一维抛物方程的两层网格算法优越性研究_李小珍.pdf

第 38 卷哈尔滨师范大学自然科学学报Vol 38，No 6 2022第 6 期NATUAL SCIENCE JOUNAL OF HABIN NOMAL UNIVESITY一维抛物方程的两层网格算法优越性研究*李小珍(安徽国防科技职业学院)【摘要】为深入研究一维抛物方程的求解问题，利用 Matlab 软件使用 Jacobi迭代法、Gauss Seidel 迭代法和两层网格算法对一维热传导抛物方程进行求解，分析不同算法的数值解与精确解 研究发现，在取得相同迭代误差的条件下，两层网格算法所需的迭代次数最少，且大大节省了运算时间，提高了运算的效率【关键词】抛物方程;网格算法;优越性;效率【中图分类号】O241【文献标识码】A【文章编号】1000 5617(2022)06 0018 04收稿日期:2022 05 22*基金项目:安徽省教学研究项目“课程思政视域下 高等数学 教学探索与实践”(2021jyxm0232)0引言抛物型方程属于一种偏微分方程，这一类方程往往与人类的生产生活密切相关，可以通过求解偏微分方程来解释一些自然现象和物理意义求解偏微分方程的数值解，目前来说，主要归结为直接法和迭代法这两种常见的方法1 其中，直接法是通过有限差分方式把微分方程中的微分形式用差商来代替，以此将一个抛物型偏微分方程转化为便于研究的代数方程或方程组 但这种方法也有着诸多不便 相较于迭代法来说，它占用内存大，运算速度慢2 通过讨论两种较常见的迭代法，即雅可比迭代法、高斯 赛德尔迭代法剖析网格算法的优势 这两种迭代法均可收敛，但通过计算比较得出，在相同精度下，高斯 赛德尔迭代法所需迭代的次数更少，可节省更多时间34 然而，高斯 赛德尔迭代法的计算量依然存在计算量较大和收敛速度慢的问题5 因此，利用两重网格算法进行抛物方程迭代求解6 两层网格方法的主要思想就是在细网格上迭代，再在粗网格上校正，如果没有达到所需误差精度便一直重复上述两步骤 这种方法运算速度快，占用内存少，一般来说，仅需很少的迭代次数便可达到所需的精度1抛物方程及算法概述1 1抛物型偏微分方程抛物型偏微分方程是偏微分方程的一种 通过判别式的符号来对偏微分方程进行分类，在微分方程1 ut K2ux2=f(x，t)(1)在公式(1)中，x 表示在一维平面中的位置，t 表示时间 当 f(x，t)=0 的情况，即抛物型偏微分方程 一维抛物型微分方程中的典型例子是一维的热传导方程(在此处与扩散方程表达式相同，因为热扩散的方式是一样的)基本形式可表示为5:ut K2ux2=0，0 x 1(2)有边值条件为u(0，t)=u(1，t)=0，并有初值条件u(x，0)=u0(x)一维的热传导方程可模拟杆第 6 期一维抛物方程的两层网格算法优越性研究中的热传导，在这种情况时，u(x，t)表示热流的密度，它与温度成正比;K 表示热传导系数，它取决于材料和它自身导热的程度 为了后文研究和计算方便，(2)式中取热传导系数 K=1，即化为ut2ux2=0，0 x 1(3)1 2迭代法的基本概念(1)迭代法的基本概念对于任意一个给定的线性方程组 Ax=b，其中矩阵 A=(aij)nn，b=(b1，bn)T 假设它有唯一解，可以通过迭代产生序列，并构造以下的向量序列x(k+1)=Mx(k)+g(4)其中，k 表示迭代次数(k=0，1，2，n)，M 为n 阶 矩阵，对于给定的线性方程组，用公式(4)逐步代入求近似解的方法称为迭代法5(2)雅可比迭代法3 雅可比迭代法是以普鲁士的著名数学家雅可比(Carl Gustav Jacobi)来命名的 假设一个线性方程组为Ax=b，采用Jacobi的方法，则要将A分解为三部分，分别为下三角矩阵 L，对角阵 D，上三角矩阵 U，A=L+U+D，如式(5)所示:也就是说，b=(L+D+U)x，移项得:Dx=(L+U)x+b，解得:x=(D)1(L+U)+(D)1b 对于公式(4)，经过如下一系列迭代:(6)得到迭代公式:x(k+1)i=1aij(binj=1aijxkj)，i=1，2，n(3)高斯 赛德尔迭代法高斯 赛德尔迭代法是以德国数学家卡尔弗里德里希高斯和路德维希赛德尔来命名的，也称为李伯曼方法或连续位移方法4 先假设一个线性方程组为 Ax=b，同样将系数矩阵 A分解为三部分，对角阵 D，下三角矩阵 L，上三角矩阵 U 不同的是，A=D L U，故高斯 赛德尔迭代法的迭代公式为x(k+1)i=(bii1j=1aijx(k+1)jnj=i+1aijxkj)/aii，(i=1，2，n;k=0，1，2，n)(7)(4)两层网格算法两层网格方法主要思想是通过细网格迭代来减少误差中的高频部分，粗网格校正来减少误差的低频部分6 通过这种方法，可以满足“收敛速度与网格步长 h 无关”这种要求抛物方程用有限差分法将其化作如下的矩阵形式:Au=f，然后用两层网格的方法进一步求解:第一步:使用 