一种多策略改进鲸鱼优化算法的混沌系统参数辨识.pdf

DOI:10.11992/tis.202303043网络出版地址:https:/ 控制与计算机工程学院,北京 102206;2.华北电力大学 数理学院信息与计算研究所,北京102206）R osslerL u摘 要：针对混沌系统参数辨识精度不高的问题，以鲸鱼优化算法(whale optimization algorithm，WOA)为基础，提出一种多策略改进鲸鱼优化算法(multi-strategy improved whale optimization algorithm，MIWOA)。采用 Cheby-shev 混沌映射选取高质量初始种群，采用非线性收敛因子和自适应权重，提高算法收敛速度，为了避免算法陷入局部最优，动态选择自适应 t 分布或蚁狮优化算法更新后期位置，提高处理局部极值的能力。通过对 10 个基准函数和高维测试函数进行仿真试验，表明 MIWOA 具有良好的稳定性和收敛精度。将 MIWOA 应用于辨识和混沌系统参数，仿真结果优于现有成果，表明本文 MIWOA 辨识混沌系统参数的高效性和实用性。关键词：多策略改进鲸鱼优化算法；混沌系统；参数辨识；Chebyshev 混沌映射；自适应 t 分布；蚁狮优化算法；基准函数；Wilcoxon 秩和检验中图分类号：TP18 文献标志码：A 文章编号：16734785(2024)01017614中文引用格式：潘悦悦,吴立飞,杨晓忠.一种多策略改进鲸鱼优化算法的混沌系统参数辨识 J.智能系统学报,2024,19(1):176189.英文引用格式：PAN Yueyue,WU Lifei,YANG Xiaozhong.Parameter identification of chaotic system based on a multi-strategy im-proved whale optimization algorithmJ.CAAI transactions on intelligent systems,2024,19(1):176189.Parameter identification of chaotic system based on a multi-strategyimproved whale optimization algorithmPAN Yueyue1，WU Lifei2，YANG Xiaozhong2(1.School of Control and Computer Engineering,North China Electric Power University,Beijing 102206,China;2.Institute of In-formation and Computing,School of Mathematics and Physics,North China Electric Power University,Beijing 102206,China)R osslerL uAbstract:Aimed at the problem of low parameter identification accuracy of chaotic systems,a multi-strategy improvedwhale optimization algorithm(MIWOA)is proposed based on the whale optimization algorithm(WOA).MIWOA usesChebyshev chaotic mapping to select high-quality initial populations,and nonlinear convergence factor and adaptiveweight to improve the convergence speed of the algorithm.In order to avoid falling into local optimal solution,MI-WOA dynamically selects adaptive t distribution or ant lion optimization algorithm to update the later position and im-prove the ability to handle local extremum.Through simulation experiments on 10 benchmark functions and high-di-mensional test functions,it is shown that MIWOA has good stability and convergence accuracy.Applying MIWOA toidentify the parameters of and chaotic systems,the simulation results are superior