微分方程数值方法抛物型方程差分法题例.pdf

题目：设已给定出边值问题r du d2 u-=-0 xb,0 t W 0.1,dt dx2|u(xfOJ=si nxr,OW xW l,I u(O,t)=u(l,t)=0,OW t W O.L试用最简显格式求上述问题的数值解。C r F又:3x Fij=fJ7+i-2HL+小得：u；=0.1：+0.8：+0.1：+，（1）z J J J其中，j=1,2,3,9；k=0,1,2,99可以把:视为卜/,)的近似解因为初始条件和边值条件分别为：u(x,0)=sin/,u(0力=u(l,t)=0所以：(z/；=sinh=sin 0.1/乃，0jW10(2)=II=0，OWkWlOO(3)通过上面的(1)(2)(3)式，前田以依次 计算出k=1、2100各时间层上的值。习题4.2试构造初边值问题du d=-xd t dx.dudx,0.5 xl,0 xT,7 o=(p(x 0.5 xl,u(p.5,t=0,5u(l,t 0tT dx的显格式，并给出其按最大范数稳定的充分条件。解题。设（巧）为内网格点，在矩形范围内：工.I?1 Z,Zj一一 j+k 九+12 2对原方程进行积分得：r%iJ(X,(+)(7 X x,tk)dx7 2fx 1。=匕一匕1 dxJ一一2du、x、dx?dx方程1解题又由于J_ Z7+I UX 1.7 2解题。所以方程1左边ha(X,k+ihuh解题右边k uj+lX1J+2h15u.JX1xk ku.u.J Jh)解题所以:k+1 kU.U.J JT h2Xr=2所以显格式:左+1u.=rx jk _.1+7 2-2rx uk+rx Auk.J J.1 7+11 2%k.+r x jk,k.1 J-l.1 J+l j yn2 2 y解题0.5 x 0 X 1 Oy=-3假设：1 2巾.0Jx i 0这时差与方程右端各项系数非负，则有:解题。假定按最大范数稳定，即:kUmax1 JN-1kU.J所以只要证uk+1=uk 即可 J c He解题 -y*-0.5+jh X 1 J 2=0.5+()X 10.5+(7+1-A)21一/z)2X 1 0因此 1 y -时，按最大范数稳定。因为 0.5 1所以：14 2J1 y 2所以12是其按最大范数稳定的充分条件题目：试构造初边值问题：f du d2u 1 Su,i t 一 二-+-,0 x 1,0 t T.dt dx2 1+x dx(x30)=(x),0 x,导 数与差商之间有下列关系：T 3川:=du k/、+。?dt d u k 2F+。（）OX其中爱=出口24+也配-心2h+oh）将差商代入原方程，则有uk+i uk 1 9 z一-L 三dut+Z 2 x L/t ni皿刈31+x 2h将b；刈：替换告-同二r(M：+2时+町_+r-(刈i-i?(1+1川3其中得=(l-2r)/+r(h1+2 1+x.j(M.+1+r 1-h明7简记作：fuk+i=(l-2r)uk+r 1+-,2 1+%、/+/1一4:、2(l+xjJ(2)证明:先设网格比,又有Xj二jh 贝依1 2 r 2 0,r 1-0 2(1+“)故：1 h k+r l+-u2(1+巾h20+%),Tll(o 7 2o/u.=。.J Y J时，设为初值如下特殊形式:0,J=Jo，J Jo则代入上面的显格式可计算得u.=1 2r 02(1+)J、0说明u随j交替变号，同理可证明及随j交替变号由归纳法证：若uk 0 uk、，与 0则 J J-1 7+1：+1=(_2小：+r2 1+x.2 1+x.一+r1 0即/+i随k交替变号，同理亦随j交替变号从而有+r 1+h2(1+让(+r h1-7U.1 J-lN记 Sk=k U.Jj=u4+i=(2I电+r/h 1故当左8有5,+1仔oo，故存在 力,0/1 VN 使得修+1,（41）%即上述格式之解受初值误差的影响随k值增加按指数增加,亦即时，最简格式按最大范数关于初值是不稳定的。2du d2u24.