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题目 复合材料结构的概率损伤容限设计方法研究

复合材料结构的概率损伤容限设计方法研究
摘要
随着先进复合材料在飞机上的广泛应用，由于变量的随机性和安全系数的保守性，确定性方法已经无法满足设计要求，从而我们采用概率设计的方法，将结构安全程度定量化。
本文是建立在国内外的参考文献的数据基础之上，对四大概率设计方法之一的概率损伤容限设计方法（TsAGI方法）进行研究。使用MATLAB语言编程模拟概率损伤容限设计，通过蒙特卡罗方法计算复合材料飞机结构的失效概率。以Mig-29垂直尾翼为例进行详细的分析和编程计算。接着在通过使用商业有限元软件ANSYS，对一个带孔的复合材料层合板，使用参数化设计语言（APDL）和概率设计模块（PDS），在随机输入变量的情况下，计算此板的失效概率。其目的是为了说明用ANSYS有限元软件分析结构的可靠性是可行的。最后还阐述了此方法的优缺点和以后的研究工作内容和方向。

关键词：概率损伤容限设计，PDS，TsAGI方法，蒙特卡罗

Abstract
As advanced composite materials are widely used in the aerospace structures, because of the random of variables and the conservative of safe factor, the deterministic design analysis cannot meet the design requirements. We adopt the method of probability design, which quantifies structural safety degree.
This article is on the base of the domestic and foreign related data, one of four probability methods is Probabilistic Design of Damage Tolerant method, that is the method of TsAGI. Firstly, using MATLAB simulates probabilistic design of damage tolerant, and the failure probability of the composites of aircraft structure is calculated with the Monte Carlo method, for example Mig-29 fin. Secondly, through the use of commercial finite element software ANSYS, in composite skin with hole, the use of parametric design language (APDL) and probabilistic design module (PDS) with random input variables, the failure probability is calculated. Its purpose is that it is feasible using ANSYS finite element analysis software to analyze reliability of structure. Finally, the advantages and disadvantages of the method are expounded and the content and the direction of research in future are given.

Key words: Probabilistic Design of Damage Tolerant, PDS, the method of TsAGI, MENTE CARLO

目录
摘要 i
Abstract ii
1.1 研究背景 - 1 -
1.2 国内外研究现状 - 1 -
1.3 本文的研究工作 - 2 -
第二章 复合材料结构概率损伤容限设计方法（TsAGI方法） - 3 -
2.1 引言 - 3 -
2.2 主要的变量 - 3 -
2.3 计算方法 - 4 -
2.4 模拟过程 - 5 -
第三章 数据处理 - 7 -
3.1 引言 - 7 -
3.2 概率分布拟合 - 7 -
3.2.1 载荷应力超越数以及分析拟合 - 7 -
3.2.2 温度超越数以及分析拟合 - 9 -
3.2.3 损伤超越数以及分析拟合 - 10 -
3.3 样条曲线拟合 - 14 -
3.3.1 损伤表面的强度退化函数 - 14 -
3.3.2 损伤检测的概率 - 16 -
3.3.3 修复 - 18 -
3.3.4 强度修正系数与温度 - 18 -
第四章 用MATLAB编程实现计算失效概率 - 19 -
4.1 引言 - 19 -
4.2 模拟随时间变化的整个失效过程 - 20 -
4.2.1 随机数的产生 - 20 -
4.2.2 编程求解 - 20 -
第五章 简单介绍用ANSYS有限元软件实现计算失效概率 - 23 -
5.1 引言 - 23 -
5.2 概率设计分析模块PDS简介 - 23 -
5.3 计算失效概率的整个过程和结果分析（可靠性分析） - 24 -
5.3.1 问题提出和假设 - 24 -
5.3.2 计算模型、网格划分、载荷和边界条件 - 25 -
5.3.3 概率模型信息 - 25 -
5.3.4 计算结果和分析 - 26 -
第六章 总结和展望 - 29 -
6.1 全文总结 - 29 -
6.2 工作展望 - 29 -
参考文献 - 30 -
致 谢 - 31 -
附录A—MATLAB源程序 - 32 -
附录B—ANSYS有限元软件命令流分析文件 - 39 -