to existing achievements,indicating the efficiency and practicality of MIWOA in identifying chaotic system parameters in this paper.Keywords:multi-strategy improved whale optimization algorithm;chaotic system;parameter identification;Chebyshevchaotic map;adaptive t distribution;ant lion optimization algorithm;benchmark function;Wilcoxon rank sum test 在非线性科学领域，混沌系统的控制与同步是研究热点，其在信息科学、保密通信等方面应用广泛1-2，准确的混沌系统模型是实现同步控制的基础。然而，实际应用中，混沌系统结构复杂，部分参数不可知，因此精确辨识混沌系统参数具有重要的现实意义3-4。近年来，许多学者开始关注和研究混沌系统参数辨识问题，并应用智能优化算法辨识系统参数。Chen 等(2019 年)5使用改进花授粉算法估收稿日期：20230330.网络出版日期：20230920.基金项目：中央高校基本科研业务费专项基金项目(2021MS045)；华北电力大学国内外联合培养博士生资助项目(2020).通信作者：杨晓忠.E-mail：.第 19 卷第 1 期智能系统学报Vol.19 No.12024 年 1 月CAAI Transactions on Intelligent SystemsJan.2024智能系统学报编辑部版权所有计混沌和超混沌系统参数。数值模拟证明了新算法的有效性和鲁棒性。Ahandani 等(2020 年)6提出一种混洗复杂进化算法解决混沌系统参数估计问题，数值结果表明改进算法提高了参数估计的收敛速度和精度。Turgut 等(2021 年)7使用单元拓扑改进鲸鱼算法和正余弦算法，辨识混沌系统参数，测试结果证明，新算法成功地解决了参数识别问题。Ebrahimi 等(2021 年)8提出了一种改进洛兹映射混沌优化算法，数值结果表明，改进算法能够高效、准确地估计混沌系统参数。鲸鱼优化算法(whale optimization algorithm，WOA)是一种新型群智能算法9，具有搜索能力强、计算稳定等特点，在最优控制、光伏系统等方面应用广泛10-11。然而 WOA 存在全局和局部搜索不平衡，易陷入局部最优等问题，因此国内外学者对 WOA 进行了有效的改进。Chen 等(2020 年)12提出一种准对立混沌 WOA(whale optimization al-gorithm with chaos mechanism based on quasi-opposi-tion,OBCWOA)，数值仿真结果证明了改进算法的全局搜索能力。Chen 等(2020 年)13 为提高WOA 的收敛精度和速度，提出一种双自适应随机备用增强 WOA(reinforced whale optimization al-gorithm,RDWOA)。仿真结果验证了 RDWOA 的有效性。Chakraborty等(2021 年)14为解决高维问题，结合多种策略，提出一种增强 WOA(enhancedwhale optimization algorithm,eWOA)，测试结果表明所提算法能有效解决高维问题。Shen 等(2023年)15提出一种多策略进化 WOA(whale optimiza-tion algorithm based on multi-population evolution,MEWOA)，试验结果证明了 MEWOA 求解优化问题的有效性。Deng等(2023 年)16提出了一种具有多策略混合算法的改进 WOA(improved whaleoptimization algorithm,IWOA)，仿真结果表明，IWOA有较好的收敛速度和稳定性。R osslerL u以上改进算法虽然有一定提升，但在收敛精度和速度方面仍有待提高，本文在已有工作的基础上，以 WOA 为基础，使用 Chebyshev 混沌映射产生均匀分布种群，增加初始种群多样性。将收敛因子非线性化，增加自适应权重，兼顾全局搜索和局部挖掘。动态选择自适应 t 分布或蚁狮优化算法17-18，跳出局部最优。通过对 10 个基准函数和高维测试函数进行仿真试验，验证了 MIWOA的优越性。将 MIWOA 应用于和混沌系统参数辨识，仿真结果证明了 MIWOA 辨识混沌系统参数的有效性。1 多策略改进鲸鱼优化算法的建立 1.1 基本 WOAWOA 模拟了鲸鱼捕食行为，其仿生学原理描述如下：1)包围捕食阶段。鲸鱼寻找食物时，当前鲸鱼根据最佳鲸鱼位置更新自身位置，公式为D=|CX(t)X(t)|(1)X(t+1)=X(t)AD(2)A=2ar1a(3)C=2r2(4)a=22t/TtTX(t)X(t)r1、r2式中：，和 分别为当前迭代次数和最大迭代次数，和分别为最佳鲸鱼位置和当前位置，为 0,1 的随机数。