热传导方程”面的下列两个差分格式，称 为高精度格式：(b)k+1 kU.u.J JTi一二小h 2n I or Jk+1 kU.U.J J证明它们的截断误差阶均为。卜2+此，其中(a)解:对号=会可以建立双层加权格式:k+kU.-U.J J1h2X)c*2 k+uo u.X J+(i e*2 kU.x=0ITdu dtt d2u2 dt2L,+OT2u1 左+1-2 u,+1-1k+i+uk+1d2uk+1h2 h2d4uk+dx2+12dxA+od2ukd d2ukdx2+Tdt dx2+OT2h2+一12d4u dx4k+Td2uk+J（h2+112T7ik+h2Ikd d4uk.Jdt dx4J+ot2+oo 4O Udx4k*J+OT2d2udx2k+h112。（防?）+0（人4）d4udx4k+o23-e义（），义（门 A耳一0-1），与相加，得:h212d4udx4k+o(r2)+o(r/z2)+o(r)Je topt1 12 12r时,R：p)=oG+r)将%:代入双层加权格式中，得2 12rk+1 ku.u.J JT12h2(1)1-I J2 k+1 o u.x J(1)+1+I 6“f2 k O U.x J所以，可以证明(a)式的截断误差阶为(4OT+hLudud2u(b)解:dtdx2t kL.u.h JlAuTjk+1 kU.-U.J J1h2c 2 ko u-Jr2h21 1、q 4 kO U.T6r)xJ1h22h21 1、6r ydukTd2uk+TdtJ2dt2+O(T21h262Xlk uj=回：2寸+kJJ-ld u dx2Jh2H-12d4udx4kJ+O)知卜日町2阿+M1)=心4心+6心4(+kj2=4h2d2uk47?d4ukdx22h2J+3dx4J=h=7z4=4d4udx4d4ua%4T2h4kj kJ+-4h2+0（介6）h6o 6 o uk+6=dx6T2/z4d2udx2+O（力8）A4d4ukJkh6+一6A43d4udx4d6udx6kJkJ+o+T2T2r 12h2 6rS dx4ka4uTdx4rh2+12d6u+O()*7 1=12h2hdu dx4kJh212d4u dx4k+J+O+1人4L三du dtT2kT+.2jd4u dx4kLdu d2udt dx2d2u dt2k力2+。(,4)+d4u dx4k+O卜2+/4Jd2udx2kJkJh212+O)d4u dx4k+J所以，可以证明(b)式的截断误差阶为。卜2+/)5、试研究对流扩散方程初边值问题9r du du du-+b=ffi x Ofi t T dt dx-dx|(x,0)=0(x),O x 1,=(1/)=0,0 tT的如下两个差分格式：(l)/+i=(1-2r)uk+r(l-L)uk+l+L)uk_x+rfk;J(2)uk+i=1-2r(l+L)uk+ru k+1+r(l+2L)uk_i+分析格式的相容性和稳定性，这地 为正常数,1L=ahb，格式的初边值条件取(417)。j=6(三 0(X/)k ko=解：对于(1)丁=(1-2r)u；+r(l-L)/+r(l+L)uk+rfj;可转为:k+1 U.Jk r k.=u.-2ru.+ruj jk y k k 丫 k r k-rLu i+rLu 1+4J+1 J+l 7-1 7-1 J J又转为：E+l k/ku.-u.=r(u qJ J /+1k z k k 丫/k _ k ._c k _%)_ M%一町一i)rL(%.+i+盯7)+%有差分方法得：（中心差分的方法）0 2 /3）=寸：+。（力 2）=内；刈：+。（人2）ex h式中式皿：=山以-2刈：+刈:表示括号内函数在网点（j,k）处的值同理：在X轴上差分 有 又!7 2(/z+rL-，沏T说 rLX17对于对流方程可写为:Lu=dud2uT du+b dxb为正常数可以得到:由此得到Lu在网点(j,k)处的关系式。