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第十章 齿轮机构及其设计
第一节 齿轮机构的应用和分类
一、齿轮机构的应用
1、功用：
齿轮机构可用于传递空间任意两轴（平行、相交、交错)的旋转运动,或将转动转换为移动。

图10—1 图10—2 图10—3
2、优点：
①传动比准确、传动平稳.
②圆周速度大，高达300 m/s。
③传动功率范围大，从几瓦到10万千瓦。
④效率高(η→0。99)、使用寿命长、工作安全可靠。
3、缺点：加工成本高、不适宜远距离传动。
二、齿轮机构的分类

图10—4非圆齿轮 图10-5斜齿圆锥齿轮

图10—6曲线齿圆锥齿轮 图10—7准双曲面齿轮

第二节 齿轮的齿廓曲线
共轭齿廓：一对能实现预定传动比(i12=ω1/ω2)规律的啮合齿廓。
1、齿廓啮合基本定律
如图10—8所示，一对齿廓在K点接触时，速度不相等：vk1≠vk2,但法向速度应相等：vkn1=vkn2，根据三心定律，P点为相对瞬心:
i12=ω1/ω2＝O2P/O1P
齿廓啮合基本定律:互相啮合的一对齿轮在任一位置啮合时的传动比，都与连心线O1O2被其啮合齿廓在接触点的公法线所分成的两线段成反比。
分点P称为节点。P点分别在与两齿轮固定的平面内的轨迹称为节线。显然一对齿轮的啮合相当于两齿轮的节线在作纯滚动。如果要求传动比为常数，则O2P/O1P为常数，P必为一个定点。两节线为节圆,相切于P点,两节圆作纯滚动.如果传动比不恒定,则O2P/O1P为不是常数，节线为非圆曲线.
2、齿廓曲线的选择
常见齿廓曲线有渐开线、摆线、变态摆线、圆弧、抛物线等，其中渐开线具有很好的传动性能,而且便于制造、安装、测量和互换使用等优点，因此应用最广。
第三节 渐开线的形成及其特性
1、渐开线的形成
如图10—9所示,―条直线在圆上作纯滚动时,直线上任一点的轨迹即为渐开线。
BK－发生线,
基圆－rb，
θk－AK段的展角。
2、渐开线的特性
① AB =BK；
如图7—10所示，发生线滚过基圆的长度等于基圆上被滚过的弧长.
②渐开线上任意点的法线切于基圆
图10-9
如图10—10所示，渐开线上任意点的法线即渐开线的发生线.

图10—10 图10-11
③B点为曲率中心，BK为曲率半径。渐开线起始点A处曲率半径为0.
④渐开线形状取决于基圆：如图10-10所示，基圆越大,渐开线越平缓,当rb→∞，渐开线变成直线，齿轮变为齿条。
⑤基圆内无渐开线。
⑥同一基圆上任意两条渐开线公法线处处相等。
A1B1 = A2B2 B1E1 = B2E2
3、渐开线方程式

图10—12 图10-13
压力角：如图10—12所示，啮合时K点正压力方向与速度方向所夹锐角为渐开线上该点之压力角αk。
αk =∠BOK
rb＝rk cosαk
极坐标方程：
tgαk= BK/rb=AB/rb
= rb(θk+αk)/rb
θk = tgαk-αk
上式称为渐开线函数，用invαk表示：
θk ＝invαk＝tgαk—αk
4 渐开线齿廓的啮合特性
1）、渐开线齿廓能保证定传动比传动
如图10—14所示，
i12=ω1/ω2=O2P/ O1P=const
工程意义:i12为常数可减少因速度变化所产生的附加动载荷、振动和噪音，延长齿轮的使用寿命，提高机器的工作精度.
2）、齿廓间正压力方向不变
如图10—14所示，N1N2是啮合点的轨迹，称为啮合线，该线又是接触点的法线，正压力总是沿法线方向，故正压力方向不变.该特性对传动的平稳性有利。
3）、运动可分性
可见传动比为基圆半径之反比.实际安装中心距略有变化时，不影响i12，这一特性称为运动可分性，对加工和装配很有利.由于上述特性，工程上广泛采用渐开线作为齿轮的齿廓曲线.

