本科动力系统的分形图形分析和绘制.doc

郑州轻工业学院
本科毕业设计（论文）

题 目 动力系统的分形图形分析和绘制
学生姓名 黄永煌
专业班级 数学与应用数学
学 号 541110020109
院 （系） 数学与信息科学系
指导老师（职称） 何红亚
完成时间 2015年5月20日

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动力系统的分形图形分析和绘制
目 录

中文摘要
英文摘要
第一章 绪论 3
1.1 分形理论的起源和发展 3
1.2 分形维数的定义 3
1.3 分形理论对科学理论方法产生的影响 4
1.4 分形理论的研究现状 4
1.5 本文主要讨论的问题 5
第二章 复动力系统 6
2.1 复分形理论 6
2.1.1 复解析函数 6
2.1.2 复二次多项式迭代 7
2.2 Julia集 8
2.2.1 Julia集的一些基本性质 8
2.2.2 Julia集分形图的分析绘制 8
2.3 Mandelbrot集 11
2.3.1 Mandelbrot的性质 12
2.3.2 Mandelbrot集的图形绘制与分析 12
2.4 Julia集和Mandelbrot之间的关系 16
2.5 高阶Julia集的反函数迭代法 17
2.5.1 函数定义 18
2.5.2 反函数迭代法的算法 18
2.5.3 逃逸时间算法与反函数迭代算法 20
2.6 本章小结 20
第三章 双二次多项式系统 22
3.1 双二次多项式Julia集连通性 21
3.2 双二次动力系统的分形图绘制和分析 21
3.2.1 动力系统的性质 21
3.2.2 双二次动力系统算法分析 22
第四章 广义Julia即和Mandelbrot集 22
4.1算法构造和图形绘制 22
4.2 Mandelbrot集算法与图形绘制 24
4.3 其它的广义Julia集和Mandelbrot集 26
第五章 牛顿迭代法生成分形图形 22
5.1 牛顿迭代法的基本原理 29
5.2 牛顿迭代法的算法 30
结束语 31
致谢 32
参考文献 33

动力系统的分形图形分析和绘制

摘 要

分形是数学发展分支上的一门新的学科，虽然才发展二十年，但是却取得了许多卓有成效的成果。分形主要是为了研究不规则，复杂几何图形而发展起来的一门学科。利用分形理论，再借助MATLAB，VB等数学软件，可以画出许多不规则图形，同时也可以对这些不规则图形进行分析。本文将先给出复动力统的定义和概念,并在复平面分析二次多项式的一些性质，利用MATLAB绘制出经典的Mandelbrot集和Julia集，根据图形研究这两种集和的关系。之后我们将复平面上的二次多项式提高到四次多项式，最后通过逃逸时间算法和牛顿迭代法将它们推广到高次，且常数可以为复数的更加一般的情况。主要内容如下：
1． 分析二次多项式的数学方法给出MATLAB的算法，绘制M-J集的图形。 进 一步研究双二次多项式系统。
2． 将经典的M-J集推广到高阶，分别用了逃逸时间算法和牛顿迭代算法，给出算法，绘制出图形。

关键词： fractal； 动力系统： Mandelbrot集；Julia集；
  双二次动力系统； 广义J-M集；牛顿迭代.

36

Fractal graphics rendering and
analysis of power systems

Abstract

Fractal is a new mathematical development branch disciplines, although the development of 20 years, but many fruitful results have been achieved.Fractal is mainly to study the irregular, complex geometry and developed a discipline.Using the fractal theory, and then with the help of MATLAB and VB software such as mathematics, can draw many irregular graphics, but also can analyze these irregular graphics.This article first presents the definition and concept of complex power system, and in the complex plane analysis some properties of quadratic polynomial, use MATLAB to draw out the classic Mandelbrot set and Julia set, according to a study in graphics both of these sets and relations.Then we will be on the complex plane quadratic polynomial to four polynomial, finally through the escape time algorithm and Newton iterative method to promote them to the high times, and constant for the plural more general situation.The main contents are as follows:
1. The mathematical method of quadratic polynomial are analyzed and MATLAB algorithm, drawing graphics of M - J set.Further study of biquadratic polynomial system.
2. Will the classical M - J set to higher order, respectively, with the escape time algorithm and Newton iteration algorithm, algorithm, rendering the graphics.

