
学习重点：二元一次方程组及相关概念，消元思想和代入法、加减法解二元一次方程组,利用二元一次方程组解决实际问题；
学习难点：以方程组为工具分析问题、解决含有多个未知数的问题。
四、教学方法：
通过观察、想象、实践、展示、归纳、分析、讲解，突出消元、化归的思想。
五、课时安排:
本章教学约共12课时：
8.1 二元一次方程（组) 约1课时
8。2 消元—-—解二元一次方程组 约4课时
8.3 实际问题与二元一次方程组 约3课时
8。4 三元一次方程组的解法 约2课时
复习小结 约1课时
单元检测 约1课时

8。1《二元一次方程组》教学设计
教材分析：
二元一次方程组首先从一个“篮球联赛” 的问题入手，引导学生直接用x和y表示两个未知数,并进一步表示问题中的两个等量关系，得到两个两关的方程，然后,教科书以这个具体方程为例，让学生体验二元一次方程,二元一次方程组的特征，归纳出二元一次方程组及其解的概念，并估算的二元一次方程组的解。
学情分析：
学生在学习了一元一次方程后,了解什么是方程和方程的解，对学习二元一次方程会有较直接的反应,通过教师的复习,学生可能会有较快的接受，对于这个课时,教学内容也不是特别难，能很快并很容易地掌握所学的知识。
学习目标:
1、 理解二元一次方程（组)及二元一次方程（组）的解的概念；
2、能判断一个方程组是否是二元一次方程组:
3、学会求出某二元一次方程的几个解和检验某对数值是否为二元一次方程（组)的解;
4、 学会把二元一次方程中的一个未知数用另一个未知数的一次式来表示.
学习重点、难点：
重点：二元一次方程（组）的意义及二元一次方程(组）的解的概念
难点：1、二元一次方程组的含义：
2、把一个二元一次方程变形成用关于一个未知数的代数式表示另一个未知数的形式，其实质是解一个含有字母系数的方程。
教学过程：
一、忆一忆：
篮球联赛中,每场比赛都要分出胜负，每队胜一场得2分，负一场得一分，某队想在全部22场比赛中得到40分，这个对胜负场数分别是多少？
法一：可列一元一次方程来解（详细过程略）
法二：可否设胜负场数分别为x场、y场，那么x、y应同时满足以下两个方程x+y=22 2x+y=40
设计意图:结合学生学过的方程及一元一次方程的引入，加强学科联系,学生在熟悉的算式中很快找出答案,教师及时给予肯定并提出新问题,使学生感受到成就感的同时学习本节课的内容。
二、试一试：
1）二元一次方程的意义:
这两个方程是我们学过的一元一次方程吗?
由一名学生来阐述什么叫做一元一次方程，它的特征有哪些？
含有一个未知数并且未知数的次数为一次的整式方程叫一元一次方程,它的特征有三个：
①含有一个未知数；
②未知数的次数是一次；
③方程两边都是整式。
与一元一次方程的特征作比较，上述两个方程具有怎样的特征呢？
①含有两个未知数；
②未知项的次数是一次；
③方程两边都是整式.
得出概念：含有两个未知数,并且未知项的次数都是一次的整式方程叫做二元一次方程（关键词两个未知数,未知项的次数，一次，整式方程）
设计意图：引导学生知识的迁移与类比，让学生利用一元一次方程进行认知结构去同化新知识。
三、练一练：
1)请你判断下列式子是否为二元一次方程?
(1) x—2y=8；(2) x2+y=0；（3) x=2/y+1；（4) a+1/2b;(5） xy+y=2;
(6)x/3 +2y=0。
2）二元一次方程的解
以x+y=22为例探索满足此方程的未知数值有无数对，从而得出二元一次方程的解的概念:使二元一次方程两边的值相等的一对未知数的值叫做二元一次方程的一个解
同时强调二元一次方程解的书写格式 ,，…
一般地一个二元一次方程有无数解（同时探索求解方法:用含一个未知数的代数式表示另一未知数)
此二元一次方程的正整数解有，。。。共21个.
3）二元一次方程组
上在一起成为
上述问题中,x、y必须同时满足两个方程x+y=22 和 2x+y=40,把这两个方程合写含有两个未知数且未知项的次数均为一两个整式方程合在一起,就组成二元一次方程组.
比如 ，， 等都是二元一次方程组，

