附录四--坝体混凝土温度和温度应力计算.doc

(完整版)附录四 坝体混凝土温度和温度应力计算
附录四 坝体混凝土温度和温度应力计算

—、温度计算
1。坝体混凝土的初期温度计算(有内热源的温度场计算)
（1)计算目的：
坝体混凝土的初期温度计算目的,主要是确定基础块混凝土(或靠近老混凝土块的混凝土)中的最高温度T,以便控制基础温差，最高温度T可按下式计算:
（附79）
式中 Tj——混凝土的浇筑温度（℃，以下均同），或称入仓温度;
Tr——混凝土因水化热和其他原因产生的最高温升。
（2)混凝土的浇筑温度计算:
(附80)
式中 To——混凝土的拌和(即出机口）温度（忽略拌和中的热量损失或热量流入影响)；
Tq——混凝土浇筑时的平均气温;
——考虑混凝土在拌和、装卸、运输、转运和浇筑过程中热量损失或倒罐的系数。在一般的现场条件下，=0.2～0.3，当运距较长，转运手续较多以及采用人工方法浇筑时，h =0.4~0.5。混凝土的拌和温度按下述公式计算：
（附81）
式中 Wi—-每立米混凝土中各种原材料的重量,kg/m3；
Ci-—混凝土各种原材料的比热,kcal/(kg·℃）；
Ti——混凝土各种原材料的温度。
注：①在公式（附81)中未考虑骨料含水率的影响，当骨料含水率较大,不宜忽略时，应在公式中加以考虑。
②当在混凝土拌和中加入冰屑时，应考虑冰的潜热（80kcal/kg）和有效利用系数0.7～0.8。
③应考虑混凝土拌和时，拌和机发出的机械热,在没有实测资料情况下，可用350kcal。
④在缺乏具体资料时，各种原材料的比热C可按附表16采用。
附表16
材料
比热C
20℃
30℃
40℃
50℃
水
石英砂
普通水泥
1。0
0。166
0.108
1.0
0。176
0.123
1。0
0。186
0。148
1.0
0。200
0.180
粗
骨
料
玄武岩
白云岩
花岗岩
石灰岩
石英岩
粗面岩
0。183
0。192
0。172
0。178
0.164
0。183
0。183
0。195
0.172
0。181
0.172
0。185
0.185
0.200
0.173
0.185
0.179
0.189
0。194
0.208
0.180
0.192
0.186
0。196

(3)混凝土的温升计算：
混凝土入仓后的温升Tr，主要由水化热引起，此外混凝土入仓温度Tj和气温Tq的温差;浇筑块顶面(有时顶面加侧面）和冷却水管的散热以及基岩的吸热作用也对Tr有一定的影响.
对于重要的混凝土重力坝，较长的浇筑块以及在较复杂的施工条件下(预冷骨料,坝块并不均匀上升或在浇筑期中气温有较大变化者)，宜用差分法计算浇筑块的温度变化过程，直到求出浇筑块上的最高温度值，并将最高温度沿浇筑块高程画成曲线。
用差分法计算混凝土浇筑块内温度分布的基本公式为：
1)单向差分法：
(附82)
式中 —-计算点(点n)在第时段的温度（参见附图14)；
-—计算点在下一时段(相距）时的温度;
，——与计算点上下相邻的两点(点n-1，点n+1）在第时段的温度，这些点子与计算点相距各为；
a—-混凝土的导温系数，m2/d;
——计算中所取的时间分段，d；
——计算中所取的距离分段,m;
--在第时段(）中由于水化热所产生的温升.水泥的水化热过程可以用公式或表示时,可按下式计算：
(附83）
（附84)
以上式中
-—在龄期时的累积水化热，kcal/kg;
—-水泥最终发热量，kcal/kg；
m——水泥发热速率参数，d-1；
n-—和m性质类似的常数;
Th——水化热绝热温升(℃)；
W——每立米混凝土中的水泥用量，kg/m3；
Ch-—混凝土的比热,kcal/(kg·℃)。
2）双向差分法：
(附85)
式中 ——计算点在第时段的温度；
——计算点在下一时段(相隔）时的温度;
-—与计算点左右相邻两点(点m—1,点m+1）在第时段的温度，这些点子与计算点相距各为。
进行差分法计算时应注意以下各点：
①参变数。在单向差分法公式中要凑成1/2或1/4，在双向差分法公式中要凑成1/4或1/8，值须能将各浇筑块均匀分段。
②起始温度。浇筑在基岩上的第一层混凝土，其基岩内各点的起始温度可采用浇筑月份的原始地温，在浇筑块内可采用浇筑温度Tj.
③表面温度。初期由于有水泥水化热的影响，混凝土表常较气温为高，即