Key words: fractal; power system; Mandelbrot set; Julia set;
Pairs of secondary power system; The set of generalized
J - M;Newton iteration.
第一章 绪论

1.1 分形理论的起源和发展

分形理起源于上个世纪70年代，创立不久就激起了人们极大的兴趣，与耗散结构、混沌并称为70年代科学史上的三大发现。这门学科发展了三十多年，已经成为了一门独立且研究更加深入的学科。曼德尔布罗特（B.B.Mandelbrot）于1967年在在美国《科学》( Science) 杂志上发表了的论文《英国的海岸线有多长》,在这篇具有划时代的论文中他首次阐明了分形思想。通常被认为是“分形”学科诞生的标志。曼德布罗（B.B.Mandelbrot）特在他的随后两本著作《自然界的分形几何学》和《分形：形状、机遇与维数》第一次用fractal来表示分形，并且分析了分形的研究思想和研究方法，提出了分形的主要性质，分别为它的自相似性性质和自反射性质。他还进一步分析了分形维数的问题，在传统整数维度的基础之上将分形的维数推广到了分数维度，即分形的维数是具有连续性质的。我们应该认识到自然界的自相似性是广泛存在的，从小的方面看，花草树木中细微的纹理和自身整体的相似，大的方面，宇宙天体系统也存在自相似性质，自相似性是整体宇宙中广泛存在的，且分布在各个层次上。分形发展到现在，已经不是简单的分析传统的集合维数、自相似性、复平面上的二次多项式，而是将分形扩展到了复平面上的高次多项式，即广义的分形，广义的分形对于研究现代信息，时间，微观粒子，结构方面具有先天的优势。现代科技的不断发展，分形已经深入到科技，文化，教育的各个方面。衍生出了更加细致深入的分形科学，比如，分形化学，分形广告学，分形染色学，分形经济学，分形物理和分形生物等等一系列围绕分形研究的学科。
1.2 分形维数的定义

分形维数(fractal dimension)从字面上看可以理解为具有分数维数的几何图形，这是分形理论的重要概念和定义。它是对图形复杂程度和粗糙程度的度量，图形越复杂粗糙，分维就越大。在传统观念里维数只有整数，而分维的提出是人类的认知有了质的飞跃。数学家们利用分形维数的思想和定义找到了点和线之间一种特殊的集合，后来人们将这种集合定义为康托尔集（Cantor），依据点线之间具有康托尔集，后来数学家们又在线和面之间找到了伊农（Henon）吸引子。分形为数有很多定义，最有代表性的是Hausdorff维数。对于任意一个确定维数的几何体，如果用和它维数相同的单位尺度r来度量，大小N（r）和单位尺度r之间有下面的关系：
（1.1）
式子中是Hausdorff的维数，它可以是整数，也可以是分数。

1.3 分形理论对科学理论方法产生的影响

分形理论和分形方法的提出对现代科学思想和科学方法产生巨大的影响，它让我们从传统的思维束缚中解放出来，开辟了新的思想领域。它将整体和部分，混乱和规则，有限和无限，连续和间断融合在一起。使人们在混沌无序中认识有序，由部分认识整体和由整体进一步认识部分，从有限到无限再从无限到有限的进一步认识。是人们的认识从线性过度到了非线性。
现在，分形理论的发展为各个学科的发展提供了强大的动力，在科学，经济，工业，航空当中发挥着重要作用。第一，分形理论为研究自然界复杂的形状，结构，地质提供了方法。第二，它为混沌学的研究提供了数学工具，分形几何学对混沌几何产生了重要影响。第三，它为研究复杂的自组织提供了新的思路和方法。第四，分形理论对大脑的开发与探索提供了新的思路和方法。