2)螺旋更新阶段。在螺旋更新位置时，鲸鱼通过螺旋向上的方式，靠近群体中最优位置，更新公式为X(t+1)=X(t)+Deblcos(2l)(5)D=|X(t)X(t)|(6)Dibl1,1式中：为第 只鲸鱼和猎物之间的距离，为改变螺旋形状的常数，为中的随机数。在鲸鱼搜索猎物时，收缩包围和螺旋更新同步进行，位置更新公式为X(t+1)=X(t)AD,p 1鲸鱼通过大小，选择随机搜寻或者包围捕食。当时，鲸鱼在包围圈外，通过随机搜寻获得猎物信息，位置更新公式为D=|CXrand(t)X(t)|(8)X(t+1)=Xrand(t)AD(9)Xrand式中为当前的一个随机鲸鱼位置。1.2 WOA 的改进WOA 初始化种群时采用随机搜索策略，全局搜索能力弱。包围捕食和螺旋更新阶段，收敛因子线性递减不能平衡全局和局部搜索。算法后期容易陷入局部最优。针对以上缺点，本文通过Chebyshev 混沌映射初始化种群。包围捕食和螺旋更新阶段，非线性化收敛因子，加入自适应权重。算法后期，动态使用自适应 t 分布或蚁狮优化算法更新鲸鱼位置，对 WOA 进行改进。1)Chebyshev 混沌映射。Chebyshev 混沌映射对初值敏感19，可产生大量无周期实值序列。本文采用 Chebyshev 混沌映射对 WOA 进行种群初始化，迭代方式为177潘悦悦，等：一种多策略改进鲸鱼优化算法的混沌系统参数辨识第 1 期 xn+1=cos(k(arccos(xn),xn 1,1(10)k式中 为阶次。Chebyshev 映射迭代 1 000 次的分布如图 1 所示。1.00.500.51.0映射值02004006008001 000迭代次数 图 1 Chebyshev 映射分布Fig.1 Chebyshev map distribution 1,1NY=(y1,y2,yd)Yn1n1n由图 1 可知，映射值分布于，Chebyshev混沌映射能更均衡地选取初始种群。将 Cheby-shev 混沌序列映射到 WOA 解空间中，规定鲸鱼种群数为，随机产生第 1 只鲸鱼个体向量，。使用式(10)对 的各维进行次迭代，产生其余的只鲸鱼。映射生成 只鲸鱼个体为xid=ld+(1+yid)(udld)/2(11)udlddyidxiddii式中：和 分别为搜索空间第 维的上下界，和分别为第 维的第 只鲸鱼和第 只鲸鱼的坐标值。2)非线性收敛因子和自适应权重。A a,a|A|1|A|1ua 1au=0.6如图 2，与 WOA 相比，越大，所占的迭代次数比例越大，算法全局搜索能力越强，局部挖掘能力越弱。反之，越小，所占的比例越大，算法局部挖掘能力越强，全局搜索能力越弱。所以 的变化趋势很大程度地影响优化求解。由于本文提出的 Chebyshev 混沌映射初始化种群策略，可以有效提高算法全局搜索能力，故选取，增强局部挖掘能力，加快收敛速度，提高精度。针对 WOA 后期局部挖掘时，权重固定，不利于算法寻优，本文提出一种自适应权重策略，公式为=a2(13)X(t+1)=X(t)AD(14)X(t+1)=X(t)Deblcos(2l)(15)3)自适应 t 分布。t 分布又称学生分布，概率密度函数为17pt(x)=(n+12)n(n2)(1+x2n)n+12(16)(n+12)=w+0 xn+121exdxn式中。图 3 为 取不同值时 t 分布图像对比。n=0.1n=0.2n=0.5n=1.0n=2.0n=10.00.50.40.30.25050.10P(x)x 图 3 函数分布对比Fig.3 Function distribution comparison nn由图 3 可知，t 分布的自由度 越小，曲线的双尾翘越高，中间峰值越小，整体越平滑。反之，自由度 越大，中间峰值越大，整体越陡峭。自适应t 分布对鲸鱼位置的更新为xti=xi+xit(n)(17)xtint(n)式中：为更新后的鲸鱼位置，和分别为迭代次数和以迭代次数为自由度的 t 分布函数。4)蚁狮优化算法。在蚁狮优化算法中，蚂蚁通过随机游走更新位置，公式为18X(t)=0,cumsum(2r(t1)1),cumsum(2r(t2)1),cumsum(2r(tT)1)(18)第 19 卷智能系统学报178 Ttr(t)式中：cumsum 为蚂蚁游走位置累加和，为最大迭代次数，为当前迭代次数，为 0 或 1 的随机数。蚂蚁随机游走公式的标准化形式为Xti=(Xtiai)(dticti)(biai)+cti(19)aibiictidtiti式中：和 分别为第 个变量的最小值和最大值，和分别为第 代第 个变量的最小值和最大值。2 混沌系统参数辨识的 MIWOA 2.1 混沌系统的参数辨识原理混沌系统参数辨识原理如图 4 所示。MIWOAminJ()参数整定bestx=F(x,x0,0)y=F(y,x0,)图 4 混沌系统参数辨识原理Fig.4 Principle of parameter identification for chaotic sys-tem 考虑如下 n 维混沌动力学系统：x=F(x,x0,0)x=x1x2 xnT Rnx00=1020 m0T式中：为系统的 n 维状态变量，为初始状态量，为参数真实值。