v

第一章 绪论
1.1 研究背景
现代飞机由于其结构的复杂性以及飞行环境和载荷的随机性，出于安全和经济性的考虑，飞机结构需要具有耐久性、高可靠性、重量轻和低成本。复合材料就符合了这些要求，从而被广泛地应用于现代飞机结构设计中。但是，复合材料在制造过程中的特点引起复合材料结构的性能分布在一定范围内，从而导致了飞机结构设计内部变量的不确定性。内部设计变量就包括了在制造过程中纤维和基体材料的性能、纤维的含量、铺层方向以及铺层的厚度。设计变量还包括了结构尺寸、飞行的载荷情况以及飞行的环境。如果仅由传统的安全系数来考虑结构设计是很危险的，安全系数可能太大，或某些情况下却太小，无法确定结构的可靠性，最严重极端的情况就是整个方法可能导致混合及低效的设计。这样就需要概率设计方法来分析复合材料结构的可靠性，使安全程度定量化。
1.2 国内外研究现状
由于复合材料在飞机结构上的使用和它的特殊性能，概率分析的方法在飞机结构的认证和设计中的优点很明显。随着长期的发展，概率设计的方法已经逐渐成熟，并且开始运用于工程实践。最近的几十年里，国外很多研究中心都致力于对概率分析方法的研究，还有一些公司将研究成果应用到了实际的飞机设计分析中，使得概率分析的方法在实践中有进一步的发展。在国内从事概率设计的研究还是很少的，特别是有关复合材料的概率设计。国外有关复合材料结构主要有四种概率设计方法，这四种方法分别是NASA刘易斯中心的IPACS方法，安全水平的方法，TsAGI的方法和NGCAD的方法。各种方法有各自的优缺点。我们要合理将它们应用在工程上。
本文主要研究的TsAGI方法，主要关于复合材料概率损伤容限方法。这种方法是由俄罗斯航空联邦局下的航空流体力学研究中心，简称TsAGI，提出。这是一种计算复合材料飞机结构可靠性的方法，复合材料飞机结构的损伤容限概率设计方法。为设计者、工程师和分析人员提供了一个自动进行复合材料飞机结构的损伤容限可靠性分析的方法。由于复合材料具有高的强度和刚度，对于在服役期间的循环载荷下裂纹的产生和扩展具有高的阻止能力。经验表明在复合材料飞机结构产生灾难性破坏的最大的原因是在制造过程和服役期间的力学冲击损伤中产生的缺陷，这些缺陷目视不易发现。因此就需要应用使用中的损伤容限准则预测复合材料结构在损伤发生后的情况。
1.3 本文的研究工作
本文是建立在国内外的参考文献的数据基础之上，对四大概率设计方法的之一的概率损伤容限设计方法（TsAGI方法）进行研究。使用MATLAB语言编程模拟概率损伤容限设计，通过蒙特卡罗方法计算复合材料飞机结构的失效概率。接着在通过使用商业软件ANSYS，使用参数化设计语言（APDL）和概率设计模块（PDS），对一个带孔的复合材料层合板，考虑各个随机变量情况下，计算此板的失效概率。最后还阐述了以后的研究工作内容和方向。
本文的主要内容如下：
第一章主要介绍了本文的研究背景，国内外关于复合材料概率设计的方法的研究现状，以及本文的研究工作内容。
第二章主要介绍了本文研究的概率方法TsAGI方法考虑主要随机变量，计算方法，还有损伤容限设计的整个模拟过程。
第三章主要对Mig-29飞机的主要随机变量的数据统计和处理。得到各个变量的概率分布图和其他变量的样条曲线图。
第四章主要用MATLAB语言对整个损伤过程进行蒙特卡洛模拟。绘制流程图并编写程序计算分析可靠度。
第五章主要介绍用有限元软件ANSYS中参数化设计语言APDL和概率设计模块PDS对带孔复合材料层合板进行可靠性分析。
第六章主要总结本文方法的优缺点和阐述了以后的研究方向。