图10—15 图10—16
第四节 渐开线齿轮各部分的名称和尺寸
一、外齿轮
1、名称与符号
如图10-15所示：
齿顶圆——da、ra 齿根圆——df、rf
齿厚—-sk 齿槽宽——ek
齿距（周节）—— pk= sk +ek 法向齿距（周节）—- pn= pb
分度圆——人为规定的计算基准圆
分度圆上符号：d、r、s、e，p= s+e
齿顶高-—ha 齿根高——hf
齿全高—-h= ha+hf 齿宽——B
2、基本参数
①齿数—-z
②模数——m
分度圆周长：πd=zp
人为规定：m=p/π只能取某些简单值，称为模数m。
d=mz， r = mz/2
模数的单位:mm，它是决定齿轮尺寸的一个基本参数.如图10—16所示，齿数相同的齿轮，模数大，尺寸也大。为了便于制造、检验和互换使用，国标GB1357—87规定了标准模数系列，如表7—1。
表7—1标准模数系列表（GB1357－87)
③分度圆压力角
如图10—17所示，由：rb＝ri cosαi
得:αi＝arccos(rb/ri）
对于同一条渐开线：
ri ↓→αi ↓αb＝0
定义分度圆压力角为齿轮的压力角：
α＝arccos(rb/r)
或 rb＝rcosα,
db＝dcosα
α是决定渐开线齿廓形状的一个重要参数。 图10-17
规定标准值：α＝20°。某些场合采用α＝14.5°、15°、22.5°、25°.
由d=mz知：m和z一定时,分度圆是一个大小唯一确定的圆.由db＝dcosα可知，基圆也是一个大小唯一确定的圆。称 m、z、α为渐开线齿轮的三个基本参数。
3、齿轮各部分尺寸的计算公式：
如图10—18所示，齿轮各部分尺寸的计算公式：
分度圆直径：d=mz
齿顶高：ha=ha*m
ha＊ —-齿顶高系数，取标准值ha*＝1
齿根高：hf=(ha＊ +c＊）m
ca＊ ——顶隙系数，取标准值c*=0.25
全齿高：h= ha+hf =(2ha＊ +c*)m
齿顶圆直径:da=d+2ha =（z+2ha*）m
齿根圆直径：df=d-2hf =（z—2ha＊-2c＊）m
基圆直径：db=dcosα=mzcosα
法向齿距：pn=pb =πdb/z=πmcosα
=pcosα
统一用pb表示。
标准齿轮：m 、α、ha* 、c＊ 取标准值，且e=s的齿轮。
图10—18
二、齿条
如图10—19所示,齿条为z→∞的特例。齿廓曲线（渐开线当rb→∞）→直线,齿条特点：
1）压力角处处相等，且等于齿形角，α为常数。
2)齿距处处相等: p=πm pn=pcosα
其它参数的计算与外齿轮相同，如：
s=πm/2 e=πm/2
ha=ha＊m hf=(ha* +c＊)m

图10—19 图10—20
三、内齿轮
结构特点:如图10—20所示,轮齿分布在空心圆柱体内表面上。与外齿轮不同点：
1）轮齿与齿槽正好与外齿轮相反。
2）df〉d>da，da＝d—2ha ，df＝d+2hf
3）为保证齿廓全部为渐开线,要求da〉db.