Jacobi 迭代(也可用其他迭代如 Gauss Seidel 迭代)迭代 V1次(V1可以自由选取合适值，此处 V1选取 3)，记得结果为 un第二步:计算余量 rh，通过等式 rh=fnAn un 并做余量限制 r2h=h*rh第三步:解粗网格方程:A2hE2h=r2h 得到 E2h，其中 A2h 可由之前定义的差值矩阵和约束矩阵得到，为:A2h=hAhIh;第四步:做粗网格校正，并将校正量加到 uh上，即此时的近似解u=uh+Eh 校正量Eh可通过粗网格计算 Eh=IhE2h 得到;第五步:计算此时的误差精度是否达到要求，如达到，则已完成所有步骤，上一步骤中的 u即为所需要的解;如没有达到，则返回第一步中的细网格迭代，迭代方程中的 un用最新得到的 u来代替 如此循环几次，直到达到接近真实值为止91哈尔滨师范大学自然科学学报2022 年 第 38 卷2结果与讨论2 1不同算法的数值解和精确解比较利 用 Matlab 软 件 使 用 Jacobi 迭 代 法、Gauss Seidel迭代法和两层网格算法对一维热传导抛物方程进行求解 当 n=10，k=1 时的数值解和精确解结果如图 1 所示图 1一维热传导抛物方程不同算法的数值解与精确解由图 1 可知，Jacobi 迭代法、Gauss Seidel迭代法和两层网格法的数值解与精确解走势图变化趋势非常接近，未出现多峰等现象，说明三者计算结果的准确度相差不大2 2Jacobi 和 Gauss Seidel 迭代法中 n 与 k 的关系(1)当 k=1 时的迭代次数为剖析Jacobi迭代法和GaussSeidel迭代法中 n 值和 k 值对迭代次数的影响 先固定 k=1，取不同的 n 值，如 10，20，40，80，160，320，取误差值精度为 0 01，比较此时 Jacobi 迭代的次数由 Matlab 软件计算，结果见表 1表 1k=1 时不同算法的迭代次数结果算法n 值10204080160320Jacobi 迭代法6042316898335232139372554206Gauss Seidel 迭代法308116544981762369692277110(2)当 n=160 时的迭代次数然后固定 n=160，取不同的 k 值 1，2，3，4，5，6，取误差值为0 01，比较此时 Jacobi 迭代的次数，结果见表 202第 6 期一维抛物方程的两层网格算法优越性研究表 2n=160 时不同算法的迭代次数结果算法k 值123456Jacobi 迭代法139372538392662015538100857029Gauss Seidel 迭代法696922783113801832955213953由表1 和表2 可以看出，当 k 值固定时，n 值越大，则达到误差精度所需迭代的次数越多;当n 值固定，k 值越大，达到误差精度所需迭代的次数反而越少 但通过比较两种迭代法所需迭代次数发现，Gauss Seidel 迭代所需次数远远少于Jacobi 迭代的次数2 3两层网格算法运算结果两层网格方法与 Jacobi 迭代及 Gauss Seidel 的迭代方法不同，它的收敛速度不会随着h 的减小而变慢，也就是说，它的迭代次数与 h 的取值无关 为验证这一点，对 h 分别取值 10，20，40，80，160，320，再计算其迭代次数，结果见表 3表 3两层网格算法迭代次数运算结果类别n 值10204080160320迭代次数311111从表3 可以看出，两层网格方法所需的迭代次数的确与 n 值无关，这就证明了它的收敛速度不会随着 h 的减小而变慢 同时，这种方法所需的迭代次数很少，当n值达到20 后只需要迭代一次，由此可看出两层网格方法在运算速度和占用运行空间方面的优越性和高效性远远高于经典的迭代方法3结论偏微分方程及抛物型的偏微分方程的研究，对物理科学和其他自然科学具有重要意义 通过比较三种迭代法(Gauss Seidel 迭代法、Jacobi迭代法和两层网格法)求解一维抛物方程的精度与影响因素，得到以下结论:(1)在相同误差精度条件下，Gauss Seidel迭代法比 Jacobi 迭代法的迭代次数少，收敛速度更快(2)取不同的 n 值和 k 值时所造成的对迭代次数的影响 发现了 n 值越大，即 h 越小时，迭代次数越多;k 值越大，所需的迭代次数反而越少(3)两层网格算法可以解决h对方程收敛速度的影响问题，通过细网格上迭代，再在粗网格上校正，仅需很少的迭代次数便可达到所需的精度参考文献 1郭东亮 抛物型偏微分方程最优离散化步长研究J 吉林师范大学学报:自然科学版，2021，42(03):47 51 2袁光伟，岳晶岩，盛志强，等 非线性抛物型方程计算方法J 中国科学:数学，2013，43(03):235 248 3卢一荻 迭代法求解常见方程及其在计算机中的实现J 电子世界，2018(19):24 25+28 