第二章 复合材料结构概率损伤容限设计方法（TsAGI方法）
2.1 引言
俄罗斯航空联邦局下的航空流体力学研究中性，简称TsAGI，提出了一种计算复合材料飞机结构的可靠性的方法，复合材料飞机结构的损伤容限的概率设计方法。为设计者、工程师和分析人员提供了一个自动进行复合材料飞机结构的损伤容限可靠性分析的方法。
由于复合材料具有高的强度和刚度，对于在服役期间的循环载荷下裂纹的产生和扩展具有高的阻止能力。经验表明在复合材料飞机结构产生灾难性破坏的最大的原因是在制造过程和服役期间的力学冲击损伤中产生的缺陷，这些缺陷目视不易发现。因此就需要应用使用中的损伤容限准则预测复合材料结构在损伤发生后的情况。
2.2 主要的变量
这个问题的解决需要考虑到很多复合材料的损伤容限影响因素，包括一系列的工艺和服役因素、使用载荷、环境条件和材料的力学性质，这些都是随机变量。这就需要在大量的数据下进行多参数的分析。如图2-1所示，这些数据包括了：
（1）复合材料的力学性质；
（2）制造过程的类型和复合材料结构的设计；
（3）制造、测试和服役过程中非破坏性的检测结果；
（4）样本、组分和整体结构的经验数据。
要使损伤容限的设计有效，需要在整个过程中建立分析模型，分析模型中包括统计模型的结果和下面的参数：
（1）制造缺陷的类型和尺寸的统计分布；
（2）服役期间损伤的类型和尺寸的统计分布；
（3）典型的力学冲击下的损伤特点；
（4）估计制造缺陷和损伤对剩余强度和耐久性的影响；
（5）参数对剩余强度和耐久性的统计分布函数；
（6）设计条件、使用载荷、环境因子和它们的统计特性；
（7）检测和修复时间；
（8）估计失效概率的方法。
这些是结构安全性和可靠性预测的基础。

图2-1 复合材料飞机结构概率损伤容限设计的主要输入变量
2.3 计算方法
复合材料飞机结构概率损伤容限设计分析的方法利用了蒙特卡洛模拟，对应力和材料强度的分布考虑了材料在使用寿命内的性质、制造特性、操作结构损伤（包括修复引起的损伤）和操作环境（温度、吸湿、紫外线暴露）。失效概率通过确定应力大于强度的概率计算出来。
在每一个时间间隔，将应力和强度相比较，这种模拟依赖于初始强度状态和操作过程中的随机变量。结构载荷应用概率的方法模拟，确定在操作期间内的最大的载荷值。应力和强度的比较确定局部结构的失效。如果在N次载荷过程中，剩余强度的模拟发生了M次失效，失效概率就定义为：
（2-1）
根据现在的主要结构强度的实际情况，需要在以一系列的外在环境下进行强度的分析，就称为设计载荷情况。有很多设计载荷情况，但是对于特定的结构就只考虑一些关键性的载荷情况。则在时间t内结构的失效概率即为：
（2-2）
其中，表示单块结构在载荷情况下的失效概率。选择的时间一般是服役期间，因此给出的是在飞机寿命期内的元件的失效概率。可以从中得到一次飞行的失效概率。损伤和未损伤结构的失效概率的计算方法不同。因为，如果在所模拟的飞机寿命期内没有损伤产生，元件的强度没有退化，失效概率的公式即为：
（2-3）
是在结构位置在载荷情况下，载荷承受能力的累积分布函数。表示在时间t的最大载荷情况下的概率密度函数。如果与时间t无关，则和相独立。在服役期间的缺陷的数量用泊松分布来模拟。如果损伤的数量超越了一个，就应用蒙特卡洛模拟来确定这个位置上的失效概率。如果没有损伤，应用近似的复合材料方法来分析。
2.4 模拟过程
整个程序的模拟过程如图2-2所示：

