初等数学研究复习汇总.doc

第一章
1、自然数集是有序集
2、 自然数集具有阿基米德性质 即：如果a,b∈N，则存在n∈N，使na>b
3、 自然数集具有离散型 即：在任意两个相邻的自然数a和a’之间不存在自然数b，使a<b<a’
4、最小数原理
３、整数集的性质
①整数集构成一个交换环 ②整数集是有序集 ③整数集具有离散型 ④整数集是可列集
1、有理数集是一个数域 2、有理数集是一个有序域 3、有理数集Q+具有阿基米德性质
4、有理数集具有稠密型 5、有理数集是一个可列集
①实数集是一个有序域 ②实数集R+具有阿基米德性质 ③实数集具有连续性 ④实数集是不可数集
1、 复数集是一个数域 2、复数域不是有序域
3、在复数域内，开方运算总可实施。任何非零复数有且只有n个不相等的n次方根。
第二章

初等函数
¨ 1、基本初等函数
¨ 2、定义:初等函数是由幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数与常数经过有限次的有理运算（加、减、乘、除、有理数次乘方、有理数次开方）及有限次函数复合所产生、并且在定义域上能用一个解析式表示的函数。
判断下列函数是否是初等函数？
答案:是，是，不是，不是，不是，是

判断：是否为同解变形？增根还是失根？
判断：是否为同解变形？增根还是失根？

判断：是否为同解变形？增根还是失根？

解方程常用的方法
¨ 1、換元法

2、因式分解法

x
y
3、图像法

证明不等式的常用方法

2、比较法
¨ 欲证A>B,即证A-B>0（作差法）
¨ 或A/B>1(作商法）

3、分析法
4、換元法（等量代换法）

4、換元法（等量代换法）

五、反证法

6、放缩法（不等量代换法）
¨ （1）欲证A<B，先证A<C且C<B(这是放大)
¨ （2）欲证A<B，先证B>D且D>A（这是缩小）

¨ 放缩法

¨ 放缩法常见的一些技巧：
ü 舍掉或加进一些项
ü 放大或缩小分子或分母．

ü 运用基本不等式 利用函数单调性
7、构造法
¨ 构造函数
ü 构造的函数通常有一次函数、二次函数、分式函数、指数函数、对数函数等，证明过程中用函数的单调性，函数值的范围，二次函数的判别式等．

构造图形

8、数学归纳法

位置关系的证明
¨ 1、平行的证法 2、垂直的证法 3、共线点的证法 4、共点线的证法
¨ 5、共圆点的证法

¨ 圆内角定理：园内角等于它所对的弧与它对顶角所对弧的度数的和的一半。
¨ 圆外角定理：圆外角等于它所对的弧的度数的差的一半。

例：设四边形ABCD同时有外接圆和内切圆，证明两组对边上的切点的连线必互相垂直。

¨ 1、定义：判定三点或三点以上的点位于同一直线，谓之共线点问题。
¨ 2、基本方法
¨ ①对顶角之逆 ②邻角互补 ③平行线的唯一性
¨ ④垂线的唯一性 ⑤证明三点在某一定直线上
¨ ⑥证明两点连线与某定直线的交点是第三点
¨ ⑦证三点中两两连线的线段有和差关系 ⑧证三点所成的三角形面积为0
¨ ⑨证得以其中一点为对称中心，其余两点为对称图形的一对对应点
¨ ⑩利用梅涅劳斯定理
¨ 还可以利用斯特瓦特定理的逆定理，反证法等等

斯特瓦特定理

补充知识---------三角形的五心

¨ 1、重心：三角形三条中线的交点。
¨ （这点和各边中点距离等于这条中线的1/3）
¨ 2、垂心：三角形三条高或高的延长线的交点
¨ 3、外心(外接圆的圆心）：三角形三条边的中垂线的交点。
¨ （这点到三角形三个顶点的距离相等）
¨ 4、内心（内切圆的圆心：三角形三条内角平分线的交点。
¨ （这点到三角形三条边的距离相等）
补充知识---------三角形的五心
¨ 5、旁心：旁切圆的圆心叫做三角形的旁心。
¨ 三角形的一条内角平分线与其它两个角的外角平分线交于一点。这个点到三角形的一边及其他两边的延长线的距离相等，这就是三角形的旁心。
¨ 注：三角形有三个旁心
证明：在任一三角形中，外心、
垂心和重心共线————欧拉线。
证明：设H、O、G分别是三角形ABC的垂心、
外心、和重心。作BC边的中线AD交BC于D，因为
AG=2GD,AH=20D,∠GAH=∠GDO
所以⊿AGH≌⊿DGO
则有∠AGH=∠DGO
即H、G、O三点共线
共点线的证法
¨ 体现三角形重要属性的五心------重心、垂心、外心、内心、旁心，全是三线共点的产物。
¨ 证三线共点的常见思路：
¨ 1、证明各线都过某个定点
¨ 2、证明两直线的交点在第三条直线上
¨ 3、利用西瓦定理
¨ 4、利用对称图形的对应点的连线共点于对称中心
¨ 5、利用根心定理
西瓦定理
设X、Y、Z分别是⊿ABC的BC、CA、AB边或其延长线上的点，且有偶数个点在边的延长线上，则AX、BY、CZ三线共点或互相平行的充要条件是

¨ 例：证明三角形三条高线共点。

¨ 证明：三角形的三条中垂线交于一点（外心）