ΔT为混凝土表面温度高于气温的差值，其值可采用：顶面不盖草袋时，ΔT=3～5℃；顶面盖一层草袋时，ΔT≈10℃;顶面流水养护时，(气温+流水温度)。
④水化热绝热温升。混凝土水化热绝热温升,在混凝土内部各计算点按公式（附83）计算,在基岩内各计算点=0;在混凝土与基岩接触点取；在新老混凝土接触点取。
⑤初期水管冷却。混凝土重力坝坝内埋设蛇形冷却水管时，在浇筑收仓数小时开始通水进行初期冷却，以削减水泥水化热温升，这时计算中要考虑水管和浇筑块顶面同时散热,可用双向差分法公式进行计算.
在浇筑块中取一长条，其宽度和冷却水管的水平间距相同,在选择时应使水管正处在中间的计算点上，但冷却水管所在的那个计算点，通水过程中始终保持常温——通水水温，其值可取1/2(进口水温+出口水温)，而两侧的边界作对称处理见附图15.

附图15

附图16
3）简捷计算法：
热传导的微分方程和辅助条件均为线性的，可以用迭加的原理先把复杂的条件简化成各种不同单元,然后迭加而成(见附图16)。对于初期有顶面散热和内部通水冷却的浇筑块,在计算浇筑块的平均最高温度Tm值时，可采用以下公式计算。
无水管冷却
（附86）
有水管冷却
（附87）
式中 Tm——混凝土坝块平均最高温度；
Txi—-下层混凝土的温度;
Tb-—混凝土表面温度；
Ts—-冷却水管初期通水的水温;
X-—冷却水管散热残留比，，曲线见附图17;
E1--底部不绝缘，上层新混凝土接受下层混凝土传热并向顶面散热的残留比，，曲线见附图18；
E2-—底部不绝缘,上层新混凝土向下层混凝土及顶面散热的残留比，曲线见附图19；
Tr——通过顶面及冷却水管散热之后的水化热温升，其值可用时差法求得。
附图17中 ——混凝土的导热系数，kcal/(m·h·℃)；
D、R——冷却圆柱体的直径，m，半径,m;
r——冷却水管的半径，m；
Cs—-水的比热，kcal/（kg·℃）;
qs—-冷却水的流量，m3/h；
l—-每根连续的冷却水管的长度,m。

附图17 埋置水管冷却从始点到l长的全部圆柱体平均
温度计算图——不同值的
在短间歇均匀上升的情况下，为简化计算可令Txi=Tm则公式(附86）和(附87)可简化为：
无水管冷却
(附88）
有水管冷却
(附89）
在具体计算中往往只需求最高温度，不必求各天的平均温度,由于发生水化热最高温升的龄期即为混凝土发生最高温度的龄期，因此只需要把逐日发生的水化热温升列表算出，从中确定发生最高温升的龄期,根据这个龄期从附图17～附图19查得E1、E2、X值代入公式(附86)、(附87）或（附88）、（附89)即可一次求得坝块平均最高温度。举例说明如下：
某坝块浇筑层厚度3。0m，间歇期7天,华新矿渣大坝500＃水泥214kg/m3,浇筑温度22℃，浇筑后旬平均气温28℃,水管间距水平2。0m，垂直3。0m，初期回水水温20℃,=2。77kca1/（m·h·℃)，a=0。126m2/d，水管直径d=2。54cm，Cs=1。0kcal/（kg·℃），γ=1000kg/m3，qs=1。06m2/h，l=200m，求坝块平均最高温度.