根据 k k k及卜川宜+后皿rL du织班-当u满足对流方程时，即Lu=和寸，对流方程可在网点(j,k)处用小k r.k rL du k列方语加借口 一77名町一反嘉/2 用 oxr h2Tj=1、2N-1,k=0、1、2.Nt-1根据边界条件”（x,0）=0（x）,O x 19（0/）=i/（l,/）=0,0 t 2.N-1左加表示差分算子用4表示局部截断误差:根据定义423知，若当丸(05)时，对于充分光滑的函数 有3 0,则称Lh是微分算子L的相容逼近。可知该对流扩散方程满足以上条件。对于(1)差分方程的局部截断误差有估计式 Rk=ot+7z2)则Lh对L的逼近是（1,2）阶的。并且1,2均为正数，则Lh对L的逼近是相容的。判断稳定性：差分格式可写为：uk+(x)=(1-2r)w(x)+r(l-L)uk(x+h)+r(l+L)uk(x 一 h)其 N=T）八则有：k/k z、iox(x)=v并代入上式,k+Vz z-f r iah.-iah T iah _ T-iah、k/、(m)=(l-2r+re+re-rLe+rLe)v(m)利用欧拉公式:iO.-id e+e c os 0-2iO-id.八 e e sin =-2i则上式可写为:vk+l(m)=1 2r(l c os ah)i2rL sin ahvk(m)可以得到传播因子为：G(o r)=1-2r(l-c os ah)-i2rL sin ah根据定理4.4.1可知，按l_2范成1 稳定的充分必要条件 0 7 品是存在叫&供画0 1+Mt时，功茜足麻式：呦g修苞单多,十2r c os oh-ilrL sin crh从而原会得到：从而得到：|G(c 小 1得出：G(ct,r)=1 2f+2r c osbh i2rL sin oh 1从而得到:1 2r+2r c os ohi2rL sin oh 12r 1 2r c os oh+i2rL sin crh 1得出：尸,(J_ 21-2 2L21 J_r r-22所以当满足 2 且时此差分格式稳定。(2),i=1-2r(l+)：+rukj+i+r(l+2L)u：+守:.展开得：女+1 k r k ct_左 k _ k u、t k.u.=u.2ru.2rLu.+ru.+ru.A+2rLu.1+J J J J 7+1 7-1 7-1得k+1 k z-i.r 丁 r k k t k k-iuj=Uj r(l+2L)wy _i+ruj+x uj 由下列得:k1 du k7 J+o(h)kU.Jdu i 一”：dtT+o(h)+0（工）则:k+U.Lu=kf 尸(1+2)加液四#t h dx 7-1 h dx j该差分格式是偏心差商逼近的格式，其局部截断误差为：Rk=o(c+A)J.判断相容性：贝扎h对L的逼近是（1,1）阶的。并且1,1均为正数，则Lh对L的逼近是相容的。判断稳定性:转化为：uk+i(x)=1-2r(l+L)ux)+rux+h)+r(l+2L)uk(x-h)k/k z rox u(x)=v m)e并代入上式得vk+1(m)=1 2r(l+Z)+relh+r(l+2Leiah vk(m)得到传播因子为：G(a,r)=l-2r(l+)+rei(rh+r(l+2L)e-iah得：G(ct/)=1 一 2r(l+)+2r(l+L)c os oh-IrLi sin oh根据定理441当满足G(b4)1得:G(c r“)=1-2r(l+)+2r(l+Z)c os ah-2rLi sin ah 1从中：2r(l+L)+2r(l+L)c os ch-IrLi sin cfTz 0Y、r(l+Z)-1-lr(l+L)c os oh+rZz sin o/z 0厂 r (1+L)211 1当满足厂丁（1+为宜4元 式稳定。（1+）时（2）式差分格7、对问题（413）,（412）建立半显式格式+1 k,一,=2 二_ 7:+）定解条件为t h（41.7）,试研究格式的截断误差阶及稳定性。对矩形空间进行划分:X=jh.j=O.L-Nt=kr k=0.L.N-j r i i rr if 其中h=(空间步长:时间步长.