公式法解一元二次方程.doc

个人收集整理 勿做商业用途7。3。5 用公式法解一元二次方程教学目标 (一）教学知识点 1一元二次方程的求根公式的推导 2会用求根公式解一元二次方程 （二）能力训练要求 1通过公式推导,加强推理技能训练,进一步发展逻辑思维能力 2会用公式法解简单的数字系数的一元二次方程 （三）情感与价值观要求 1通过运用公式法解一元二次方程的训练，提高学生的运算能力，养成良好的运算习惯教学重点 一元二次方程的求根公式教学难点 求根公式的条件：b2-4ac0教学方法 讲练相结合教具准备 投影片五张 第一张：复习练习（记作投影片23 A) 第二张：试一试（记作投影片23B) 第三张:小亮的推导过程（记作投影片23 C) 第四张：求根公式(记作投影片23 D) 第五张：例题（记作投影片23 E）教学过程 巧设现实情景，引入课题 师我们利用三节课的时间学习了一元二次方程的解法下面来做一练习以巩固其解法(出示投影片23 A）1用配方法解方程2x27x+30生甲解：2x27x+30， 两边都除以2,得x2-x+0 移项，得；x2x= 配方,得x2x+（-)2+（)2 两边分别开平方，得 x 即x=或x-= x1=3，x2= 师同学们做得很好，接下来大家来试着做一做下面的练习（出示投影片23 B）试一试，肯定行:1用配方法解下列关于x的方程：（1)x2+ax1；(2)x2+2bx+4ac0 生乙(1）解x2+ax1， 配方得x2+ax+()21+（)2， (x+）2= 两边都开平方，得 x+, 即x+，x+=. x1=， x2 生丙(2)解x22bx+4ac0， 移项，得x2+2bx-4ac 配方，得x2-2bx+b2-4ac+b2， （x+b）2=b2-4ac 两边同时开平方，得 x+b, 即 x+b，x+b- x1=b+，x2-b 生丁老师,我觉得丁同学做错了，他通过配方得到(x+b）2b2-4ac根据平方根的性质知道：只有正数和零才有平方根，即只有在b24ac0时，才可以用开平方法解出x来所以，在这里应该加一个条件：b24ac0 师噢，同学们来想一想,讨论讨论，戊同学说得有道理吗？ 生齐声戊同学说得正确因为负数没有平方根，所以，解方程x2+2bx+4ac0时,必须有条件：b2-4ac0，才有丁同学求出的解否则，这个方程就没有实数解 师同学们理解得很正确,那解方程x2+ax1时用不用加条件呢? 生齐声不用 师那为什么呢? 生齐声因为把方程x2+ax1配方变形为（x+）2= ，右边就是一个正数，所以就不必加条件了 师好，从以上解题过程中，我们发现：利用配方法解一元二次方程的基本步骤是相同的因此，如果能用配方法解一般的一元二次方程ax2+bx+c0(a0）,得到根的一般表达式，那么再解一元二次方程时，就会方便简捷得多 这节课我们就来探讨一元二次方程的求根公式 讲授新课 师刚才我们已经利用配方法求解了四个一元二次方程，那你能否利用配方法的基本步骤解方程ax2+bx+c0(a0)呢？ 大家可参照解方程2x27x+30的步骤进行 生甲因为方程的二次项系数不为1，所以首先应把方程的二次项系数变为1，即方程两边都除以二次项系数a，得 x2+ =0 生乙因为这里的二次项系数不为0,所以，方程ax2+bx+c0(a0)的两边都除以a时，需要说明a0 师对，以前我们解的方程都是数字系数，显然就可以看到:二次项系数不为0，所以无需特殊说明，而方程ax2+bx+c0(a0）的两边都除以a时，必须说明a0 好,接下来该如何呢? 生丙移项，得x2+配方，得x2+，(x+。 师这时，可以直接开平方求解吗？ 生丁不，还需要讨论 因为a0,所以4a20当b2-4ac0时,就可以开平方 师对，在进行开方运算时,被开方数必须是非负数，即要求0因为4a20恒成立，所以只需b24ac是非负数即可 因此，方程(x+)2的两边同时开方，得x+=. 大家来想一想，讨论讨论: =吗？ 