第五节 渐开线直齿圆柱齿轮的啮合传动
一对齿轮传动时,所有啮合点都应在啮合线N1N2上.但是，并非任意一对齿轮都能正确啮合，如图10—22所示，当pb1〈pb2或pb1〉pb2时,都不能正确啮合，只有当pb1=pb 2时,该对齿轮才能正确啮合。
一、正确啮合条件
要使进入啮合区内的各对齿轮都能正确地进入啮合,两齿轮的相邻两齿同侧齿廓间的法向距离应相等，即:pb1= pb2
将pb=πmcosα代入得：m1cosα1=m2cosα2
图10-22
因m和α都取标准值，使上式成立的条件为：
m1=m2，α1=α2
结论：一对渐开线齿轮的正确啮合条件是它们模数和压力角应分别相等。
二、中心距a及啮合角α’
2、1外啮合传动
对标准齿轮,确定中心距a时，应满足两个要求：
1）理论上齿侧间隙为零。
2）顶隙c为标准值。
显然： a=ra1+c+rf2
=r1+ha＊m+c＊m +r2-(ha＊m+c＊m)
=r1+r2=m(z1+z2）/2
图10—23
标准中心距:a=r1+r2
两轮节圆总相切有：a=r’1+r’2=r1+r2 r’1 =r1，由两轮的传动比有：
i12 = r’2 /r’1= r2 /r1 r'2 = r2
故节圆与分度圆重合。
如图10-23所示，啮合角α’:N1N2线与VP之间的夹角，即节圆压力角。
标准安装时:α’＝α，rb1＋rb2=(r1+r2)cosα=acosα
非标准安装时：由于a’〉a，两分度圆将分离,此时α’〉α。
但基圆不变:rb1＋rb2=（r1’+r2’)cosα’=a’cosα'
比较得：a’cosα'=acosα
2、2齿轮齿条传动
如图10-24所示：
标准安装:节圆与分度圆重合，节线与分度线重合，α’＝α
非标准安装：N1N2线与齿廓垂直，故节点位置不变，且节线与分度线不重合，
但r1’=r1，α’＝α

图10-25
图10—24
三、一对轮齿的啮合过程
图10—26
如图10-25所示,轮齿在从动轮顶圆与N1N2线交点B2处进入啮合，主动轮齿根推动从动轮齿顶。随着传动的进行，啮合点沿N1N2线移动.在主动轮顶圆与N1N2线交点处B1脱离啮合。
B1B2－实际啮合线
N1N2：理论上可能的最长啮合线段——理论啮合线段
N1、N2——啮合极限点
阴影线部分-—齿廓的实际工作段。
四、连续传动条件
如图10—26所示，为保证连续传动，要求：实际啮合线段B1B2≥pb（齿轮的法向齿距),
即: B1B2/pb≥1
令 εα= B1B2/pb
εα为一对齿轮的重合度
一对齿轮的连续传动条件是：εα≥1
为保证可靠工作，工程上要求:εα≥［εα]
［εα]为一对齿轮的许用重合度,见表7-2.

重合度εα计算公式：
①外啮合传动,如图7—27所示，
∴ εα=[z1 （tgαa1 — tgα'） + z2 （tgαa2 - tgα’）］/2π

图10—27 图10—28 图10—29
②齿轮齿条传动，如图10—28所示，
εα=［z1 (tgαa1 — tgα’ )］/2π + h*a /πcosαsinα
③内啮合传动，如图10—29所示，
∴ εα=［Z1 （tgαa1 -tgα’）-Z2(tgαa2
—tgα’）］/2π
εα的物理意义：表示同时参与啮合的轮齿对数的平均值。
当：εα↑→啮合齿对↑→平稳性、承载能力↑
举例：εα= 1。45d的意义：
如图10—30所示，由题意知：
图10-29
B1B2=εαP b = 1。45 Pb第一对齿在B2点进入啮合；
第一对齿从B2运动到B3点时；
第二对齿在B2点恰好进入啮合。
第一对齿从B3运动到B1点时；
第二对齿从B2运动到B4点时.
第一对齿在B1点脱离啮合后，
只有第二对齿处于啮合状态。
当第二对齿从B4点运动到B3点时,
第三对正好在B2点进入啮合，开始一个新的循环。
单齿啮合区
双齿啮合区
如图10—32所示，可知影响εα的因素为：
①εα与z, h a*，α'，α有关而与m无关.
αa＝arccos（rb/ra)＝arccos(db/da)＝arccos［mzcosα/（mz+2ha* m)］
＝arccos[zcosα/（z+2ha＊)］
②ha*↑→αa↑→εα↑
③z↑→ da↑→B1B2↑→εα↑
④α’↑ →B1B2 ↓→εα↓
⑤α↓→αa↑→εα↑
当Z1,Z2 →∞时，如图10-33所示，
εα→εαmax
PB1＝PB2＝ha＊m/sinα
εαmax=（PB1+PB2 ）/pb=2 ha＊m/(sinαπmcosα）=4 ha＊/πsin2α
取：α=20°， ha*=1，则εαmax =1.981。