附图18 新混凝土受老混凝土固定热源作用的残留比曲线

附图19 新混凝土固定热源向空气和老混凝土传热的残留比曲线
冷却圆柱体的直径按等周长计算见公式（附93）.

(为化引的混凝土的导温系数，m2/d)

查附图17得X见附表17.
附表17
（d)
0。5
1。5
2。5
3。5
4。5

X
0。0059

0。99
0.0177

0。97
0。0295

0。955
0。0413

0.935
0。0531

0。922

华新矿渣大坝500＃水泥的水化热试验值和混凝土的绝热温升（单位水泥用量214kg/m3）见附表18。
附表18
龄期(d）
1
2
3
4
5
6
7
水泥水化热试验值(cal/g)
混凝土绝热温升（℃)
29.87

12.10
38。43

15.56
44。42

17.98
48。20

19.52
51。29

20。78
53。23

21.55
54。47

22。05

查附图19得E2（见附表19)。
附表19
(d）
0。5
1.5
2。5
3。5
4.5
F0
E2
0。007
0.86
0。021
0。76
0.035
0.69
0.049
0。63
0.063
0.58

通过顶面和冷却水管同时散热后的水化热温升用附表20计算。
从附表20可见最高温升发生在第三天，其混凝土最高温度也同样发生在第三天。则=3天时残留比如下：
E1=0。115 E2=0。655 X=0。945
E1X=0.115×0。945=0。109
(1－E1X)=0。891
E2X=0。655×0.945=0。618
附表20

Tr

(E2）0。5
X0.5
(E2X）
0.5d
1d
2d
3d
4d
5d
6d
1
2
3
4
5
12.10
15。56
17。98
19。52
20。78
12.10
3.46
2.42
1。54
1.27
0。86
0。76
0.69
0。63
0。58
0。99
0.97
0。955
0.935
0.922
0.85
0。74
0。66
0.59
0。53
10。30
8。95
2.94
8。00
2。56
2.06
7.15
2.28
1。79
1。31
6.42
2。04
1。60
1.14
1.68

Tr Σ
10.30
11.89
12。62
12。53
12。28

注：附表20中(E2X）0.5d的说明：在用附表20计算水化热温升的残留比E2和X必须采用计算时段的中值,即第一个时段(以一天为一个时段）采用t=0。5d时的E2和X值，第二个时段采用t=1.5d时的E2和X值,余此类推.在E2和X的右下角注以0.5的注脚，即(E2)0。5、X0.5和(E2X）0.5d以示区别。
=0。055×0。655=0。036
=28+5=33℃
代入公式(附89)得：

2。坝体混凝土的后期温度计算（无热源的温度场计算)
(1)计算目的：
坝体混凝土的天然冷却计算目的，主要在确定坝体长期暴露部位的内外温差；长间歇继续上升时的上下层温差以及坝内埋设冷却水管确定接缝灌浆时间或在指定时间内下降至指定温度所需水管间距和流量。
（2）坝体混凝土的天然冷却计算：
设坝体具有初始的均匀初温T0，两侧暴露在稳定的气温Tq中,其平均温度的变化可以用下式计算：
（附90）
式中 E—-温度残留比，为参变数的函数(l为坝块宽度)E值可取自附图20。

附图20 平板厚度为l初温为均匀分布的平均温度计
算图——不同值的残留比E值
实际上坝体冷却时，边界气温Tq不是常数，也有变化，此时可按照数值法进行计算，即将整个冷却过程划分为若干时段，对于每一个时段,假定气温为常值,而应用上述公式（附90）计算，然后用迭加法求出最终成果。
用数值法计算时，可以采用附表21的形式进行计算。
当坝体具有两个散热面时（如宽缝重力坝），其计算原理和方法同上，只需以代替E即可，式中lx和ly为坝块两个方向的宽度。
上述浇筑块的中心温度Tc可以采用相同的步骤计算，只须把公式（附90)中的E值改为Ec值即可，Ec值可自附图21中查得。