但，, 等不是二元一次方程组
（你们知道为什么吗？）
4）二元一次方程组的解
上述问题通过解一元一次方程可知x=18 22—x=4，即既满足方程x+y=22又满足方程2x+y=40，所以我们就说是方程组的解。　 使二元一次方程组的两个方程左、右两边的值都相等的两个未知数的值,叫做二元一次方程组的解．
例题：  判断下列各组未知数的知是不是二元一次方程组的解．
(1) ( , ， )

(2）,， )

（3) ( ，， ）
一般地，一个二元一次方程组只有一个解。
设计意图：本例先检验二元一次方程的解，再检验二元一次方程组的解，符合从简单到复杂的认知规律，使学生更深刻的理解二元一次方程组的解的概念.
四、用一用：
1）写出二元一次方程5x－y=2的五个解＿
2）已知二元一次方程3x—y=10,用x代数式表示y=＿;当x=6时，y =＿。 用含y的代数式表示x=＿；当y=2时，x=＿
3）3x+y=10自然数解有＿
4）,，中为方程组的解的是＿

五、测一测： 完成目标评价单
六、议一议:
我们今天学习了二元一次方程，二元一次方程组的概念,二元一次方程的解，二元一次方程组的解的定义和判断方法，学习了二元一次方程特殊解的求法，学会了怎样用含一个未知数的代数式表示另一未知数的方法。但是,我们也遇到了一个困惑，那就是二元一次方程组的解我们是用尝试法来判断的，是否有更简洁的方法来求它的解呢？这就是后几节课我们要学习的内容。
设计意图：发挥学生主体意识，培养学生归纳小结的能力。
七、作业；必做90页2、3、4 、
选作5
教学流程设计：

8。2 消元──二元一次方程组的解法”教学设计

内容和内容解析：
 本节主要内容为二元一次方程组的解法,“消元”是解二元一次方程组的基本思路,代入消元和加减消元是“消元”的最基本的方法．探究解二元一次方程组的通解通法，即把解法程序化也是本节应渗透的内容。
实际生活中涉及多个未知数的问题是普遍存在的，而二元一次方程组是解决含有两个未知数的问题的有力工具，同时,二元一次方程组也是解决后续一些数学问题的基础，其解法将为解决这些问题提供运算的工具，如用待定系数法求一次函数解析式，在平面直角坐标系中求两条直线的交点坐标等。

因此,学好二元一次方程组的解法,体会消元、转化思想，是学生完善认知的必要支柱,也是本节课的教学重点．

学生的认知水平有限，还不能完全理解程序化的思想，对二元一次方程组解法的探究，也还只能停留在解给定具体系数的方程组,还不能探究公式化的解法，对同解方程的理解也只能停留在满足等式性质，不能全面地思考方程组有唯一确定解所满足的条件，因此只能定位在渗透程序化思想上，而不应把算法的学习作为本节课的重点．

学习目标：
（1） 知识与技能目标：理解解二元一次方程组的基本思路“消元”，经历从未知向已知转化的过程，培养观察分析能力,体会化归思想；初步体会解方程组过程中体现的程序化思想;
（2）过程与方法目标：能用代入消元法、加减消元法解简单的二元一次方程组，会根据方程组特征选择适当的方法，体会简化思想，培养运算能力；
（3)情感、态度目标：在探究过程中，培养合作交流意识与探究精神,增强学习兴趣，感受数学美．

学习重点：理解解二元一次方程组的基本思路“消元”,会用代入、加减消元法解简单的二元一次方程组．

学习难点:学生探究并理解为什么能通过代入、加减消元把二元一次方程组转化为一元一次方程．
教学方法：观察、展示、归纳、小组讨论的形式。

教学过程设计：

开场白：在上一节课，我们通过对一道与篮球比赛得分有关的实际问题的研究，学习了二元一次方程组，以及二元一次方程组的解．当我们列出二元一次方程组后，所关心的就是如何求出这个方程组的解．在此之前,我们学习了如何解一元一次方程，解一元一次方程的主要依据是等式性质．今天我们就来共同探究，能否利用等式性质和一元一次方程的相关知识，解二元一次方程组．
一、想一想：

在上一节课，通过对实际问题的分析，我们列出了二元一次方程组
方法1:

你会解这个方程组吗？
解：由①得 ③
把③代入②，得

解这个方程，得

（这时教师可以提出问题:为什么可以代入？代入①可不可以?得到的方程是什么方程?）
把代入③,得

（这时教师可以提出问题：代入①或②行不行？好不好？）
所以原方程组的解为
（1)提出问题:在这种解法中,哪一步是最关键的?为什么？

设计意图：引导学生理解等量代换在代入消元法解方程组过程中的应用．体会解二元一次方程组的关键是把二元一次方程组转化为一元一次方程．

（在“为什么可以代入”这一问题的解决过程中,引导学生回顾二元一次方程组的定义，和二元一次方程组的解的定义，再一次理解定义中的“相同未知数”、“公共解”．）

（2)引申问题：有没有办法得到关于的一元一次方程？
解：由①得  ③   
把③代入②，得

解这个方程，得

（这时教师可以提出问题：代入①可不可以？）    
把代入③，得

（这时教师可以提出问题：代入①或②可不可以?）
所以原方程组的解是
（2） 小结：这种解二元一次方程组的方法，我们称之为代入消元法．
设计意图:使学生明确代入消元法的关键是“代入”,把二元一次方程组转化为一元一次方程.
问题1：你认为哪一步是最重要的？为什么?
（“代入"，把二元一次方程组转化为一元一次方程．）
问题2:应用代入消元法前，需要先做的准备工作是什么?
（用含一个未知数的式子表示另一个未知数．）
问题3：除了代入法,还有没有其他方法来实现消元这一目的呢（引入方法2)？
方法2：
解：由②—①，得

（这时教师可以提出问题：这一步的依据是什么？）
把代入①，得

(这时教师可以提出问题：代入②可以吗？)
所以原方程组的解是
（1)提出问题：在这种解法中，哪一步是最关键的？为什么?
设计意图：引导学生理解等式性质在加减消元法解方程组过程中的应用，体会解二元一次方程组的关键是把二元一次方程组转化为一元一次方程．

（2)引申问题：能不能先消？
解：①×2，得   
  ③   
③—②，得             
(这时教师可以提出问题：②—③可以吗？好吗？)
把代入①，得

所以原方程组的解是
(3)小结:这种解二元一次方程组的方法我们称之为加减消元法．
问题1：你认为哪一步是最重要的？为什么？
（“加减"，把二元一次方程组转化为一元一次方程．）
问题2：应用加减消元法前，方程组中的两个方程要先具备什么特征?
(两方程中某个相同未知数的系数相等或互为相反数．）
问题3:除了加减法，还有没有其他方法来实现消元这一目的呢（引入方法1)？
对比方法1、方法2，进行总结:
问题1：两种方法的共同点（共同目的）是什么？
（通过消元，使二元问题先转化为一元问题，求出一个未知数后再求另一个．）
问题2:两种方法的不同点是什么？
(消元的方法不同，一个是“代入"，一个是“加减”．)
问题3：哪一种方法更简单?
（根据方程组特征，具体问题具体分析．）
二、练一练:
练习： ⑴
⑵
⑶
⑷

设计意图：使学生分组解答，然后汇报、交流不同的解法．注意纠正学生解题步骤中的细节问题,使学生熟练掌握二元一次方程组的解法.
三、测一测：完成教研评价单
设计意图：主要考查学生对代入法，消元法解二元一次方程组的掌握。
四、议一议：
这节课我们学习了什么？
问题1：这节课我们研究的主要内容是什么？
问题2：解法的主要步骤是什么？
问题3:你觉得其中最关键的一步是什么？为什么？体现了什么思想？
问题4:在解题过程中我们还应注意哪些问题？
五、布置作业：
1．用代入法解下列方程组：