1.4 分形理论的研究现状

分形是一门新兴的学科，发展至今已经取得了丰硕的成果。当前分形的发展主要有三个分支。第一，分形的基础理论研究，如维数的性质与分析，分形集的整体和局部结构，分形的有限与无限的理论的研究。第二，分形理论在实际生活中的应用，如在地理，生命科学，航天航空，艺术等方面都有广泛的应用。第三，分形图形的绘制与分析。现在发展较快的是二和三两个分支，尤其是分形几何在图形方面可以绘制出优美的图案，对现代广告，绘画，衣服的图案都有很大的影响。
随着各个学科对分形理论的应用，分形理论也在不断发展壮大，分形理论的学术文章也在不断增加。但我们仍然面临着许多分形理论的问题，需要进一步的讨论与研究。
（1） 如何定义一个分形
虽然分形不断发展，但它的明确定义却很是困难。从维数方面我们可以说具有分数维度的图形就是分形，从几何方面定义，分形是没有特征长度但具有相似性图形结构的总称。它有两个基本性质：自相似性和标度不变性。因为没有严格的分形定义，目前判断是否为分形是困难的。
（2）关于Julia集和Mandelbrot集的深入研究
Julia集和Mandelbrot集是由复二次多项式迭代而来，这两个集和有很大的关系。M集的边界维数的计算和连通性的研究，对于Julia，当其中的参数发生变化时Julia集将会发生爆炸，复指数和复正弦函数中也发生了这种情况。这还需要深入的研究。
（3）其它问题
①　 分形曲线连续可导的问题
②　 如何由分形维数重新构建分形的问题
③　 分形的动力学机制

1.5 本文主要讨论的问题

对已经研究的成果进行归纳，尤其是对复动力系统和二次系统分析和研究，进而推广到高阶的多项式。复动力系统主要提出了Julia集和Mandelbrot集之间的关系，以及研究将它们推向高阶时所产生的一些性质。我们主要通过构造算法，写出它们的绘制图形的算法清单，通过图形进一步研究这些图形的关系。

第二章 复动力系统

A.Cayle在19世纪初就对分形的牛顿迭代法进行了深入的研究。Julia和Fatou于1920年将分形的复有理数迭代方法和复多项式迭代方法推向了高次的迭代方程当中，达到了一个全新的高度。而后沉寂了了50年，直到1980年，B.Mandelbrot绘制出了以他名字命名的Mandelbrot集，使得这一领域又焕发出了新的生命力。

2.1 复分形理论

2.1.1 复解析函数

用C表示复平面，表示复平面上的点，其中，用Re（z）和Im（z）来表示z的实部和虚部是复数z的模。
定义2.1称复平面上一个函数：在点处是解析的，
如果下列极限存在：

（2.1）

对复平面上的一个连通开集,,如果函数:在任意都为解析的，则在中也是解析的。
定义2.2对一个解析函数，若，则为该函数的临界点，称为该函数的临界值。如果函数有公式：
（2.2）

其中和为无公因子的复多项式，则为有理的。有理函数在他的定义域内是解析的。

2.1.2 复二次多项式迭代

复平面上的二次多项式：
(2.3)
=0是定义域上唯一一个临界点，是他的临界值。
让，其中，， 则

= （2.4）
选取适当的数值，可以让（2.4）式变成我们想要的复二次多项式，即使得和共轭：
（2.5）
对所有整数，有如下：

（2.6）
当中是的次复合。
由上可得在映射下点的迭代顺序是在下点的迭代顺序在下面的象。所以，分析复二次多项式的迭代问题，可以对单参数族进行分析。
复数和可以在整个复平面上任意取值，为讨论方便，我们规定对任意参数有固定的与其对应，则我们有Z-平面为动力平面，同理，Z-平面为参数平面。所以，参数平面上的任意一点动力平面上都有与之对应的点。
对多项式，以为原始迭代点，它的轨迹有下面的序列：
， ，... , ...
由上可得，动力系统上的每一个初始点在经过迭代后会生成一条轨迹。表示的次迭代。