节点(Xj.t k)简记为(j.k).方程的解u(xj)在节点的取值简写为u$g+1)(H,k+1)(j,k+l/2)(j,k)(j+l,k)I1、求截断误差解：记=（招。是微分方程的解，由截断误差定义显然A同厂-叫 卬心二一相（%：；-同7-叫+九）分别计算在+处T ayl or展开式刈，1=u(x tk+T)=tk J/JT 7、+)2 2(、2T k+-二 Jt du+2 dt1 k-一=Wj2r du2 dtJk+-2+2!22!d2udt2J2+O(T3G-左 d u 2+O(T3(1)(2)M=u(x.T Th k+/)(Xy _ h k-1)k+-TH2+2!d2u 1k+-2dt2+o(r3再将u(x j h)t卜1)在(x)处展开叫一:+h3U23!dx3+Jd2udx2k+-27即i=u-h7 1 9加产（j）。2Uk+-2+(3!工+2 dtdx.-1 J12!k+-2J-ldx33Udx27k+-2+o(，)(3)jTk T Ti=u(x+h.tk+)7 7 2 21 上+一 MJt du2 dt1 k+2+7+12!d2u dt2k+-2+7+10(T3TT再将(X.+卜3 )在(工/“-)处展开7 2 7 2k HM=+：+h J Jdu1 k+2dx.Jh2+一2d2u dx2k+-23!d3udx32+。(4)JJ即(4)由（1-4）得du 2(八 a+0卜)-2dt.h二JDrh22Uk+-2dx2J+o(h4)+2dti/c+7-12 j4+r)/又du 2dt+o()三这样K：=Lu：-4H：，注意到(x/)是方程的解，那么1一。一I 左H。2 2a-=0dxdu k d2u-a-dt.dx1-1 J L二0,（TS从而h1+t2 d，I h）2、证明稳定性令一三，则格式变形为:h2令/=V，。代入上式:Jk+u.e ji(y jh k i(y ih/k+l ia(jh-h)-v e=anv ek+l icy jh-v e两边消去*&整理得:传播因子:G（o“）=ar+ar cos oh+iar sin oh1+ar-ar cos oh+iar sin ohG(7,T(1-ar+ar cos oh+sin oh/+ar-ar+(a sin。力1+la y1-2a2r2 coscr/z-2ar(l-coscr/z)1+2 2r2-lav1 coscr/z+2ar(l-coscr/z)1则由定理441得无条件稳定第9题du d2uLu=-a=f,dt dx为正常数(4.1.3)对微分方程初边值问题w(x,O)=(p(x),Q x 1(0.)=Q,0tT(4.1.2)3Z k+l k u.-u.(k k1、U.-U.公2 k+lO U.,J 221建立差分格式j=1.N-l.k=巴(三 9(0)j=Q.Nh20U.TTk=0(4.L7)k=2.试研究格式的收敛性与收敛速度。解答如下：由Lax等价性定理：对适定的线性偏微分方程初 边值问题而言，一个相容的双层差分格式收敛的 充分必要条件是格式稳定。:所以，通过分别研究格式的相容性和稳定性，便 可得到格式的收敛性。对于相容性，定义验证，利用Taylor展开式计算。:对于稳定性，利用传播因子法:对于收敛速度，通过整体截断误差满足的方程计 算其阶.相容性。解：记=(x)是微分方程的解，由截断误差定义将“（X#在（x+c）处作Taylor展开，可得duu(xt)-u(xt+t-t)=u(xt+r)-r(x+r)+-；dt 2!dt(xJ+r)-dt 21 dt取 X X j t h 有r 述+1 r Ak r _-xk+1 r 2 l4+lw j-L。