 2．用加减法解下列方程组：

3.课后习题8。2第2、3、4题。
教学流程设计：        

8.3 实际问题与二元一次方程组的教学设计

教材分析：
本节是在学习了列一元一次方程解应用题和用代入消元法和加减消元法解二元一次方程组的的基础上进行学习的，在解决实际问题上起到启蒙作用,及对其他学科的学习应用起衔接作用，为以后学习函数打下了基础。对于二元一次方程组的应用问题，关键是由实际问题向数学问题的转化过程。所以在教学过程中注重分析问题的方法,让学生学会用数学建模的思想和方程的思想来解决问题。例题“牛饲料问题”是从实际出发，使学生懂得估算要与精确计算进行比较，才能知道估算是否准确。进而让学生初步体会到数学与人们的日常生活的密切关系,以及数学在社会生活中所起的作用，激发学生对数学的学习兴趣，使学生学会从数学的角度去分析和解决简单的实际问题。
学情分析:
学生能比较熟练的解二元一次方程组，对二元一次方程组的应用有所认识，但学生基础较差，理解能力差,对于篇幅较长数据较多的实际问题难以理解，所以在理解题意的基础上列出方程组仍是学生的难点。
学习目标：
（1）知识与技能：进一步应用二元一次方程组解决生活中的一些实际问题。
（2）过程与方法：在运用二元一次方程组解决问题的过程中进一步体会数学建模思想，让学生体会从实际问题情境中抽象出二元一次方程组的过程,从而培养学生分析问题、解决问题的能力,以及应用数学知识解决实际问题的能力
(3)情感态度价值观：体验数学的使用性，提高学习数学的兴趣，在探讨解决问题的过程中，敢于发表自己的见解,理解他人的看法并与他人交流。
学习重点：能根据题意列二元一次方程组;根据题意找出等量关系；
学习难点：正确发找出问题中的两个等量关系，把实际问题转化为二元一次方程组。
教学方法：实践、归纳、讨论、探究法.
教学过程：
开场白：从古老的鸡兔同笼问题，到大家喜欢的篮球、足球联赛问题,我们都已经会通过方程组来解决的了，今天我们将进一步探索用方程组解决现实生活中的估算问题。
一、看一看:
课本99页探究1：
养牛场原有30只母牛和15只小牛，一天约需用饲料675kg；一周后又购进12只母牛和5只小牛,这时一天约需用饲料940 kg,饲养员李大叔估计平均每只母牛1天约需饲料18～20㎏，每只小牛一天约需饲料7～8㎏，你能否通过计算检验李大叔的估计？
二、想一想:
问题1：你如何理解“通过计算检验它的估计”这句话的？

设计意图:使学生明确估算的值不是这道题目中的已知量,是需要检验的量，也就是要求的未知数.
问题2:
1 题中有哪些已知量?哪些未知量？你如何设未知数?
2 题中等量关系有哪些？你能根据题中的条件找等量关系吗？
3如何解这个应用题？
4 根据你的运算判断李大叔估计的准确码？
（教师给出问题,学生思考并寻找解决问题的方法，此期间教师关注大部分学生能否将这个题很好地分析出来,并列出二元一次方程组来解决这一问题,对基础差的学生要加以适当引导）
本题的等量关系是:母牛的总头数×每头母牛一天的食量+小牛的总头书×每头小牛的一天食量=1天共用的饲料量。
（1)30只母牛和15只小牛一天需用饲料为675kg
（2）(30+12）只母牛和(15+5）只小牛一天需用饲料为940kg
解：设平均每只母牛和每只小牛1天各需用饲料为xkg和ykg
根据两种情况的饲料用量列方程，得
30x+15y=675
（30+12)x+（15+5）y=940
解这个方程组，得
X=22.5
Y=0
这就是说，每只母牛和每只小牛1天各需用饲料为22.5kg和0kg,饲料员李大叔对每天母牛需用饲料18-20千克，估计偏低，对每只小牛一天需用7到8千克估计过高。
设计意图：让学生经历分析数量关系，得到等量关系，列方程组的过程.一般情况下,学生学会自觉选择列方程组解决,教师引导学生体会有两个未知数时，列方程组更简单.
问题3：饲养员李大叔的估计正确吗？
设计意图:引导学生用方程组的解去分析、解释实际问题。

探究1小结：
师生共同回顾解决探究1的过程,教师提问：
（1）在列方程组之前我们先做了哪些工作？
(2）列方程组解决实际问题的一般步骤是什么？

设计意图：引导学生总结运用方程组建立数学模型，解决实际问题的过程。

三、试一试：
1、有大小两种货车，2辆大车与3辆小车一次可以运货15.5吨，5辆大车与6辆小车一次可以运货35吨。3辆大车与5辆小车一次可以运货多少吨?

2、计划若干节车皮装运一批货物。如果每节装15。5吨，则有4吨装不下,如果每节装16.5吨,则还可多装8吨.问多少节车皮？多少吨货物？

3、食堂存煤，若每天用130千克，按计划天数计算缺少60千克；若每天用120千克,则到计划天数后剩余60千克。问食堂存煤多少？计划用多少天?
设计意图:从实际问题出发,吸引学生的注意力,启发学生按照前面总结的方法和步骤去解题，充分发挥小组长的代头作用，引领大家共同解决问题.再次为学生拓展了探究的空间，使学生的探究活动得以延续。并加强了知识间的衔接与联系。
四、测一测:完成教研评价单.
五、议一议:
这节课你有什么收获？
二元一次方程组的运用：
1、步骤：审、设、找、列、解、答。
2、关键： 找数量关系，列等量关系。
3、方程组是解决实际问题的模型，在有多种数量关系的时候，利用二元一次方程组解题比较方便。