师当b24ac0时，x+=因为式子前面有双重符号“，所以无论a0还是a0，都不影响最终的结果：所以x+=，x=-= 好,我们来看小亮的推导过程(出示投影片23 C） ax2+bx+c=0(a0） x2+=0 x2+ x=这样,我们就得到一元二次方程ax2+bx+c0（a0）的求根公式：x= （b24ac0）,即(出示投影片23 D) 一般地，对于一元二次方程ax2+bx+c0（a0）,当b24ac0时,它的根是x= 师用求根公式解一元二次方程的方法称为公式法(Solving by formular) 由此我们可以看到：一元二次方程ax2+bx+c0(a0）的根是由方程的系数a、b、c确定的因此，在解一元二次方程时,先将方程化为一般形式，然后在b2-4ac0的前提条件下,把各项系数a、b、c的值代入，就可以求得方程的根 注：（1）在运用求根公式求解时，应先计算b24ac的值；当b2-4ac0时，可以用公式求出两个不相等的实数解;当b24ac0时，方程没有实数解就不必再代入公式计算了 (2)把方程化为一般形式后，在确定a、b、c时,需注意符号 接下来，我们来看一例题(出示投影片23 E）例题解方程x2-7x-180分析：要求方程x2-7x180的解，需先确定a、b、c的值注意a、b、c带有符号解：这里a1，b7，c18b2-4ac=(7）2-41（18） 1210,x=，却x19，x2-2 师好，我们来共同总结一下用公式法解一元二次方程的一般步骤 师生共析其一般步骤是： (1）把方程化为一般形式，进而确定a、b,c的值(注意符号) （2)求出b2-4ac的值(先判别方程是否有根） (3）在b24ac0的前提下，把a、b、c的直代入求根公式，求出的值，最后写出方程的根 师接下来我们通过练习来巩固用公式法求解一元二次方程的方法 课堂练习 (一）课本P57随堂练习 1、2 1用公式法解下列方程： (1)2x29x+80；（2)9x2+6x+10 解：(1）这里a2，b9，c8 b2-4ac=(-9)2428 170, x= 目x1= ,x2 （2)这里a9，b6,c1 b24ac624910， x= 即x1x2=, 2一个直角三角形三边的长为三个连续偶数，求这个三角形的三条边长 解:设中间的数为x,则另外两数为 x2,x+2根据题意，得 （x+2)2（x2)2+x2 整理,得x28x=0 解这个方程，得 x10，x28 因为直角三角形的边长为正数，所以x10应舍去因此，这个直角三角形的三条边长分别为6,8，10 (二)看课本P56P57，然后小结 课时小结 这节课我们探讨了一元二次方程的另一种解法公式法 （1）求根公式的推导，实际上是“配方与“开平方”的综合应用对于a0,b24ac0。以及由a0，知4a20等条件在推导过程中的应用，也要弄清其中的道理 （2）应用求根公式解一元二次方程,通常应把方程写成一般形式，并写出a、b、c的数值以及计算b24ac的值，当熟练掌握求根公式后，可以简化求解过程 课后作业 （一)课本P58习题26 1、2 (二)1预习内容;P59P61 2预习提纲 (1)如何利用因式分解法解一元二次方程 活动与探究 1阅读材料，解答问题： 阅读材料： 为解方程(x2-1）25(x2-1)+40,我们可以将（x2-1）视为一个整体，然后设x21y,则(x21）2y2，原方程化为y2-5y+4=0 解得y1=4,y21 当y14时，x214， x25，x= 当y1时，x2-11, x22，x= 原方程的解为x1，x2-， x3= ，x4=-。 解答问题： (1)填空： 在由原方程得到方程的过程中,利用 法达到了降次的目的，体现了 的数学思想 （2）解方程x4x2-60 过程通过对本题的阅读，让学生在获取知识的同时，来提高学生的阅读理解和解决问题的能力 结果 解:(1）换元 转化 （2)设x2y,则x4=y2， 原方程可以化为y2y60 解得y1=3,y2-2 当y1=3时，x23，x 当y2-2时，x2=-2，此方程无实根 原方程的解为x1,x2-板书设计 23 公式法一、解：2x27x+30，两边都除以2，得x2-=0移项，得x2。配方，得x2-（x.两边分别开平方,得x,即x- 或x。x1=3，x2=二、求根公式的推导三、课堂练习四、课时小结五、课后作业