附图21

求出坝块的平均温度Tm和中心温度Tc后,内外温差即为ΔT=Tc－T,T为边界温度，作为近似估计，可取T=Tq（气温)，其成果稍偏安全，如欲估计边界温度和气温的差别，可用下式估算。
内外温差=Tc－T=(Tc－Tq）
式中为折减系数，是参变数λ/β和温度奕化周期的函数，可取附表22，β为混凝土表面对空气的热交换系数。

附表21
时段
气温
(℃)
温差(℃）
时间
(d)

Ei
平 均 温 度 计 算
第1时段
第2时段
第3时段
第4时段
……
1
Tq1
T0—Tq1
Δτ

E1
E1（T0-Tq1）
E2（T0—Tq1)
E3(T0-Tq1)
E4（T0—Tq1)
……
2
Tq2
Tq1— Tq2
2Δτ

E2

E1(Tq1—Tq2)
E2（Tq1—Tq2）
E3(Tq1—Tq2)
……
3
Tq3
Tq2- Tq3
3Δτ

E3

E1（Tq2-Tq3)
E2（Tq2-Tq3)
……
4
Tq4
Tq3— Tq4
4Δτ

E4

E1（Tq3—Tq4）
……
M
M
M
M
M
M
M
M
M
M
M
M

……
合 计
E1(T0-Tq1)+Tq1

……

附表22
λ/β
温度变化
瞬时降温或日变化
长期气温变化
15(d）
1（a）
0。10(m)
0。20（m)
0.61
0.42
0。87
0.77
0。97
0.94

(3)后期水管冷却计算：
冷却水管间距一般为1。5m×1。5m～3。0m×3.0m,管径一般为2。54cm或1。9cm,通水流量为14～20L/min.冷却直径D的确定,当水管呈方形布置时：
(附91)
当呈长方形布置时：
(附92）
等周长换算公式为:
(附93）
当梅花形布置S1=1。1547S2时，按等面积换算公式为：
（附94)
式中 S1--水管水平间距；
S2——水管垂直间距。
已知开始通水冷却时混凝土初温为T0，蛇形水管进口水温为Ts,则通水冷却τ时的混凝土平均温度为：
（附95)
X曲线见附图17。
当水管冷却的同时有侧面自然散热时，可以采用时差法计算，具体计算方法和步骤举例说明如下：
某宽缝重力坝第Ⅱ坝块后期水管冷却，坝块宽l=16m，水管间距2.0m×2.0m，12月1日开始通水，混凝土初温24℃，通水水温4℃，坝块的稳定温度8℃，需通水冷却多少天始能进行接缝灌浆？
λ=2。77kcal/（m·h·℃)，a=0。126m2/d，水管直径d=2.54cm,Cs=1.0kcal/（kg·℃),γ=1000kg/m3，qs=1。08m3/h，水管长度l=200m.

从附图17查得水管散热残留比X填于附表23中的第11栏中。

从附图20中查得自然散热残留比E填于附表23中的第7栏中。
从附表23的计算结果可以看出要达到稳定温度8℃的通水时间为40天,即元月10日可以进行接缝灌浆。
附表23 初温T0=24℃
（1）

时段
(2)

月份
(3)平均气温（℃)
（4）
气温差(℃）
（5）
时间
（d)
（6）
当量时间
（7）
残留比
E
（8）

（9)平均温度计算
（10)
当量时间
(11)
残留比
X
（12)

1
2
3
4
5
1
12月上旬
6。2
17.8
10
0。00492
0.84
0。84
14。93→10。65
9.80→6。74
6.28→4。19
3。95→2.54
2.40
0.2016
0。75
0。75
2
中旬
4。7
1.5
20
0。00984
0。775
0。922