六、作业 ： 课后习题8。3第1、2、3题。
选做题：导学上的拓展创新
教学流程设计：

8.4 三元一次方程组解法举例

教材分析：二元一次方程组是解决实际问题的有效工具，而解方程组的基本思想是消元,三元一次方程组的解法是新增的内容，目的是通过三元一次方程进一步体会消元--——--代入消元，加减消元的思想方法，同时为二次函数等知识的学习做一定的准备。
学情分析:学生通过学习二元一次方程组的解法已经形成了解多元方程组的基本思路-—-—消元。但对消元方法-——-代入消元、加减消元还不能灵活应用,并且学生的计算能力也较差,因此通过这节课的学习能让学生能更深刻的体会消元的思想和应用方法，提高学生的运算能力。
学习目标：
（1）了解三元一次方程组的概念.
(2）会解某个方程只有两元的简单的三元一次方程组．
（3）掌握解三元一次方程组过程中化三元为二元的思路．
（4）通过消元可把“三元”转化为“二元"，充分体会“转化"是解二元一次方程组的基本思路。
学习重点：(1）使学生会解简单的三元一次方程组．
（2）通过本节学习，进一步体会“消元”的基本思想．
学习难点：针对方程组的特点,灵活使用代入法、加减法等重要方法．
教学过程：
开场白： 前面我们学习了二元一次方程组的解法，有些实际问题可以设出两个未知数，列出二元一次方程组来求解。实际上，有不少问题中会含有更多的未知数，对于这样的问题，我们将如何来解决呢?
一、想一想:
小明手头有12张面额分别为1元，2元，5元的纸币，共计22元，其中1元纸币的数量是2元纸币数量的4倍，求1元,2元，5元纸币各多少张．
提出问题:1．题目中有几个条件?
2．问题中有几个未知量?
3．根据等量关系你能列出方程组吗？
列表分析： （师生共同完成)
（三个量关系) 每张面值 × 张数 = 钱数

1元
x
x

2元
y
2y

5元
z
5z
合 计

12
22
注
1元纸币的数量是2元纸币数量的4倍，即x=4y
解:（学生叙述个人想法，教师板书）
设1元，2元,5元的张数为x张，y张，z张.
根据题意列方程组为：
得出定义： （师生共同总结概括）
这个方程组有三个相同的未知数，每个方程中含未知数的项的次数都是1，并且一共有三个方程,像这样的方程组叫做三元一次方程组．
二、试一试:
怎样解这个方程组呢？能不能类比二元一次方程组的解法，设法消去一个或两个未知数，把它化成二元一次方程组或一元一次方程呢？（展开思路,畅所欲言)
例1 。解方程组
分析1：发现三个方程中x的系数都是1，因此确定用减法“消x”.
解法1:消x
②-① 得 y+4z=10 。 ④
③代人① 得5y+z=12 。 ⑤
由④、⑤得
解得
把y=2,代入③，得x=8.
∴ 是原方程组的解。
分析2:方程③是关于x的表达式，确定“消x”的目标.
解法2：消x
由③代入①②得
解得
把y=2代入③,得x=8。
∴ 是原方程组的解.
方法归纳：
根据方程组的特点，由学生归纳出此类方程组为：
类型一：有表达式,用代入法.
针对上面的例题进而分析，例1中方程③中缺z,因此利用①、②消z，可达到消元构成二元一次方程组的目的.
解法3：消z
①×5得 5x+5y+5z=60， ④
x+2y+5z=22， ②
④—②得 4x+3y =38 ⑤
由③、⑤得
解得
把x=8，y=2代入①，得z=2。
∴ 是原方程组的解。
根据方程组的特点，由学生归纳出此类方程组为:
类型二:缺某元，消某元。
教师提示：当然我们还可以通过消掉未知项y来达到将“三元"转化为“二元”目的,同学可以课下自行尝试一下.
三、测一测: 完成目标评价单
四、议一议：
师生共同总结
1。解三元一次方程组的基本思路：通过“代入"或“加减”进行消元，把“三元”化为“二元”,使解三元一次方程组转化为解二元一次方程组，进而转化为解一元一次方程．
即三元一次方程组 二元一次方程组 一元一次方程
2.解题要有策略,今天我们学到的策略是：有表达式，用代入法；缺某元，消某元。
五、作业：
1. 解方程组 你能有多少种方法求解它？
本题方法灵活多样，有利于学生广开思路进行解法探究。
2. 习题8。4第1题。
教学流程设计：