初等数学研究复习汇总.doc

第一章1、自然数集是有序集 2、 自然数集具有阿基米德性质 即：如果a,bN，则存在nN，使nab3、 自然数集具有离散型 即：在任意两个相邻的自然数a和a之间不存在自然数b，使abB,即证A-B0（作差法） 或A/B1(作商法）3、分析法4、換元法（等量代换法）4、換元法（等量代换法）五、反证法6、放缩法（不等量代换法） （1）欲证AB，先证AC且CB(这是放大) （2）欲证AD且DA（这是缩小） 放缩法 放缩法常见的一些技巧： 舍掉或加进一些项 放大或缩小分子或分母 运用基本不等式 利用函数单调性7、构造法 构造函数 构造的函数通常有一次函数、二次函数、分式函数、指数函数、对数函数等，证明过程中用函数的单调性，函数值的范围，二次函数的判别式等构造图形8、数学归纳法位置关系的证明 1、平行的证法 2、垂直的证法 3、共线点的证法 4、共点线的证法 5、共圆点的证法 圆内角定理：园内角等于它所对的弧与它对顶角所对弧的度数的和的一半。 圆外角定理：圆外角等于它所对的弧的度数的差的一半。例：设四边形ABCD同时有外接圆和内切圆，证明两组对边上的切点的连线必互相垂直。 1、定义：判定三点或三点以上的点位于同一直线，谓之共线点问题。 2、基本方法 对顶角之逆 邻角互补 平行线的唯一性 垂线的唯一性 证明三点在某一定直线上 证明两点连线与某定直线的交点是第三点 证三点中两两连线的线段有和差关系 证三点所成的三角形面积为0 证得以其中一点为对称中心，其余两点为对称图形的一对对应点 利用梅涅劳斯定理 还可以利用斯特瓦特定理的逆定理，反证法等等斯特瓦特定理补充知识-三角形的五心 1、重心：三角形三条中线的交点。 （这点和各边中点距离等于这条中线的1/3） 2、垂心：三角形三条高或高的延长线的交点 3、外心(外接圆的圆心）：三角形三条边的中垂线的交点。 （这点到三角形三个顶点的距离相等） 4、内心（内切圆的圆心：三角形三条内角平分线的交点。 （这点到三角形三条边的距离相等）补充知识-三角形的五心 5、旁心：旁切圆的圆心叫做三角形的旁心。 三角形的一条内角平分线与其它两个角的外角平分线交于一点。这个点到三角形的一边及其他两边的延长线的距离相等，这就是三角形的旁心。 注：三角形有三个旁心 证明：在任一三角形中，外心、垂心和重心共线欧拉线。 证明：设H、O、G分别是三角形ABC的垂心、外心、和重心。作BC边的中线AD交BC于D，因为AG=2GD,AH=20D,GAH=GDO所以AGHDGO则有AGH=DGO即H、G、O三点共线共点线的证法 体现三角形重要属性的五心-重心、垂心、外心、内心、旁心，全是三线共点的产物。 证三线共点的常见思路： 1、证明各线都过某个定点 2、证明两直线的交点在第三条直线上 3、利用西瓦定理 4、利用对称图形的对应点的连线共点于对称中心 5、利用根心定理西瓦定理设X、Y、Z分别是ABC的BC、CA、AB边或其延长线上的点，且有偶数个点在边的延长线上，则AX、BY、CZ三线共点或互相平行的充要条件是 例：证明三角形三条高线共点。 证明：三角形的三条中垂线交于一点（外心）