图2-2 模拟过程
a) 对于每种设计载荷情况，每次迭代都开始于初始的强度值（）。结构的强度由很多设计变量确定，最后的强度值是一个概率统计的变量。这些载荷情况一般是高斯分布或Weibull分布；
b) 在相同的时间下，产生了各种类型的缺陷，这些缺陷的数量和尺寸不同。所有的设计载荷情况下的剩余强度可以计算出来。制造缺陷看成是在时产生的损伤，每次的迭代开始时要随机选取一个初始的结构强度值；
c) 产生的各种类型的操作损伤的数量；
d) 如果在寿命期内没有制造缺陷和操作损伤，就产生了各种载荷情况下的最大的载荷。在最大载荷出现的时候，结构的随机温度也产生。剩余强度值依赖于温度和载荷。如果载荷大于强度，结构失效就记录为M=M+1；
e) 操作损伤的分布在结构寿命期内是相同的；
f) 分析损伤尺寸的值所对应的合适的超越数曲线；
g) 由于损伤的产生，使得结构的强度减弱，要计算强度减弱后的失效情况就需要计算在时间的剩余强度。每次的损伤，检测和修复的时间都是随机产生的，这里假设检测和修复的时间是相同的。事实上，不同类型的损伤的检测间隔都是根据结构的构型，查找统一的检测间隔时间表得到的。结构的检测时间是不同检测类型的检测时间中的最短的时间。利用这一点可以确定时间常数；
h) 估算在时间间隔，，所有载荷情况下的最大载荷。在最大载荷产生的时候，结构的随机温度产生。剩余强度值依赖于温度和载荷。如果载荷超过强度，结构失效就记录为M=M+1；
i) 在时间，由于结构的检测和修复，结构的强度值恢复到一定的水平，强度值的计算方法和步骤7相同。重复上面的过程就可以计算出一次模拟过程中，结构在寿命期内的失效概率；
j) 重复上面的迭代过程，就可以计算出多次模拟的结构的失效概率。对于每个时间段内的失效概率的计算，都是通过计算每次飞行中的失效概率来确定的。
第三章 数据处理
3.1 引言
复合材料结构损伤损伤容限设计的变量有很多，这些变量主要是随机变量。这些变量之间存在着一定的关系。可以讲变量主要分为两大类：一是和强度相关的；二是和应力相关的。这些数据主要用于模拟失效概率的干涉模型。对这些数据的处理有两种方法：一是概率分布拟合；二是样条曲线拟合。
本章主要是用MATLAB语言对Mig-29飞机垂直尾翼的数据进行分析和拟合，为下面取随机数和建立数学模型做准备，最终为了计算其失效概率。数据来自参考文献[5]。
3.2 概率分布拟合
3.2.1 载荷应力超越数以及分析拟合
在亚音速设计载荷发生的情况下，我们判断载荷大小的发生概率。载荷大小从0-37的载荷应力是不发生的，因为载荷应力太小了。根据超越数的定义，我们分别算出载荷数据的累积概率。
（3-1）
其中，P是某个载荷应力的累积概率，E是某个应力下的超越数，是最大超越数。
亚音速设计载荷下的应力载荷超越数的数据来自参考文献[5]，如表3-1所示。处理后的累积概率如表3-2所示，对这些样本数据进行拟合分布曲线，通过描点法，从曲线形状可以看出偏移后的指数分布，MATLAB语言拟合后的结果如图3-1所示。在亚音速设计载荷情况下，我们可以把在每个飞行小时最大超越数看作超出期望值，那样的话，我们就可以通过泊松分布产生每个飞行小时的载荷应力的发生次数。

表3-1亚音速设计载荷下应力载荷超越数
载荷应力MPa
每个飞行小时的超越数
每个寿命的超越数
0
54
153900
37
54
153900
55
12.4
35340
70
5.5
15675
85
1.7
4845
102
0.42
1197
120
0.057
162
137
0.02
57
154
0.004
11.4
表3-2亚音速设计载荷下应力载荷的累积概率
应力载荷MPa
累积概率P
0
0
37
0
55
0.7704
70
0.8981
85
0.9685
102
0.9922
120
0.9989
137
0.9996
154
0.9999