r du+t dt 2!dt2L J J L,0(力将C）在（x/+c）处作Taylor展开，可得u(xt-r)=(x/+c2c)du-u(xt+t)2t(x/+c)+dt(It)2 d2udu乂(x)=u(xt+r)-r(x+c)+dt21 dt22个2 T O U2!dt1(x+r)+0(l)(x+c)+0(/)故(*/)(x4-u)_ du取 x=x,Jdttk,有3t d2u(X+T)-y 2 dt(xt+r)+O(，)加之3cd2uk+ldt2dt2+0(，)(2)dtT3tk-1、U.7d2uduk+1dt4+1+2!dt2k+i2dt2+0(1)o(力+o(，)(2)同理k+1即r+1 4+1 r 左+1 j 2uj+1-2u.+u._1=h+0k+ldt+0（r2）+=0 注意至【J”=()是微分方程的解那么23 0,比二力二久此差分格式是相容的二.稳定、收敛要判别常系数差分格式的稳定性，只要算出传播因子G（o,了），判别是否满足V o n N e w m a n n条件。3对于差分格式-2e2 k+1 3,令r二贝！h1/k+1 k.(k A1、/A+l.k+1 A+l、-u.)Ho.-u.)=2ar(u.-lu.+.1)j j j j v j+i j 7令yk=/-,则原格式转换为格式组(c A 儿+1 3 A+1 c 1+1 4 k kI 3+4ar)u.-laru.-laru.=4u.-v./j j+i j-i j jk+kV.=U.J J令崂=，有令状二夕，皿”代入上式得3+4ar-4ar cos ah00】一 4q=1 1即G（a，）=3+4ar-4r cos。0Tj4-11 1 043+4ar-4arcosah013+4ar-4arcosah1特征值2（。,r)=I 2(2 Jl-8r sin/1 2/2(bh3+8ar sin、2，max|2|1格式无条件稳定。由lax等价性定理，格式收敛。三收敛速度以=(*/)表示方程4.1.3的解，以&表示差分格式的解，令=uY-ukJ X J J因=L A+K：()故J L J JLhek.=-A；()=O(，+/i2)=0，d=或=0应用引理422则有max e：MTmax Ru)=O(t2+h2)得收敛速度为Q2)阶。10.考虑初边值问题du d2u d2u-=-T+2dt dt2 dy 0 x,y 1,0 t 左+1 u.=(1-4r)u：j+v(u：+i j+ukz-1k式中r t I h1同理隐格式为:k/、A 左+1 Z 上+1 左+1 左+1 上+1 ij=（1%包 j+七小+%,）式中r=t/h2在k=2m-1,即奇数层时用显格式层，在k=2m偶数 层用隐格式，所以方程的隐显格式是:2 加+2 2 机+2 2 机+2 2ni+2 2m+2 2m+l(1+2*U1,j+UM,j+e+小J=2m+l 2m 2m 2m 2m 2 加I Ui,J=(1-+i=1,2,N-1J=1,2,N1m=0,1,，T/2t1.式中r=t/h1该公式可以参考课本169页公式(4-5-14)利用分离参数法研究隐显格式稳定性:2 用+l 2m+（7+）（72）uhj=v e2 加+2 2 沈+2 0（7+）（72）Ui j=v e分别代入公式(1)可得2?+1外/2。/V=(1-4r(sm(丁)+si n()v（2）2 加+2 /1 一/2Q/-.2/0/、一1 2 加v=（i+4r（sm（T）+sin（下）v（2）/（3）可得2加+2V1-4r（sin（丁）+sin,2 2 2冽12 2/T 用i+（sin（彳）+sin（，）乙 乙（4）由式（4）可以看出1-4r（sin（二）+sin（丁）g（m）二-V-?/T 力）rr hi+4r（sin（；）+sin（十）可以看出G（o,t）1,满足von Neumann条件所以隐显格式即式（1）无条件稳定。12.若在求解10题中的初边值问题时，采用如下差分格式k+1 ku u U ijA28uXZr 4-11U一 k-1+8 u I y u JT试讨论格式的稳定性。