当辨识系统参数时，假设结构为 y=F(y,x0,)y=y1y2 ynT Rn=12 mTxy式中：为辨识系统的状态变量，为参数估计值。系统参数辨识是寻找一组最优未知参数，使系统真值 和估计值 的误差值最小：minJ()=1mmk=1xkyk2xkykkmJ()式中：和分别为 时刻的系统真值和估计值，为参数辨识状态变量序列的长度。目标泛函的值越小，参数辨识的精度越高。MIWOA 流程如图 5 所示。2.2 MIWOA 的时间复杂度分析NDTO(NDT)O(ND)O(NDT)t1设种群规模为，搜索空间维度为，最大迭代次数为，WOA 的时间复杂度为。本文 MIWOA 以 WOA 为基础进行改进，Chebyshev混沌映射初始化种群的时间复杂度为，非线性收敛因子和自适应权重未在基本 WOA 基础上增加循环嵌套，时间复杂度为，动态选择自适应 t 分布或蚁狮优化算法的时间为，则其O(NDT+t1)时间复杂度为，虽然 MIWOA 的时间复杂度相对 WOA 有所增加，但在可接受范围内，下面通过数值试验说明 MIWOA 的卓越性。t 小于最大迭代次数N输出最优解结束Yp0.5YY根据式(8)、(9)更新鲸鱼位置根据式(1)、(14)更新鲸鱼位置N根据式(6)、(15)更新鲸鱼位置NNY开始设置算法参数,应用式(10)、(11)初始化种群计算各个体适应度值,并记录当前最优个体及位置更新种群个体的最优位置与适应度值,t=t+1randp0根据式(16)、(17)更新自身位置根据式(18)、(19)更新自身位置|A|1根据式(3)、(4)、(12)、(13)更新 a,A,C 图 5 MIWOA 流程Fig.5 Flow chart of MIWOA 3 MIWOA 性能测试与分析 3.1 测试函数的选取f1 f7f8 f10仿真试验基于 AMD Ryzen R7 5700U CPU1.80 GHz，在 Matlab R2019a 环境下运行。为了验证 MIWOA 有更好的寻优性能，选取表 1 的 10 个基准函数进行测试，表示绝对误差精度。为单峰函数，为多峰函数，10 个测试函数的最优值均为 0。表 1 基准函数Table 1 Benchmark functions 函数搜索范围f1Sphere Function()100,1000.001f2Schwefels Problem 2.22()10,100.001f3Schwefels Problem 1.2()100,1000.001f4Schwefels Problem 2.21()100,1000.001f5Rosenbrocks Function()30,300.010 179潘悦悦，等：一种多策略改进鲸鱼优化算法的混沌系统参数辨识第 1 期 续表 1函数搜索范围f6Step Function()100,1000.010f7Quartic Function()1.28,1.280.010f8Schwefels Problem 2.26()500,500100.000f9Rastrigins Function()5.12,5.120.010f10Ackleys Function()32,320.010 3.2 MIWOA 与其他智能算法对比N=30 D=30T=1 000采用 10 个基准函数检验 MIWOA 的性能，与WOA、粒子群算法(particle swarm optimization，PSO)21、人工蜂群算法(artificial bee colony al-gorithm,ABC)22、灰狼算法(grey wolf optimizer，GWO)23和哈里斯鹰算法(harris hawks optimiza-tion，HHO)24进行测试结果比较。令，运行 30 次，表 2 为 6 种算法的最优值、最差值、平均值和标准差(黑色粗体为最优结果)。表 2 测试函数优化结果Table 2 Test function optimization results 函数指标WOAPSOABCGWOHHOMIWOAf1最优值2.57101654.011012.741019.5810619.90102140最差值3.15101491.381021.461008.4210591.29101850平均值3.21101508.221016.201012.0410591.29101860标准差9.44101503.091013.261012.37105900f2最优值1.81101112.591005.321025.4010368.33101070最差值3.52101021.031025.811014.2310344.7210950平均值3.58101033.891011.411011.3010344.8910960标准差1.05101022.631012.271011.1810341.4110950f3最优值3.691033.