图3-1 载荷应力累积概率分布
3.2.2 温度超越数以及分析拟合
亚音速载荷情况下的温度超越数来自参考文献如表3-3所示。按前面的处理方法，结果如表3-4所示。对这些样本数据进行拟合分布曲线，通过描点法，从曲线形状可以看出是正态分布，MATLAB语言拟合后的结果如图3-2所示。
表3-3亚音速载荷情况下的温度超越数
温度
超越数
-73
1
-53
0.9998
-33
0.9974
-13
0.9772
7
0.8849
27
0.6554
47
0.3446
67
0.1151
87
0.02275
107
0.002555
119
5.191E-04
127
1.591E-04
147
5.417E-06
167
9.983E-08
187
9.901E-10
207
5.262E-12
表3-4亚音速载荷情况下的温度累积概率
温度
累积概率
-73
0
-53
0.0002
-33
0.0026
-13
0.0228
7
0.1151
27
0.3446
47
0.6554
67
0.8849
87
0.9772
107
0.9974
119
0.9995
127
0.9998
147
1.0000
167
1.0000
187
1.0000
207
1.0000

图3-2温度的累积概率分布
3.2.3 损伤超越数以及分析拟合
（1） 服役损伤
根据服役中垂直尾翼的检测数据，从而获得两类损伤超越数：一是有关分层或刻痕的；二是有关孔+裂纹的。刻痕的超越数的参考数据来自参考文献[5]，如表3-5所示。按前面的处理方法，刻痕累积概率如表3-6所示。对这些样本数据进行拟合分布曲线，通过描点法，从曲线形状可以看出是偏移后的指数分布，MATLAB语言拟合后的刻痕累积概率分布如图3-3所示。孔+裂纹的超越数如表3-7所示，处理后的孔+裂纹的累积概率如表3-8所示。对这些样本数据进行拟合分布曲线，通过点描述法，从曲线形状可以看出是偏移后的指数分布，MATLAB语言拟合后的结果如图3-4所示。
表3-5服役损伤刻痕的超越数
尺寸
(mm)
每平方每小时
超越数10^-5
每0.31平方米每个寿命
超越数
0
10
0.093
25
10
0.093
30
7.8
0.07254
35
6
0.0558
40
4.6
0.04278
60
2.6
0.02418
100
0.65
0.00605

表3-6服役损伤刻痕的累积概率
刻痕尺寸
(mm)
每个寿命每0.31平方米
累积概率
0
0
25
0
30
0.2200
35
0.4000
40
0.5400
60
0.7400
100
0.9349

图3-3 刻痕损伤的累积概率分布

表3-7 服役损伤孔+裂纹的超越数
尺寸
(mm)
每平方米每小时
超越数10^-5
每0.31平方米每寿命
超越数
0
5
0.0465
10
5
0.0465
25
2
0.0186
30
1.3
0.01209
35
1
0.0093
40
0.8
0.00744
60
0.4
0.00372
100
0.1
0.00093

表3-8服役损伤孔+裂纹的累积概率
孔+裂纹
mm
每个寿命每0.31平方米
累积概率
0
0
10
0
25
0.6000
30
0.7400
35
0.8000
40
0.8400
60
0.9200
100
0.9800

图3-4服役损伤孔+裂纹的累积概率分布

整个过程中，损伤尺寸发生次数，我们可以把在每个寿命每0.31平方米中最大超越数看作超出期望值，那样的话，我们就可以通过泊松分布产生每个寿命每0.31平方米的发生次数。
（2）制造缺陷
根据制造中垂直尾翼的检测数据，从而获得两类损伤超越数：一是有关分层或刻痕的；二是有关孔+裂纹的。刻痕的超越数的参考数据来自参考文献[5]，如表3-9所示。按前面的处理方法，刻痕累积概率如表3-10所示。对这些样本数据进行拟合分布曲线，通过描点法，从曲线形状可以看出是偏移后的指数分布，MATLAB语言拟合后的刻痕累积概率分布如图3-5所示。孔+裂纹的超越数如表3-11所示，处理后的孔+裂纹的累积概率如表3-12所示。对这些样本数据进行拟合分布曲线，通过点描述法，从曲线形状可以看出是偏移后的指数分布，MATLAB语言拟合后的结果如图3-6所示。
表3-9制造缺陷刻痕的超越数
尺寸
(mm)
每平方米每1000小时
超越数
每0.31平方米每寿命
超越数
0
0.027527
0.0256
37.5
0.014946
0.0139
75
0.005667
0.00527