易知，原式可化为:k+l ku U 二 iJ iJ 2h 所以4令722 k+1 2 ko u+o uX ij y ij-故上式可写为uk+x IJku IJ/k+o u *y u-2 k+1r S u.X ij即有(l-r62)uk+i=(l+r2uk X)ij y)IJc*2 k k c k.k又因二阶中心差务%/=%+,/2%,+%-J；(1)2 k k r k ko u.=ii.Zti.+u.1；tj V U V c e2 k k 2T b l(x+)+b 2y c k i(Jxx+(y2y t k io-(x-hy(y2yo u.=v eL-2ve+v e L;X IJ 只2 k _ k zb i X+b 2(y+)k i(alx+a2y)k i_crxx+(y2y-h)o u.=v e-/v e 十 v e y u 9所以（1）式可以写为如下形式:k+li(riX+(y2y)_ pyk+i(%+/)+1+4r sm-v=1 4r sm-v;2 2n传播因子G（b,由定理4.4.1可知,1G（b）=-14-2 b?h4r sm-_2_.2 oh 1+4r sm-2若此格式稳定，则只需1丁）=-4.2 o-2h4r si n-24-2 oh+4度 sm-1故只需满层4rsm2 21即 r=l/2故当且仅当r二1/2时,此格式稳定。13.试证明三维问题的PR格式左+1/3 kU-UT3左+2/3 左+1/3U-UT3k+1 k+2/3U-UT31 2 k+13 z o 62、k q7T区 u+(J+8z)u h1 r/s?2 1 o 2、左+1/3 r 2 左+2/3-|7T l M+2)+h1/5?2,e 2、k+2/3$2 k+1-i2)+8zu n（其中，为枷 的简写）不再无条件稳定的。解题思路:消去过渡项/”、J+2/3,化简原方程:*2、利用传播因子法证明稳定性：令：左一/91%+。2歹+”代入VI V t z左+1 r Z kv=G(cr,r)v*G(b/)k+l 左+2/3 r r c2 k+l，/s2,c2 k+2/3 7u-U=oz u+(ox+oy)u J即：(1/1 y c 2 x k+2/3 1 丫 z c 2 c 2 x-i 左+1/31(1-Sy)u=1+8x+8z)u(l-3f)uk+1=l+(b；+S；)，+2/3消去过渡工j/M”上+2/3U7由式左+1/3U-U1+1/3U1-323 11-323 7k+2/3U式可消去i得1+-(2+2)3 zr1+：(尺+)3 k-UX-813%(1 一了;左+2/3U1+泊+H)-3同理可消去得（1夕；）（1一21-”1=口+；3；+月）1+：（小）1+泗+&）/J J J J J J利用传播因子法令：后=?左/。/+/夕+62），代近上式，则有l-（e-2+/助）1-e叼-2+e-!）l-匚（却h-2+-切）+1建户”+少）3 3 3二1+-pA-2+e何+盘-2+丁弘）1+二年卬-2+叩+川-2+/叼）3 31+L（-2k-2+eiJlh+e5k-2+0-叫”/（。1 计电尹卬）3由欧拉公式：产=cosx+zsmx可得=2cos%,则上式变为:11-r(2 cos b、h 2)11-r(2 cos cyh 31-r(2 cos-2)k+i v11 一l+-r(2cos(r1/i-2+2cos(T?A-2)1+-r(2 cos A-2+2 cos(yh-2)3 3 3|1 1+r(2 cos cr?h-2+2 cos ah-2)3k V由：1 一cost=2si n2上式变为:2(41 dr si n32 oh2八41 Hr si n32 O2k)2八l+3sm3乙 32 J4/1-r si n2321-r si n34/2+si n 22k+i V2 J41-r sin3n cr h o cy q h-+sink V22 J可得传播因子:G（b）=si吼+S”3 I 2Gh.2/1+SH1 2 24 f 2 a h.2%口1-r sin F sm 二一312 2 Jl+3sir吼+也,坟3 2八 3 2八 3 2由于G(b/)中不含八/.