2.2 Julia集

2.1节已经简单介绍了复平面，这节将讨论Julia集的性质和分形图形的绘制。

2.2.1 Julia集的一些基本性质

每一个二次多项式的Julia集都是由一个任意复数来决定的。在复平面上任意取一个复数值，代入下面的方程进行迭代运算：
(2.7)
内的点可以认为是复平面上的吸引域，原点为吸引点。无穷远点是这个迭代的另一个吸引点，它的吸引域是逃逸时间集。这两个吸引域有共同的边界Julia集。

二次多项式的Julia集可分为连通和完全不连通两类。在Julia集中，当，那么这个Julia集是连通的，但却不是简单的闭合的。完全不连通的Julia集都具有康托集的性质。
Julia还有一些其它性质：是非空的且是一个完备集；具有完全不变形，它的补集也具有完全不变形；，即多项式的次迭代后的结果与 有一样的Julia集。

2.2.2 Julia集分形图的分析绘制

选取一个复数，在复平面上对每一个点做映射，如果变换后点仍然有界，则继续上面的映射，直到无界。多次映射后，我们得出一个新的复数，将其变换后赋给 。

事实上，还有一种简单且易于理解的Julia集定义，对于复二次多项式，在复平面上任意选取一个点，对进行反复迭代，为初始值，选取一般要求实部和虚部的模小于2.0，因为在迭代运算过程中，一旦某一步结果的模大于2.0了，可以断定它必将发散到无穷；当迭代到一定次数多项式在点不发散，则认为多项式在点收敛，对收敛的点进行着色，在规定的迭代次数内发散的点，对于迭代次数的不同用不同的颜色进行着色。
我们可以将Julia集映射到平面直角坐标系中，以便我们画出二维Julia集图形。令。将其代入多项式当中，则可以得到二维映射迭代公式:
， (2.8)
Julia集的逃逸时间算法原理简单描述，Julia集内部收敛于一个点或收敛于多个点，而外部这些点随着逃逸时间t的增加将会发散到，这些逃逸边界就是我们想要研究的Julia集。我们根据点趋向与的速度决定逃逸区域中点的着色。
算法设计和思路。假设计算机显示屏幕上的分辨率为，可以显示的颜色有种，其中当时，点着为黑色。
1． 设定，，；我们假设，，对所有点实现下面的步骤，其中。
2． 令
3． 利用2.8式从点算出，其中。
4． 计算：
若,则选择着色t，到下一步骤；
若，则选择着色0，到下一步骤；
若,则回到步骤2；
5． 对点着色t并且转到下一点（回到步骤1）；
基于MATLAB根据上面算法绘制的算法清单如下：
function Julia(c,res,iter,xc,yc,xoom)
x0=xc-2/xoom;x1=xc+2/xoom;
y0=yc-2/xoom;y1=yc+2/xoom;
x=linspace(x0,x1,res);
y=linspace(y0,y1,res);
[xx,yy]=meshgrid(x,y);
z=xx+yy*1i;
N=zeros(res,res);
C=c*ones(res,res);
for k=1:iter
z=z.^2+C;
N(abs(z)>2)=k;
C(abs(z)>2)=0;
z(abs(z)>2)=0;
end
colormap jet;
image(x,y,N);
axis square;
end

>>Julia(i,512,200,0,0,1) >>Julia(i,512,200,0,0,2000)

a 图 b图
图2.1 参数变化时候的Julia集

上图中的初始点为原点，参数，经过200次的迭代后图形收敛于一个完全连通的区域，由此可知每一步迭代复数的模都不会超过2.0。因为在迭代的过程中一旦某一步模超过2.0，它将发散到。右图是左图放大2000倍后的图形，从图形可以看出右图中的局部有与整个图形相似的形状，这验证了分形图形具有局部与整体的自相似的特性。

