人教版九年级上册数学圆中的最值问题.doc

拔高专题 圆中的最值问题 一、基本模型构建常见模型 图(1) 图（2）思考图（1）两点之间线段 最短 ；图（2）垂线段 最短 。.在直线L上的同侧有两个点A、B，在直线L上有到A、B的距离之和最短的点存在，可以通过轴对称来确定，即作出其中一点关于直线L的 对称 点，对称点与另一点的连线与直线L的交点就是所要找的点二、拔高精讲精练探究点一：点与圆上的点的距离的最值问题例1：如图，A点是O上直径MN所分的半圆的一个三等分点，B点是弧AN的中点，P点是MN上一动点，O的半径为3，求AP+BP的最小值。解：作点A关于MN的对称点A，连接AB，交MN于点P，连接OA，AA点A与A关于MN对称，点A是半圆上的一个三等分点，AON=AON=60，PA=PA，点B是弧AN的中点，BON=30，AOB=AON+BON=90，又OA=OA=3，AB=3两点之间线段最短，PA+PB=PA+PB=AB=3【教师总结】解决此题的关键是确定点P的位置根据轴对称和两点之间线段最短的知识，把两条线段的和转化为一条线段，即可计算。探究点二：直线与圆上点的距离的最值问题例2：如图，在RtAOB中，OA=OB=3，O的半径为1，点P是AB边上的动点，过点P作O的一条切线PQ（点Q为切点），求切线PQ的最小值解：连接OP、OQPQ是O的切线，OQPQ；根据勾股定理知PQ2=OP2-OQ2，当POAB时，线段PQ最短，在RtAOB中，OA=OB=3 ，AB=OA=6，OP=3，PQ=2【变式训练】如图，在平面直角坐标系中，以坐标原点O为圆心，2为半径画O，P是O是一动点且P在第一象限内，过P作O切线与x轴相交于点A，与y轴相交于点B求线段AB的最小值解：（1）线段AB长度的最小值为4，理由如下：连接OP，AB切O于P，OPAB，取AB的中点C，AB=2OC；当OC=OP时，OC最短，即AB最短，此时AB=4【教师总结】结合切线的性质以及辅助线的作法，利用“垂线段最短”是解决此类问题的关键。