1.26
1.16
1。08
1.02
0.4032
0。56
0。74
3
下旬
4。0
0。7
30
0.01476
0。723
0.932

0。59
0.54
0。50
0。6048
0.415
0.74
4
1月上旬
3.1
0。9
40
0.01968
0。685
0.944

0.76
0。70
0。8064
0.308
0。74
5
中旬
3。1
0
50
0。02460
0。646
0。944

0
1。0080
0。23
0.74
6
下旬
3.2
-0。1
60
0.02952
0.610
0。944

1。2096
0。168
0。74
(a)旬平均气温
6.2
4.7
4。0
3。1
3.1

(b）不考虑水管冷却达到的温度
21。13
15.76
12。03
9。43
7。72
(c)水温
4.0
4。0
4。0
4.0
4.0
(d）与水温之差=（b)—(c)
17.13
11.76
8.03
5.43
3.72
（e）水管冷却之温度=（d）×（1—）
4。28
3.06
2.09
1。41
0.97
（f)最终平均温度(b）—(e）
16.85
12.70
9.94
8.02
6。75

附表23中的计算步骤和注意事项如下:
①表中第8栏、第12栏中的,为下一时段的残留比和本时段残留比之比，如。
②计算从第一时段开始，混凝土初温为24℃，12月上旬平均气温为6.2℃,相差17。8℃，此值乘以平均第一时段之残留比0.84，得14。93℃，故若不计水管影响，在第一时段末的平均温度为14。93℃+6.2℃=21.13℃,此值与水管水温4℃相差17。13℃，再根据水管散热的第一时段残留比0。75,可知道在第一时段中水管能散去温度为17。13（1-0.75）=4。28℃,故第一时段末之最后平均温度是21.13-4.28=16.85℃。这些计算都依次列在附表23下部（a)~(f)等六行中.
既然第一时段中从水管散去4。28℃，则原来不考虑水管影响而得出的14.93℃中应减去4.28℃，改正为10.65℃,这改正就记在表上,并以→表示.
③在第二时段,将上述10.65℃乘以平板第二时段残留比(注意需用第8栏值，不可用第7栏值,因为现在是从第一时段末的温度去计算第二时段温度）0.922得9。80℃,此外第一、二时段的气温差6。2—4。7=1。5℃乘以平板第一时段残留比0.84，得1。26℃，故不考虑水管影响的第二时段末之平均温度为9。80+1.26+4.7=15.76℃，比水管水温高11.76℃，利用水管散热第二时段的残留比0。74(注意需用第12栏而非第11栏），知第二时段中水管可散去温度11。76×（1-0.74）=3.06℃，因此第二时段最后平均温度为15。76—3。06=12.70℃，将水管散去的3.06℃全部放在9.80中改正,即9.80—3。06=6。74℃，并以→表示。
④第三时段计算时将6。74和1.26分别乘0.932和0.922得6.28℃和1.16℃，将气温差0.7乘以0。84得0.59℃，于是不计水管影响的平均温度为6。28+1。16+0.59+4。0=12.03℃,较水温高8.03℃，因而从水管散去8。03×（1—0.74)=2。09℃，则第三时段末的最终平均温度即为12。03—2。09=9.94℃。
再将水管散去之温度2。09℃放在6。28℃改正得4。19℃记在表中以→表示，以供第四时段计算用，以下时段的计算仿上述的步骤，不再详述。
二、温度应力计算
1.基础浇筑块温度应力计算
基础浇筑块的温度应力主要指基础温差Tj+Tr—Td所引起的浇筑块中央断面上的水平正应力，可按下式计算：
(附96)
式中 --由均布温差Tj—Td所产生的温度应力；
-—由非均布的水化热温升Tr所产生的温度应力；
Td——坝体稳定温度.
应力可按下式计算：
(附97）
式中 kp——由于混凝土徐变引起的应力松弛系数,当缺乏专门试验资料时，kp可取为0。50;
μ——混凝土的泊松比；
a——混凝土的线膨胀系数,1/℃；
R——基础约束系数,当混凝土的弹性模量Eh等于基岩的弹性模量E时，R可按附表24采用.
附表24
y/l
0
0.1
0。2
0。3
0.4
0.5
R
0.61
0.44
0。27
0。16
0.10
0