表3-10制造缺陷刻痕的累积概率
刻痕尺寸
(mm)
每个寿命每0.31平方米
累积概率
0
0
37.5
0.457
75
0.7941

图3-5 制造缺陷刻痕的累积概率分布

表3-11制造缺陷孔+裂纹的超越数
尺寸
(mm)
每平方米每1000小时
超越数
每0.31平方米每个寿命超越数
0
0.027527
0.0256
37.5
0.014946
0.0139
75
0.005667
0.00527

表3-12制造缺陷孔+裂纹的累积概率
损伤尺寸
mm
每个寿命每0.31平方米
累积概率
0
0
37.5
0.4554
75
0.7939

图3-6制造缺陷孔+裂纹的累积概率分布
初始损伤尺寸发生次数，我们可以把在每个寿命每0.31平方米中最大超越数看作超出期望值，那样的话，我们就可以通过泊松分布产生每个寿命每0.31平方米的发生次数。
3.3 样条曲线拟合
3.3.1 损伤表面的强度退化函数
考虑到冲击损伤的两种类型：一是刻痕损伤类型；二是孔+裂纹的损伤类型。在不同损伤类型的情况下，强度退化的函数是不一样的。刻痕损伤尺寸对应的剩余强度数据来自参考文献[5]，如表3-13所示。经过样条曲线拟合后，刻痕损伤尺寸对应的剩余强度曲线如图3-7所示。孔+裂纹损伤尺寸对应的剩余强度数据如表3-14所示。经过样条曲线拟合后，孔+裂纹损伤尺寸对应的剩余强度曲线如图3-8所示。

表3-13 刻痕损伤尺寸对应的剩余强度
刻痕尺寸 (mm)
拉伸表面 (MPa)
压缩表面 (MPa)
0
470
-664
15
371
-311
20
359
-282
30
338
-244
40
319
-218
50
301
-199
60
285
-183
100
227
-144
125
193
-125
150
159
-108

图3-7 刻痕损伤影响下的剩余强度
表3-14 孔+裂纹损伤尺寸对应的剩余强度
孔+裂纹尺寸 (mm)
拉伸载荷表面 (MPa)
压缩载荷表面 (MPa)
0
470
-664
5
282
-355
10
228
-287
15
196
-246
20
175
-220
30
147
-185
40
129
-162
50
117
-146
60
107
-134
100
83
-105
125
75
-92
150
67
-82

图3-8 孔+裂纹损伤影响下的剩余强度
3.3.2 损伤检测的概率
对于每种损伤类型，两种基本检测方法：一是目视检测；二是在维修中仪器检测。第二种方法的使用周期是100个小时。刻痕数据来自参考文献[5]，如表3-15所示。刻痕样条曲线拟合后，如图3-9所示。孔+裂纹数据来自参考文献[5]，如表3-16所示。孔+裂纹样条曲线拟合后，如图3-10所示。
表3-15刻痕检测的概率
刻痕尺寸 (mm)
目视检测概率(P)
刻痕尺寸 (mm)
仪器检测概率(P)
0.00
0.00
0.00
0.00
10.00
0.00
10.00
0.01
20.00
0.01
20.00
0.06
25.00
0.02
30.00
0.76
30.00
0.03
40.00
0.92
40.00
0.08
50.00
0.96
50.00
0.33
60.00
0.98
60.00
0.70
70.00
1.00
70.00
0.86
80.00
1.00
80.00
0.91

90.00
0.95

100.00
0.98

110.00
0.99

120.00
1.00

图3-9 刻痕检测概率样条曲线图
表3-16 孔+裂纹的检测概率
孔+裂纹尺寸 (mm)
目视检测概率P
孔+裂纹尺寸 (mm)
仪器检测概率P
0.00
0.00
0.00
0.00
10.00
0.01
10.00
0.02
20.00
0.20
15.00
0.10
25.00
0.62
20.00
0.60
30.00
0.79
25.00
0.91
40.00
0.92
30.00
0.97
50.00
0.99
40.00
1.00
60.00
1.00
50.00
1.00