4郝艳花 Jacobi 迭代法与 Gauss Seidel 迭代法 J 山西大同大学学报:自然科学版，2017，33(05):3 5 5李庆阳，王能超，易大义 数值分析:第五版M 北京:清华大学出版社，2008 6张运章，侯延仁，魏红波 自然对流问题两重网格算法的残量型后验误差估计(英文)J 工程数学学报，2015，32(01):116 130(下转第 46 页)12哈尔滨师范大学自然科学学报2022 年 第 38 卷应在每一种物质浓度下做更多实验，并获取尽可能多维度的颜色读数参考文献 1王文莉，刘兮 基于因子分析的物质浓度与颜色读数关系的探究 J 佳木斯大学学报，2018，36(5):808 810 2王文莉，刘兮 物质浓度与颜色读数关系类型的回归分析 J 佳木斯大学学报，2019，37(3):506 508 3王慧文，孟洁 多元线性回归的预测建模方法J 北京航空航天大学学报，2007，33(4):500 504 4贾俊平 统计学M 北京:中国人民大学出版社，2016 5张文彤 SPSS 统计分析高级教程 M 北京:高等教育出版社，2004egression Analysis Model of Data Volume andColor Dimension Change and its InfluenceWang Wenli1，Liu Xi2(Anhui Vocational College of City Management;2 Hefei Normal College)Abstract:In this paper，based on regression analysis and factor analysis，pure quadratic regressionmodel and complete quadratic polynomial model are established in two cases The influence of the change ofdata volume and color dimension on the model is studied Used software，the effectiveness of the model isanalyzed In particular，the model results in various cases of color dimension change are consideredFinally，different models of the relationship between substance concentration and the number of colorreadings and their effects are obtainedKeywords:Color dimension;egression model;Complete quadratic model;SPSS software(责任编辑:李家云)(上接第 21 页)esearch on the Superiority of Two layer Grid Algorithmfor One dimensional Parabolic EquationLi Xiaozhen(Anhui Vocational College of Defense Science and Technology)Abstract:In order to deeply study the solution of one dimensional parabolic equation，Jacobi iterativemethod，Gauss Seidel iterative method and two layer grid algorithm were used to solve one dimensionalheat conduction parabolic equation by Matlab softwareThe numerical and exact solutions of differentalgorithms were analyzed It was found that under the condition of obtaining the same iteration error，thetwo layer grid algorithm needs the least number of iterations The operation time is greatly saved and theefficiency of operation is improvedKeywords:Parabolic equation;Grid algorithm;Advantage;Efficiency(责任编辑:于达)64