|G(a9r)1 o格式稳定3当 V时，G(b/)1,三维PR格式稳定23当时，G(b )|1,三维PR格式不稳定2由此可证三维问题的PR格式不再是无条件稳定的1 5题.试分析二维热传导问题的下列ADI 格式的稳定性与截断误差阶：r/*2、k+1/2(a)(/一万名)%(，+：(/+犷储2z T/2、4+1 k-h 1/2(3%)=%(b)(1-(r-1?11 1 2(/+/+*)k u题目分析1 ADI格式是交替方向隐格式（4.6节详细讲解）2.判断PR格式稳定性*依据：对任何一二0，均有I G（s/）|1 贝U PR格式无条件”定。3,求截断误差阶（4节GrankNicolso格式）依据：人力=心力+。（/（G介）其中解答过程:(a)给两个等式编号：（/）咪、（/+g（1.1）（1.2）(1)首先判断截断误差阶把12式代入1.1式得（/-；/）（/-=（/+|）（7+J）%2 2整理得（z2-J2-2+-5靖）小=（/2+二5+2u+r_）/2、2、4 2、2y 42（/+丁范）（:-；）-&3；+8）（:+；）=0I表示恒等算子，其中 y无2工2得到(/+762b-Uj 4/z x歹八 w2 k+等式两边同除以工得（/+J爻2）（&4h x yT 2/z2 k u.IJ+岑)(7+%：)=0T）一/（殳+岑X hA+1,k U.+.-)=02t 2/Ik k+1,kH.10c a+H-)-*+d)(”n 2)=0这就是课本171页4.6.5式，设u为4.6.1式的准确解，并记ut/i J u为充分光滑的函数时，泰勒展开式为加T/一 H-I 左+1 一叱后=U+Tdt.2TJrd2u/2x国,+。与134页解法相似。得到kd2u(1.2)1、0 +也/5+岑)(丁 )h 2dx1T+2 ijd_ dtk+O(2+/(1.3)把1.2式和L3式代入整理得2Lhuk=(I+l J 4/z49 9 uf+x-ut 5；耳)(jjT1.9 uk+l+uk.)-*+w-)du d(d1 u d2u 2 2=-7+O(r2+/z2)dt dt dy j=M+O(/+/2)则截断误差为。（尸+后）(2)判断稳定性(/-：，)(/_ 二d：)u；1=(/+二，)(/十;代)uj进行变换，得k+u.ur 9 r?(/+54)(/+&4)卜lL.r 9 r?l J(八产(八八)令吟=v),/=吟X IJ+ljc k、k2u.+u.IJ z-1J代入得(1+d2)Uk=J+d2/v 2 x j u ij 2 x ij=/+_ 2+eiSlh)vk 2=v“l+_(*/_ 2+/”)2=vkl+r(c os5 xh-1)同理可得（1+丁：）：=怖1+”时-2+/=v 1+r(cos c rJ-1)=v(l-2rsin2%h(1 一2b：)：=vl_二(el(Th-2+el(Th)=vl-r(c osoh-1)=vl+2rsin2 2 x u 22空)2Q _ 13M=vk-(e1sh-2+屋对)=#1 _ r(cos a2h-1)=vl+2rsin2(tJ把以上四个等式代入得k+V(1-2r sm-)(1-2r sm-)2 2 k-V(1+2r sm-)(1+2r sm-)2 2传播因子为G(s)=c.2 S 2(1-2r sm)(1-2r sm 2 2(1+2r si n2W)(i+2信)2 2显然，1 2总有T1 s Ji 0#si n2-1 22rsi n221一 E*12rsi n2 2所以，对于任何=A。，总满足|G(s J)|1结论：与PR格式等价，无条件稳定。(b)先给等式编号1(2.1)a+i/2(2.2)第一步求误差阶第二步判断稳定性(1)求截断误差阶对2式和2.2式变形得/+i/2_ J_(/.1/2 (/+(r+)d2uk)=0ij 2v%1j、ij 2v 6丫”(2.3)2.3式减去2.4式得t2 k+1/2 z k z 、r2 k I 左+1d u.-(.+(r+u.+x ij、ij 2v 67 y u lJ整理得C+l/2.1 12 左+1/2 lu.