2.3 Mandelbrot集

2.3.1 Mandelbrot的性质

事实上Julia集和Mandelbrot之间具有密切的联系，即在Julia集的基础之上，我们将参数的变化加进来，则给出Mandelbrot的定义:二次映射正的Julia集为连通集的参数c的集合我们称为Mandelbrot集，记为M。所以Mandelbrot可表示为：
迭代{ and 保持收敛 } （2.9）
Mandelbrot把的参数平面被分为两面，M集和它的补集。动力平面和参数平面上有不同的性质，所以提出的问题也是不同的。参数平面上有一个固定的初始点，对所有参数值来研究初始点在下的轨迹。它是唯一的一个临界点。而动力平面却不一样。它是在动力平面上固定一个参数，分析所有初始点在的轨迹。
Mandelbrot集可以用复二次多项式 来定义，其中是一个参数。对于每一个，从开始对进行迭代。序列的元素的模（复数具有模的概念）或者延伸到无穷大，或者只停留在有限半径的圆盘内。Mandelbrot集合就是以上序列不延伸至无限大的点的集合。从数学上来定义，Mandelbrot集合是一个全为复数的集合，如果我们给定一个或者属于Mandelbrot集合，或者不属于这个集合。若取，那么这个序列就是，显然它的值会趋于无穷大；可是如果取，那么序列就是，那么这个序列的值就会落在有限半径的圆盘内。经过研究和计算事实上，只要Mandelbrot集合当中对应序列中任意一个元素的模都不大于2，那么这个点就是Mandelbrot集合内部的点。这个点即是收敛的点。

2.3.2 Mandelbrot集的图形绘制与分析

1980年，曼德勃罗特用他自己的名字命名了Mandelbrot集，他创作这个集合的过程如下：
映射，，分别为复参数和复变量。由此可得迭代公式：
（2.10）
式中当时，有， 是计算机屏幕上点（p，q）的像素，一直迭代我们有下面的式子：
（2.11）
给出一个正整数N,当有像素且n=N时，小于我们设定的K值的时候，在点（p，q）着色为1，当时，若有,则在点（p,q）着色为n。依次遍历整个计算机屏幕后，我们可以得到Mandelbrot集图形。
我们给出Mandelbrot的算法设计。对于映射，首先分离和的实部和虚部，记为：
（2.12）
由此，我们可以用来表示平面上第k个点，p，q都为常数，所以到的迭代过程如下：
， （2.13）

我们假设为计算机显示器上的分辨率，可以显示种颜色。设
令

对所有，其中有下面的算法步骤：
1． 首先我们设定，，且；
2． 用上面求出的迭代公式（3.1）从点到进行迭代，其中；
3． 计算判断着色情况
若，我们选择着色，到下一步；
若，我们选择0着色，到下一步；
若，且，回到第二步；
4． 对所有着色，接着对下一个点进行迭代和着色，即回到第一步，进行循环。
用v1和v2分别表示两个平面，move来移动这两个平面。根据上面的迭代算法，我们可以用MATLAB语言写出下面的算法清单：
v1=[1 0 0 0]’; v2=[0 1 0 0]’; move=[0 0 0 0]’;
pmin=-2.25; pmax=0.75; qmin=-1.50; qmax=1.50;
M=100;%收敛上界为100
a=800;b=600;%a,b为图的精细度
delta_p=(pmax-pmin)/a; delta_q=(qmax-qmin)/b;
out=zeros(a+1,b+1)
for i=1:a+1;
for j=1:b+1;
u=(pmin+(i-1)*delta_p).*v1+(qmin+(j-1)*delta_q).*v2+move;
n=0;k=u;c=u;
while norm(k)<M&&n<64;
k=[k(1)^2-k(2)^2-k(3)^2;2*k(1)*k(2);2*k(1)*k(3);2*k(k)*k(3)]+c;
n=n+1;
end;
out(i,j)=n;
end
end
image(out’)
Re（c） -2
--1
Im(c) 1

图2.2 Mandelbrot集

观察上面复平面的局部，Mandelbrot集合即红色区域，实部从到1，虚部从-1到1，那么将两个点(-2, 1)和(1, -1)作为一个矩形的左上顶角和右下顶角，那么这个矩形包含了整个Mandelbrot集合，该矩形的长为3，宽为2。其实上述的方法简单的用文字来说就是我们将这个矩形与屏幕上的区域进行映射，也就是将屏幕上的一个像素映射为该矩形内一点，如果点属于Mandelbrot集，就将该像素着为红色，这样逐一对每个像素进行判断和着色，就如上面绘制出的Mandelbrot集一样，矩形长宽比为3:2，精度为800*600的矩形区域。
观察上面的M集图形，我们可以看出他由一个类似心脏的图形构成，图形边缘有无数的触点伸出如果把将图形放大可以得出他们具有自相似的性质，并且它由无数的网连接而成，也可以得出Mandelbrot是连通的。