图10—32 图10—33

第六节 渐开线齿轮的变位修正
一、齿廓切制的基本原理

图10-34
齿轮加工方法有铸造法、热轧法、冲压法、粉末冶金法、模锻法及切制法，其中最常用的是切制法，根据加工原理不同，切制法又可分为仿形法和范成法两种。
图10-35
范成法(展成法，如图10-35所示）加工齿轮相当于一对齿轮互相啮合，因此加工时一种模数的齿轮只需要一把刀具连续切削，生产效率高,精度高，用于批量生产。具体加工方法有插齿（如图10—36所示）、滚齿（如图10—37所示）、剃齿和磨齿等。

图10—36 图10-37
2、用标准齿条型刀具加工标准齿轮
2.1标准齿条型刀具
如图10—38所示，标准齿条型刀具比基准齿形高出c*m一段切出齿根过渡曲线。
GB1356—88规定了标准齿条型刀具的基准齿形。
2.2用标准齿条型刀具加工标准齿轮
加工标准齿轮：如图10-38所示，刀具分度线刚好与轮坯的分度圆作纯滚动。加工后，被加工齿轮：
s＝e＝πm/2
图10-39
ha=h＊am
hf=(h*a+ c＊)m
3、渐开线齿廓的根切
如图10—39所示,加工齿轮时，有时会出现轮齿根部部分被切除的现象称为轮齿的根切。根切现象出现后，由于齿根变薄，会产生一些不良后果：
①削弱轮齿的抗弯强度；
②使重合度ε下降.
3.1产生根切的原因
如图10—40所示，刀具在位置1开始切削齿间;在位置2开始切削渐开线齿廓;在位置3切削完全部齿廓；到达位置4时，轮坯转过φ角，基圆转过的弧长为：
N1 N’1＝rbφ＝rφcosα
刀具沿水平方向移动的距离：N1M ＝rφ
沿法线移动的距离：
N1K＝N1Mcosφ＝ rφcosα
弧长与直线长度相等:N1K ＝N1N’1
已加工好的齿廓根部落在刀刃的左侧，被切掉;因此当刀具齿顶线与啮合线的交点B2落在极限啮合点N1的右上方，必发生根切。根切条件为：
PB2>PN1
3.2渐开线齿轮不发生根切的最少齿数
如图10—41所示，当被加工齿轮的模数m确定之后，其刀具齿顶线与啮合线的交点B2就唯一确定，这时极限啮合点N1的位置随基圆大小变动，当N1 B2两点重合时，正好不根切。不根切的条件：P N1≥P B2
在△PN1O1中有：PN1=rsinα=mzsinα/2
在△PB2B ’ 中有：PB2=ha*m/sinα
代入求得：z≥2 ha＊/ sin2α
图10-41
即:zmin＝2 ha＊/ sin2α
取α=20°， ha*=1,
得： zmin=17
3.3避免根切的措施
图10-42
为了提高齿轮的传动平稳性和强度，加工齿轮时必须避免产生根切，此时，可采用下列措施避免根切现象的发生，如图10—42所示.
a）减小ha* ↓→εα↓→连续性、平稳性↓，须用非标准刀具.
b)加大刀具角α ↑→正压力Fn↑→功耗↑，得用非标准刀具。
c）变位修正，刀具远离轮坯中心。所得齿轮为变位齿轮。
二、变位齿轮概述
标准齿轮的优点：计算简单、互换性好。
缺点：1、当z<zmin时，产生根切。但实际生产中经常要用到z〈zmin的齿轮。
2、不适合 a’≠a的场合。a’〈a 时,不能安装。当a'〉a时,产生过大侧隙,且εα↓
3、小齿轮容易坏。
原因：ρ小，滑动系数大，齿根薄。希望两者寿命接近。
一、加工齿轮时刀具的变位
如图10-43所示,为避免根切，可径向移动刀具xm，称x为径向变位系数.
规定：远离轮坯中心时，x>0，称正变位齿轮。
靠近轮坯中心时，x<0，称负变位齿轮。