591033.281043.1410193.62101760最差值4.641042.101048.861041.6010132.18101490平均值2.011041.101046.781041.6510142.41101500标准差1.321045.271031.681044.8010146.51101500f4最优值3.581021.941005.271019.3910161.53101020最差值8.891016.661006.611011.7210132.0510900平均值2.471013.621005.921012.6510142.1510910标准差2.751011.291004.601005.0110146.1410910f5最优值2.791013.951031.371062.791011.611032.80101最差值2.871016.291032.291062.871015.451032.88101平均值2.841015.361031.931062.841013.921032.82101标准差4.231011.151034.531053.961011.881032.76101f6最优值8.771021.441024.451019.961011.771059.23103最差值2.721013.091026.811011.261006.111052.72101平均值1.981012.431025.861011.151004.371054.41102标准差9.031028.111011.151011.301012.121056.35102f7最优值1.781043.841022.161014.571042.271061.59106最差值5.241031.581018.241012.071031.251049.40105平均值2.041037.451025.371019.181046.131052.69105标准差1.571033.401021.751014.241044.431053.15105 第 19 卷智能系统学报180 续表 2函数指标WOAPSOABCGWOHHOMIWOAf8最优值1.261041.041048.22101126.601031.261041.26104最差值7.691035.751032.27101194.951035.781036.37103平均值1.121048.141032.41101186.061031.191041.15104标准差1.841031.391036.77101185.091022.041031.74103f9最优值01.231021.91102000最差值02.581022.501029.9810100平均值01.901022.311021.9910100标准差03.511011.671013.9910100f10最优值8.8810161.711003.031007.9910158.8810168.881016最差值7.9910152.201015.291002.5810148.8810168.881016平均值4.8010157.401004.011001.5810148.8810168.881016标准差2.4910156.321007.331014.71101500 f1f2f3f4f5 f7f8 f10f9由表 2 数据可知，对于单峰函数、，MI-WOA 的寻优结果均为 0，WOA 的计算结果优于PSO、ABC 和 GWO 算法。在、测试函数上，MIWOA 的计算结果优于 HHO，可取得理论最小值。对于函数，虽然 MIWOA 没有达到最小值，但优于 WOA。对于多峰函数，MIWOA可收敛到最优值附近，其中函数可收敛到最优值，说明 MIWOA 相对于其他算法有更好的收敛精度和稳定性。基准测试函数的收敛曲线可以清晰地展现算法的收敛速度，图 6(a)(d)和(e)(f)分别为单峰和多峰函数的平均收敛曲线。由图 6 可以看出，对于 6 个测试函数，在收敛精度相同的情况下，MIWOA 收敛速度更快，说明 Chebyshev 混沌映射初始化种群策略提高了种群中高质量个体的比例，非线性收敛因子和自适应权重平衡了全局和局部搜索，加速收敛。MIWOA 收敛曲线波动下降，说明自适应 t 分布或蚁狮优化算法的动态选择策略有助于算法跳出局部最优，提高收敛精度。