注：l——浇筑长度，m；
y--计算点离基础面高度.
当混凝土弹性模量Eh与基岩弹性模量E不等时，R值可按附表25所列数值增减。
附表25
Eh/E
0
0.5
1.0
1.5
2。0
3.0
4。0
R（y=0）
1。0
0。72
0。61
0.51
0.44
0.36
0.32

应力可按下式计算(参阅附图22):
(附98）
式中 T（y）—-应力计算点y处的温度值;
Δy——坐标y的增量；
l-—浇筑块的长度，m；
-—在y=处加一对单位荷载P=1对计算点y所产生的正应力影响系数,可由附图23及附图24查取；
T(）——在y=处的温度；
kq-—考虑早期升温阶段的压应力的折减系数，可采用0.75～0.85.

附图22 基础浇筑块

附图23 浇筑块温度应力影响线Eh=E

附图24 浇筑块温度应力影响线Eh=E/2
应力也可按下式估算：
（附99）
式中系数A可从附图25中查得。

附图25 水化温升应力系数A
2.上下层温差引起的温度应力计算：
首先，用差分法计算上下层中的温度分布，然后按下式计算任一点y处的温度应力（参阅附图26)：
(附100）
式中 -—在点处作用一对单位水平力对y点正应力的影响系数，可自附表26查得。

附图26 上下层温差引起的应力计算

附表26 上下层应力影响系数By(）

i
0
0.1
0。2
0.3
0。4
0。5
0。6
0.7
0.8
0.9
1.0
0
0。1
0。2
0.3
0.4
0.5
0。6
0.7
0.8
0。9
1.0
1。1
1.2
1.3
6.68
4.55
2.68
1。33
0。423
0
—0.394
-0。448
—0。421
-0。327
—0.232
4。54
3。56
2。50
1.57
0。826
0。340
0
-0。20
-0。25
—0.20
-0。12
2.68
2.49
2.23
1.77
1。26
0.780
0.428
0。19
0.10
0
-0。10
1。33
1。55
1.76
1.78
1.61
1.23
0.857
0。541
0。261
0。10
0
0.428
0。80
1。10
1。42
1。48
1.58
1。24
0.91
0.431
0.220
0。10
0
0。322
0。795
1.24
1。50
1.68
1。59
1.29
0.874
0。555
0。290
-0。374
0
0.431
0。876
1。30
1.59
1。78
1。60
1.23
0.874
0.539
—0.44
-0.20
0.19
0.54
0.91
1.29
1。60
1。70
1.60
1。20
0。85
0。44
-0.414
—0。25
0。10
0。247
0。531
0.875
1.23
1。56
1。74
1。53
1。22
0.85
0.44
—0。33
—0.20
0
0。10
0.22
0。56
0。81
1.20
1。60
1.68
1.59
1.20
0.85
—0。234
-0。122
-0。10
0
0.11
0.296
0.538
0。854
1。20
1.59
1.68
1。65
1。22
0。85

如果温差系由水化热引起，所得应力须再乘以折减系数kq，以考虑早期升温阶段压应力的影响，kq可取0.75～0。85.
计算时将浇筑块沿高度分为若干层，每层高度为Δy,一般各层取为等高，公式中的∑符号表示各层的总和。
3。外界温度年变化引起的应力：
外界温度(水温、气温）的年变化可用正弦函数表示如下：
(附101）
式中 T0——外界温度变幅，℃;
（θ为温度变化周期，θ=365d）。
在深度为y处的温度为：
(附102)
式中 (附103)
由（附102）式算出温度后,再由上下层温度应力计算公式(附100）可计算任一点在任意时间的应力，对于年变化温度应力，可取应力松弛系数kp=0.65。
最大应力一般出现在坝块表面（y=0），参阅附图27其值可按下式估算：
(附104)
式中系数C可自附图27查得,应力松弛系数kp可采用0。65,附图27是按照导温系数a=0。10m2/d计算的，如果导温系数a相差较远，可按下式计算等效坝块长度:

附图27 年变化温度应力系数C
4.气温骤降引起的混凝土表面应力:
如附图28所示，设日平均气温在期间急剧降低T0度，然后回升，气温骤降在混凝土表面产生的最大温度徐变应力可按下式估算:
（附105)
式中T0为气温降低幅度，D为系数可自附图28查得.图中为降温历时（天数），λ为混凝土导热系数,一般可取λ=2.4kcal/（m2·h·℃），β为表面放热系数，对于裸露表面,β=10～20kcal/(m2·h·℃).

附图28 气温骤降产生的表面应力系数D
当混凝土表面覆盖了保温材料时，应采用等效放热系数以代替β，等效放热系数可按下式计算：
（附106)
式中 h1-—保温材料厚度,m；
λ1-—保温材料导热系数，kcal/(m·h·℃）。
例如，表面有2.5cm厚木板时≈3。7，表面覆盖5cm厚度草袋时，≈2。5，表面覆盖1cm厚度泡沫塑料时，β≈2～2。3，单位均为kcal/（m2·h·℃）。
5。弹性基础梁温度应力:
浇筑块早期温度应力可按弹性基础梁计算.如附图29所示，设梁的长度为2l，高度为2h，宽度为1，混凝土弹性模量为Eh，梁内温度为T(y），基础弹性模量为E，混凝土和基础的泊松比假定均等于1/6。

附图29 弹性基础梁
首先沿梁和基础的接触面切开，使梁脱离基础约束，按照平面应变和平截面假设，可得梁内部互相制约产生的自生应力如下：
（附107)
(附108）
(附109）
式中Tm为梁的平均温度，Ψ为平均温度梯度，它们可用数值积分公式(如梯形公式或辛浦生公式）由公式（附108）和(附109）求出。
基础约束作用在梁内x断面上产生的弯矩M(x)和轴向力P(x)分别如下:
（附110）
（附111)
梁中央断面上的弯矩M0和轴向力P0为
（附112)
求出弯矩M和轴向力P后,由下式可求出由于基础约束作用在梁内产生的温度应力如下：
（附113)
约束应力在上缘和下缘之间呈线性变化，自生应力一般说来是非线性变化的。约束应力和自生应力迭加后就可得到梁内温度应力.以上计算中未考虑混凝土徐变，因此按以上各式计算温度应力后还应再乘以松弛系数kp。
公式（附110)和(附111)中的系数B1和A2可由下列二式计算：
（附114)
(附115)
（附116)
式中 r=h/l；η=Eh/E。
在计算早期温度应力时，为了考虑混凝土弹性模量随着龄期而变化，如附图30所示,将时间划分为许多时段，在每一时段内取一平均弹性模量.
(附117）
在每一时段内的温度增量为该时段首末各点的温度差，即
（附118）
根据平均弹性模量Ehi和温度增量ΔTi(y),用以上各式计算第i时段内产生的应力增量，将各时段的应力增量累积起来,即得到梁内温度应力。
(附119）
6.温度应力控制:
为了防止裂缝，坝体温度应力必须满足下列条件：
（附120)
式中 ——由于各种温差所产生的温度应力，kg/cm2;
——混凝土的极限拉伸值，对于重要的工程应通过试验测定,无试验数据时可参考本规范第七章；
Kf-—安全系数，一般采用1.3～1.8。

基本符号
荷载
∑W-—计算截面上全部法向荷载的总和；
∑P——计算截面上全部切向荷载的总和；
∑M——计算截面上全部荷载(包括法向和切向方向)对于计算截面形心轴的力矩的总和；
p——静水压力；
——扬压力；
pn—-水平泥沙压力；
P1—-浪压力；
Pbd——动冰压力；
pm—-脉动压力；
Pd——消力墩的冲击力。
几何特征
A——坝体计算水平截面的面积；
J—-坝体计算水平截面对于其形心轴的惯性矩；
n—