图3-10 孔+裂纹的检测概率曲线图
3.3.3 修复
用于每种损伤类型的两种修复方法：一是在飞机场进行简单的修复；二是在维护时间的特别修复。第二种方法使用在每100小时的飞行间隔中。修复系数和变异系数来自参考文献[5]，如表3-17所示。
表3-17 修复系数

场内设备
维护设备
变异系数
刻痕
0.95
1
0.1
孔+裂纹
0.95
1
0.12
3.3.4 强度修正系数与温度
假设在拉伸和压缩载荷下，温度的影响是一样的。对于拉伸载荷，是比较保守的。强度修复系数和温度关系的参数来自参考文献[5]，经过样条曲线拟合后，关系如图3-11所示：
表3-18 强度修复系数和温度关系
温度
修正系数
20
1.00
60
0.96
100
0.87
125
0.78
140
0.65
160
0.34

图3-11 温度和强度修正系数的关系
第四章 用MATLAB编程实现计算失效概率
4.1 引言
MATLAB是一种功能极其强大的科学和工程计算数学软件系统,汇集了大量数学、统计、科学和工程所需的函数。与Fortran、C等编程语言相比,MATLAB具有编程语法简单、用户界面友善、矩阵运算功能强等特点,易为广大工程技术人员所掌握,可以大大提高编程效率。
可靠度的计算常用方法有解析法和模拟法。
解析法中普遍采用的是一次二阶矩法，包括中心点法、验算点法(JC法) 、映射变换法、实用分析法等。用MATLAB实现这些方法的编程计算是相当方便快捷的,因为它有很多现成可用的计算程序，如求反函数、概率分布函数、概率密度函数、函数求导等等，而且采用矩阵运算可以避免循环结构。与同样方法的C语言实现相比，MATLAB的实现语句要少的多。从可靠度指标β的几何意义出发，建立求解可靠指标的优化模型,利用MATLAB优化工具箱计算可靠度指标和验算点。
模拟法这里主要指蒙特卡罗法。蒙特卡罗法在目前可靠度计算中，被认为是一种相对精确的方法，它不受极限状态方程非线性的限制。对那些大型复杂结构，相应的极限状态功能函数往往是非线性的，如果采用解析法中求导的方法计算可靠度，当考虑因素较多时，极限状态功能函数将变得难以处理。蒙特卡罗法回避了可靠度分析中的数学困难，不需要考虑极限状态曲面的复杂性。此外，若基本变量相关，可利用条件概率密度，把多维问题化为一维问题来解决。因此从理论上来说，该方法的应用几乎没有什么限制。但在实际问题中，变量连续型分布是很复杂的。有的只能给分布函数的解析表达式，但给不出其反函数的解析表达式，如著名的β分布；有的则连分布函数的解析表达式都给不出。所以通常情况下对连续型分布采用直接抽样是有一定困难的。利用MATLAB的强大数值计算功能,实现了在MATLAB中采用蒙特卡罗直接抽样计算结构可靠度,较好地解决了上述问题。将MATLAB用于蒙特卡罗法的一个显著优点是它拥有功能强大的随机数发生器指令。

4.2 模拟随时间变化的整个失效过程
4.2.1 随机数的产生
在对每一个随机变量进行抽样的时候，产生大量具有一定分布的随机数，是一个非常重要的步骤。在理论上，只要有了一种具有连续地分布的随机数，就可以通过抽样的方法得到任意分布的随机数。在连续分布函数中，[ 0,1 ] 区间上的均匀分布函数是最简单、最基本的一种。因此，在用蒙特卡罗方法模拟一个实际问题时，必须首先解决产生大量均匀分布的随机数，然后用各种抽样方法将产生的均匀分布随机数转换为具有一定分布的随机数。基本的步骤如图4- 1所示。
等概率密度发生器
0-1之间的随机数
随机数产生表
具有一定分布的随机数
经数字转换