2.4 Julia集和Mandelbrot之间的关系

让我们总结一下 Julia 集和 Mandelbrot 集的关系。在迭代过程 中，我们有四个参数：的初始值的实部、虚部，以及的实部、虚部。Julia 集、
2.3 Mandelbrot集上的Julia集

就是给定 的实部、虚部后所得的结果，而 Mandelbrot 集则是限定的实部和虚部均为 0 后得出来的结果。大家可能想到，任意限定其中两个参数，把另外两个参数当作变量，我们还能得到很多不同的图形。事实上，如果把所有不同的 Julia 集重合起来，我们将会得到一个四维图形，它的其中两个维度是不同的初始值构成的复平面，另外两个维度则是不同的常数构成的复面。这个四维空间就包含了所有不同的初始值在所有不同的常数之下迭代的发散情况。而 Mandelbrot 集，则是这个四维图形在处的一个切片，并且是最具有概括力的一个切片。
Julia集和Mandelbrot有着紧密的联系，Julia集的许多类型对应Mandelbrot集中不同参数的取值。集里的参数对应的填充Julia集是连通的，集外部的参数对应的Julia集合却是不连通的。事实上集当中含有无限多个集的信息，由此可知集有无限精细的结构，下图显示了这种结构：

2.5 高阶Julia集的反函数迭代法

2.5.1 函数定义

对于映射，如果的任意一个子列在紧子集上收敛，则为正规族，如果在点的每一个领域非正规，我们称点非正规。Julia集的标准定义为：
（2.14）
令，我们称为前像，为后像，在复映射中，前像是唯一的，后像则有可能有多个。如果在点不正规，则在逆像点也不正规。所以，如果我们给出，则同时成立的条件。在点上我们有如下式：
(2.15)
所以，绘制高阶的Julia集，需要找到一个斥性不动点，然后计算它的逆像并在计算机上显示。

2.5.2 反函数迭代法的算法

填充的Julia集的图形可以用多种方法，比如说最基本的逃逸时间算法，还有旋转逃逸时间算法，以及IFS吸引子算法等等。而反函数迭代法相对于逃逸时间算法计算量较小，同时这种方法对于高阶的迭代具有优势，具有重要的研究意义。
对于多项式，令为一个斥性周期点，则有，所有迭代公式为：
k=0,1,...N (2.16)

设，将其转化到直角坐标系当中，实部和虚部分开展开，则有：
(2.17)
所以在直角坐标中的逆像为：
(2.18)
其中为的模。由上式方程（2.18）可知有个逆像，其中只能为整数。我们根据（2.18）式，求逆像的过程表示为函数迭代系统：
， （2.19）
其中，概率，为使得生产的Julia集图形均匀，不妨取概率相等。则有高阶Julia集的反函数迭代算法如下：
1． 设复映射阶数为，参数为，初始点为，迭代次数上界为,概率为，。
2． 如果,直接到第五步；
3． 概率由随机函数确定，根据每一个迭代函数对应的，由式子（2.18）求出逆像；
4． 如果,则对点着色；否则，回到第2步；
5． 结束。

2.5.3 逃逸时间算法与反函数迭代算法的简单比较

①　 逃逸时间算法生成的Julia集图形层次更分明，而反函数迭代法生成的图形简单，便于读者理解。
②　 逃逸时间算法更复杂迭代次数多，而反函数迭代法迭代次数少。
③　 反函数迭代法只能用于整数阶的Julia集，逃逸算法不仅可以用于分数，也可以用于整数。