+a u.u 6*ij2.3式力口 2.4式得k+1 u.IJ1 1(r-2612 k+1/2 rd u.)=0X IJ 7整理得j2+l/2 rd H.X IJk+lIJuk.-(r l J 22广1(r+216(2.6)2.5式比26式得2+：d_ 说-(r-(r+()=%+亡i (r-)(i2w+1+(r+)d2uk 2 6 2 6整理得（2+9）（0小+X1-Ha-*/咪+；（心利）展开得（2+）（咪）0；（2+1）（同（4+犷）+；（2+?）1（厂-4）=汨：（4+）-；（-：）l&+：）；）（2+%：）（广-；）+；（2+%；）/（1-u；1 12 2A）=（2+4）（,（,；+u.:2 6R1U）+（：+噌）+4）化简得（2+%：）+*（2+:4）+/）（广.吊尸（U+七时4+（2+%：（%/+：）进一步整理得(2+/+$；+*西+23 广k 1.k,c c r、w/7 十 uri.)=Qrd+2rd+d d)(-)ij J x y 3 x y 八 2 711 1 2 k+1(1+d2+-d2+d2d2+Jd2d2)(工12 v 12,144 4/1 2 1 2/22 UT9+不.（1+丘）+源T方；）（工把尸=上 2代入得1 1 1 t2(2+d11 12 1+(fd1+7 d2 d2)(u 16 x 6 y 72 2/311两边同除以21得k+,k=9(2,+2+*)(匚产)h 3 2k,k+1,ku.1 c r 1-)-不(+的：)(r)=on 6 2进一步整理得k 4 k+,kU：1)c 1 h 6 21 1 r2即 加:=（1+行（1+不斗+市懑;）（X4 2乙 Ik k.左+1,kU：-U.1、-1-+U.，-）-77（；+/岑）（-）=0t n 6 2泰勒展开式=：I J I J+Tduk中2 T H-2d2u dt2k+o（工 2 得-;T卜）（1A2du dtkUT+24可k2dx2 IJd2 u dt2d2udx2+。（力ifkT+-2d_ dtd2uy+京J+O12+为2Aj=M2心心7/20%H-12 dx4k+O（4）yk?-2u+uJk，一1d2udy2h2H-12 IJ由4由以上各式得女 1 244=（1+不可）。JL2 4+1 k k+1 k1?T 7 7%,1 9 7 1?U+U+)+-S2S2)(-f-7函+4+_尸尸)(-匕)12 y 4/八 r h2 x y 6 x y 2du d(82u8 t 小J+0(1+/)=M+O(d+/4)则截断误差为0（1+/）(b)先给等式编号(2.1)(2.2)(1)判断稳定性由2得化+1/2U1 1 2(/十 二(/+二)4,)2 61 1 2。彳(-)2 6kU ij(2.3)由2.2得+1 U.ij1 1 2(/-(r-2 O&+1/2 U.U(2.4)2.3式代入24得一+1 UU（/+：（尸+：）彳）（/+=（+：）2 6 2 6CH)J W)b：)2 6 2 6kUU整理得（/一，（一）.（/-，=（/+，（尸+）5；）+，（/+J）b；）.力 2 6 2 6 2 6 2 6.儿+1ij(1-2(r+)si n2-)(1-2(r+)si n26 2 6 2 1ku1 c A 1$h”(1+2(r-)si n2)(1+2(r-)si n2)6 2 6 2(1+2(-r-)si n2-)(1+2(-r-)si n2 S-6 2 6 2*-u.1 c A 1 s(1+2(r-)si n2)(1+2(r-)si n26 2 6 21 1 s h.0 s显然-度-*满足|G(s/)|1结论：与PR格式等价，无条件稳定本题用到的知识点1.判断PR格式稳定性(4.6节详细讲解)。依据：对任何=5 0,均有|G(s/)|1 贝UPR格式无条件稳定。2,求截断误差阶(4.1节Grank-Nicolso格式)依据:Lhu=Lu；+O(/(r9)甘由 k。(d1 u d2u其中 Lu：=-r+dt dt dx dy)