图4-1 随机数的产生
这里要经过三个步骤：首先是均匀分布随机数的产生，产生所谓的伪随机数，常用的方法有迭代取中法、移位指令加法和同余法等；其次对产生的随机数进行检验，看其是否满足我们希望的统计性质(随机性检验主要有四个：均匀性检验、独立性检验 (或不相关性检验 )、组合规律性检验、无连贯性检验 )；最后进行随机变量的抽样，目的是为了得到具有一定分布的随机数。而最简单的方法就是利用 MATLAB软件带有的随机数产生函数，可以直接调用这样的函数产生所需要的随机数。
4.2.2 编程求解
模拟过程在第三章已经详细说明，建立程序的流程图如4-2所示。说明编程的整个流程，具体步骤如下：

图4-2 程序流程图
步骤1 每次模拟开始，要计算制造缺陷后的剩余强度。其中泊松分布产生缺陷次数，还有指数分布产生缺陷尺寸。
步骤2 服役期间，泊松分布产生服役损伤的次数，对应通过指数分布产生损伤时间的次数。还有通过指数分布产生服役尺寸，对应有检测概率，通过几何分布产生检测成功的次数，也是检测成功的时刻，对应有个修复系数。
步骤3 服役期间，通过正态分布产生温度值，对应产生强度修正系数。
步骤4 服役期间，通过一二三步骤之后，我们可以计算出每个飞行小时的剩余强度。
步骤5 服役期间，通过泊松分布产生应力次数，还有通过正态分布产生应力值，通过比较获得最大值。
步骤6 在t1时间到3000小时里的每个小时，将步骤五的最大应力值和步骤四的剩余强度比较的，如果应力值大于强度值，失效次数M加一，否则继续到下个飞行小时，直到失效或寿命期到。其中t1是第一次服役损伤时间，3000是飞机结构的服役寿命。
步骤7 计算失效概率P=M/N，其中M是模拟的总失效次数，N是总的模拟次数。
经过编程，程序在附录A中，运行后，计算结果是：
（1) 在亚音速载荷情况下，在Mig-29飞机垂直尾翼的根部0.31平方米面积里其中受拉伸载荷的复合材料表面：
失效概率平均值：E=0.0017
偏差：σ =0.0003
（2) 在亚音速载荷情况下，在Mig-29飞机垂直尾翼的根部0.31平方米面积里其中受压缩载荷的复合材料表面：
失效概率平均值：E=0.0029
偏差：σ =0.0005
这些结果说明此方法还是比较合理的。还有我们没有考虑在超音速载荷情况下的结构失效，由于没有足够的统计数据来计算。

第五章 简单介绍用ANSYS有限元软件实现计算失效概率
5.1 引言
使用有限元软件ANSYS来计算复合材料结构的失效概率。我们假设从飞机结构上取一块复合材料层合板，将损伤和缺陷等效为板中带圆孔，这样就建立一个带孔的复合材料层合板模型。假设在拉伸的载荷下，载荷和孔的大小是随机的，我们可以计算失效概率还有孔尺寸和载荷大小对结构失效的灵敏度。我们通过这个可以忽略或者降低次要因素的精度和提高主要因素的精确度。从而我们不仅可以降低失效概率还可以节省费用。
在 ANSYS中结构可靠性分析主要由生成分析文件，可靠性分析和可靠性结果输出三个部分组成，具体流程如图5- 1所示。其中，生成分析文件是整个分析过程中至关重要的一环，可靠性分析阶段通过重复执行分析文件来完成可靠性分析的循环，可靠性的结果提供具体的分析数据，因此，必须保证分析文件的正确性和完整性。分析过程中，通过改变分析对象成员的取值来求取分析结果，即改变分析对象成员的数值将改变目标对象成员值。换句话说，基于ANSYS进行结构可靠性分析是基于数值模拟技术，通过反复变更输入变量值来求取输出变量即目标对象值的过程。

图5-1 可靠性分析流程
5.2 概率设计分析模块PDS简介
ANSYS 中可靠性分析数据流向如图5-2 所示。在进行结构可靠性分析中，需注意的是进行结构可靠性分析必须采用参数化建模。ANSYS提供了两种基本的概率设计方法：蒙特卡罗法 (MCM) 和响应面法(Response Surface Analysis Methods ,RSAM)。 ANSYS中的 MCM