2.6 本章小结

本章分析了由复二次多项式迭代产生的Mandelbrot集和Julia集，讨论了这两个集合的性质，之后我们各自分析了集和集在MATLAB下的算法，绘制出它们的图形，最后通过放大集我们发现和之间的关系，我们还讨论了用反函数迭代法分析高阶Julia集的图形和性质。

第三章 双二次动力系统

第二章 介绍了复动力系统中的简单二次多项式，但这只有涉及一个单临界点，对于三次以上的多项式动力系统，我们需要考虑多个临界点。本章主要介绍更为复杂的双二次动力系统，双二次多项式即是两个二次多项式的复合，也即是偶四次多项式，在同一个线性共轭下可以记做，其中是参数，0是它的一个临界点，另外还有两个对称的临界点。通过时间逃逸法，我们可以分析双二次动力系统的性质，绘制出它的图形，通过图形分析双二次动力系统的参数空间的连通轨迹。

3.1 双二次多项式Julia集连通性

Fatou定理在二次多项式当中是一个很重要的定理，因为它对二次多项式Julia集的连通性进行了研究并且给出了它的性质和特性。但是在高阶的多项式当中，我们却很难具体刻画集合的连通性，因为存在一些临界轨道趋向于无穷，另外一些临界轨道是有界的情况。在这种情况下，Julia集有无穷个连通分支，所以研究什么时候Julia集是完全不连通的就成为一个重要的问题，Branner和Hubbard通过研究三次多项式，发明了拼图技巧的研究方法，利用拼图技巧，他们发现三次多项式有一个临界轨道趋于无穷，另一个临界轨道是有界的。但是这种方法有一定的局限性，只能处理一阶只有一个临界轨道的情况。
定理3.1 设为双二次多项式，则有如下定理：
①　 的集完全不连通的充分必要条件是的填充集分支没有临界点。
②　 的集连通的充分必要条件是的所有临界点都在填充的集内。
③　 当的临界点不满足1，2时，的集有可数个非平凡的连通集。

3.2 双二次动力系统的分形图绘制和分析

与二次多项式类似，我们借鉴来绘制双二次多项式。

3.2.1 动力系统的性质

一个集合的自身映射，就得到了离散的动力系统，如果是在复平面上的映射，则得到多项式动力系统。我们主要介绍多项式动力系统的性质。设为一个动力系统，为初始点，令，...等等。设为动力系统的迭代序列，当时，可能收敛到使得的固定点。可能收敛到周期为点为的轨道上，还有有可能是随机摆动的。不总是趋于一个集合，那么这个集合就可能是一个分形。设的子集为一个闭集，在映射的作用下不变，对于包含的开集中所有的点，到的距离随着趋于无穷大而趋于0。我们把开集叫作的吸引域。

3.2.2 双二次动力系统算法分析

式为双二次多项式的动力系统。我们利用简单的双二次多项式族来代替一般的多项式进行研究。标记初始值迭代后收敛的组成的集合，即我们所要绘制的的分形图。令得到初始点和，为迭代不动点，选取为初始点。基于MATLAB，我们可以绘制出双二次动力系统的图形。我们给出双二次多项式的算法清单：
function Julia3(c,k,v)
if nargin < 3
c = 0.8+0.6i;
k = 14;
v = 500;
end
r = max(abs(c),2);
d = linspace(-r,r,v);
A = ones(v,1)*d+1i*(ones(v,1)*d)';
B = zeros(v,v);
for s = 1:k
B = B+(abs(A)<=r);
A = A.*A.*A+ones(v,v).*c;
end;
imagesc(B);
colormap(jet);
hold off;
axis equal;
axis off;

c=0.2+0.8i c=0.15+0.8i

图3.1不同参数c的分形图
基于MATLAB绘制的双二次多项式Julia集，通过改变参数c我们可以绘制出不同的图形，观察左图和右图，参数微小的变化图形改变却非常大。左图是一个不连通的图形，右图是一个连通的图形，由前面的只是我们知道当每一步迭代过程中的模大于2，图形就会发散到无穷，因此改变c的值会使得图形的连通性发生改变。我们同样可以改变上面的式子A=A.*A.*A+one