100101001020010300适应度值10010100101001020010300适应度值02004006008001 000迭代次数02004006008001 000迭代次数02004006008001 000迭代次数10010100100105105101010151020010300适应度值适应度值02004006008001 000迭代次数02004006008001 000迭代次数10010510510101015适应度值WOAPSOABCGWOHHOMIWOAWOAPSOABCGWOHHOMIWOAWOAPSOABCGWOHHOMIWOAWOAPSOABCGWOHHOMIWOA100101001020010300适应度值02004006008001 000迭代次数WOAPSOABCGWOHHOMIWOAWOAPSOABCGWOHHOMIWOA(a)f1(b)f2(c)f3(d)f4(e)f9(f)f10 图 6 30 维测试函数的平均收敛曲线Fig.6 Average convergence curves of 30 dimensional test functions 181潘悦悦，等：一种多策略改进鲸鱼优化算法的混沌系统参数辨识第 1 期 3.3 Wilcoxon 秩和检验p 5%p 5%Wilcoxon 秩和检验能够检测更为复杂的数据分布，并与算法多次运行的数据对比，公平地体现 MIWOA 的优越性24。实验设定显著性差异为5%，当判定两算法有明显差异，反之无明显差异。符号“”“”和“”分别表示 MIWOA的性能优于、劣于和相当于对比算法，N/A 表示无法进行显著性判断。选取 MIWOA 在 10 个测试函数的运行结果与 WOA、PSO、ABC、GWO 以及HHO 运行结果进行 Wilcoxon 秩和检验，计算p 值。表 3 结果显示大部分，说明 MIWOA的寻优能力优于 5 种对比算法。3.4 MIWOA 不同改进策略的有效性分析N=30 D=30 T=500f1 f10为比较 3 种改进策略对 MIWOA 性能的影响，令，对进行寻优计算，将 MIWOA 与 WOA、WOA1(采用 Chebyshev混沌映射)、WOA2(采用非线性收敛因子和自适应权重)和 WOA3(采用自适应 t 分布或蚁狮优化算法)比较，计算结果如表 4。表 3 Wilcoxon 秩和检验结果Table 3 Results of Wilcoxon rank sum test 函数WOAPSOABCGWOHHOf12.001062.001062.001062.001062.00106f22.001062.001062.001062.001062.00106f32.001062.001062.001062.001062.00106f42.001062.001062.001062.001062.00106f51.251012.001062.001068.511022.00106f66.001062.001062.001062.001062.00106f72.001062.001062.001062.001061.47102f83.131012.30105N/A2.001061.40102f9N/A2.001062.001062.00103N/Af109.001062.001062.001069.03107N/A+/=/7/1/210/0/09/1/09/0/18/2/0 表 4 不同改进策略算法性能对比Table 4 Performance comparison of algorithms for different improved strategies 函数指标WOAWOA1WOA2WOA3MIWOAf1最优值1.2510853.721084000最差值1.2710712.161072000平均值6.8410731.081073000标准差2.6210724.041073000f2最优值1.4510581.1410573.451026400最差值2.8510491.7310495.631024500平均值1.0110508.0410511.881024600标准差5.1110503.121050000f3最优值1.461042.48104000最差值7.971041.41105000平均值4.701048.05104000标准差1.561042.81104000f4最优值1.541004.041015.951025500最差值8.701019.661016.931024200平均值3.931015.401014.021024300标准差3.071013.29101000f5最优值2.721012.711012.751011.121061.38105最差值2.881012.881012.881011.511018.58104平均值2.791012.791012.811012.101023.27104标准差4.781015.121013.631013.841022.84104 第 19 卷智能系统学报182 续表 4函数指标WOAWOA1WOA2WOA3MIWOAf6最优值1.201011.011012.521011.441071.27107最差值1.291008.201018.251011.401024.15106平均值4.821013.581014.801011.391031.65106标准差2.861011.981011.761013.061031.46106f7最优值1.331051.661047.121072.251062.03106最差值9.451031.771023.711042.711042.86105平均值3.171034.211031.011045.791051.06105标准差2.781034.761038.871055.221058.36106f8最优值1.261041.261041.261041.261041.25104最差值7.441037.611031.111041.131041.17104平均值1.021041.011041.241041.241041.22104标准差1.601031.751033.851022.491023.40102f9最优值00000最差值00000平均值00000标准差00000f10最优值8.8810168.8810168.8810168.8810168.881016最差值7.9910157.9910158.8810168.8810168.881016平均值4.5610153.9710158.8810168.8810168.881016标准差2.5110152.711015000 由表 4 可知，3 种改进策略对 WOA 均有不同程度的提升，WOA3 的改进效果最好，WOA2 次之，WOA1 的计算结果低于其他 2 种算法的计算结果，但对 WOA 仍有明显的改进效果。将 3 种改进策略相结合时，算法搜索最精确，明显优于WOA1、WOA2 和 WOA3，表明 3 种改进策略是有效的。3.5 MIWOA 与不同策略改进 WOA 对比N=30 D=500 T=500f1 f10为了对比 MIWOA 与其他改进 WOA 的改进效果，令，引用 3 种算法(OBCWOA 12、eWOA 14和 MEWOA 15)的数据，在相同测试条件下，对测试，结果如表 5。表 5 MIWOA 与其他改进 WOA 性能对比Table 5 Performance comparison between MIWOA and other improved WOAs 函数指标OBCWOA12eWOA14MEWOA15MIWOAf1平均值1.44102721.301020900标准差0000f2平均值2.09101421.251010500标准差1.08101414.431010500f3平均值3.47102392.761011000标准差01.301010900f4平均值3.02101342.83109900标准差1.24101331.47109800f5平均值4.951039.511028.321024.98102标准差2.261017.911003.011009.44102 183潘悦悦，等：一种多策略改进鲸鱼优化算法的混沌系统参数辨识第 1 期 续表 5函数指标OBCWOA12eWOA14MEWOA15MIWOAf6平均值2.841022.861012.061011.11102标准差6.571013.281014.091002.31100f7平均值1.801042.071043.301044.15106标准差1.471041.881043.531042.80106f8平均值2.051052.031052.091056.21104标准差9.531031.501043.101024.04103f9平均值0000标准差0000f10平均值1.0110158.8810168.8810168.881016标准差6.491016000 f1 f4f5 f10表 5 结果显示，对于函数，MIWOA 与MEWOA 可以在有限次迭代收敛到最优值，而OBCWOA 和 eWOA 相对收敛精度较低。对于函数，MIWOA 可以使用更少的迭代次数收敛到最优值，说明 MIWOA 比其他改进 WOA 寻优效果更好。平均绝对误差(mean absolute error,MAE)是评价算法有效可行的重要指标，计算公式为23EMAE=Nfi=1|mioi|Nf(20)mioiNff8式中：为算法求解结果平均值，为各测试函数理论值，为测试函数个数。表 6 为除理论值非零的 函数外，4 种算法的 MAE 排序，由计算结果可知，MIWOA 的 MAE 值最小，排名第 1，证明了本文改进策略的有效性。表 6 4 种改进 WOA 的 MAE 排名Table 6 MAE ranking of four improved WOAs 算法MAE排名MIWOA6.771011MEWOA9.471012eWOA1.091023OBCWOA5.821024 3.6 MIWOA 求解高维函数的实验分析N=30T=500 D=200、500、1 000由上述计算结果可知，对于低维测试函数，本文 MIWOA 寻优效果良好，但实际应用中高维大规模问题普遍存在，为了检验 MIWOA 求解高维问题的可行性，将其在 10 个基准函数，情况下，运行 30 次取平均值，根据文献 25 求解算法寻优成功率。绝对误差精度如表 1 所示，计算结果如表 7。表 7 高维测试函数优化对比Table 7 High dimensional test functions optimization comparison 维数函数WOAMIWOA平均值标准差成功率/%平均值标准差成功率/%200f16.20101041.221010310000100f26.9010611.05106010000100f3