图10—43 图10-44
二、最小变位系数xmin
如图10—44所示，当z〈zmin时,为避免根切，刀具的齿顶线应移到N1或以下的位置：N1Q≥ha＊m—xm
或 xm≥ha＊m- N1Q
∵ N1Q＝N1 Psinα＝rsinαsinα＝mzsin2α/2
∴ x≥ha*— zsin2α/2
由 zmin＝2 ha*/ sin2α
有: (sin2α）/2＝ha＊/zmin
得: x≥ha*（zmin- z）
刀具最小变位系数为： xmin=ha*(zmin— z）
三、变位齿轮的几何尺寸
1、变位齿轮的基本参数m、z、α与标准齿轮相同，故d、db与标准齿轮也相同，齿廓曲线取自同一条渐开线的不同段。
2、齿顶高和齿根高与标准齿轮不同，如图10—45所示，

图10—45
齿根高： hf = ha*m＋c*m－xm
齿顶高：由毛坯大小确定，如果保证全齿高不变,则有：
ha= (ha＊+x）m
顶圆半径：ra =r+ ha =r+（ha＊+x）m
3、齿厚与齿槽宽与标准齿轮不同，如图10—46所示。
齿厚： s=πm/2+ 2xmtgα
齿槽宽: e=πm/2－ 2xmtgα
正变位:齿厚变宽，齿槽宽减薄。
负变位:正好相反.
采用变位修正法加工变位齿轮,不仅可以避免根切， 图10-46
而且与标准齿轮相比，齿厚等参数发生了变化,因而，可以用这种方法来改善齿轮的传动质量和满足其他要求。且加工所用刀具与标准齿轮的一样，所以 变位齿轮在各类机械中获得了广泛地应用.
三、变位齿轮传动
1、正确啮合条件和连续传动条件
与标准齿轮相同，即：m1=m2 ， α1=α2 ， εα≥[εα]
2、中心距与啮合角
无侧隙啮合时:s’1=e'2，s'2= e’1
故有：p' ＝ s’1+ e’1= s’2 + e'2= s'1+ s’2

上式称无侧隙啮合方程。
若x1+ x2≠0， 则α'≠α 由a’cosα’ =acosα知：a’≠a。即分度圆与节圆不重合，两分度圆分离或相交.

y－中心距变动系数。
无侧隙啮合时有：
为了保证两齿轮之间具有标准的顶隙：c=c＊m，则两轮的中心距为：

如果无侧隙和标准顶隙同时满足，则应使：a'=a''
即: y=x1+x2
可以证明：只要x1+ x2≠0
则 x1+ x2 〉 y
即 a’’ >a'。
个要求不能同时得到满足.解决办法：将轮齿削顶。

——称为齿顶高变动系数。

除了x1+ x2＝0之外，总有 x1+ x2 〉 y，即σ> 0，轮齿总要削顶。
3、变位齿轮传动类型及其特点

1）x1+ x2＝0,且x1＝x2＝0 。标准齿轮传动（变位齿轮传动的特例)
2）x1+ x2＝0,且x1＝—x2≠0。等变位齿轮传动（高度变位齿轮传动)
有：a’=a，y=0,σ=0，α’=α，r’=r，小齿轮采用正变位,x1〉0，大齿轮采用负变位，x2<0。
两轮不产生根切的条件：x1≥ha＊(zmin-z1)/zmin
x2≥ha*（zmin-z2)/zmin
两式相加，设ha＊＝1,则有：x1 +x2≥［2zmin-（ z1+ z2）］/zmin
∵ x1+ x2＝0
∴ z1+ z2≥2zmin
优点：①可采用z1≤zmin的小齿轮，仍不根切,使结构更紧凑.
②改善小齿轮的磨损情况。
③相对提高承载能力，因大小齿轮强度趋于接近.
缺点是：没有互换性，必须成对使用,εα略有减小。
3）x1+x2≠0.不等变位齿轮传动（角度变位齿轮传动）
当x1+ x2 〉0 称正传动，当x1+ x2 <0 称负传动。
a）正传动时有：a’〉a，y>0，σ〉0，α’>α，r’〉r，齿高降低σm
优点：可以采用z1+ z2〈2zmin 而不根切，结构紧凑。其余同上。
缺点:没有互换性，必须成对使用，因齿顶降低使εα↓。
b)负传动时有：a'〈a，y<0,σ>0，α’〈α，r’<r,齿高降低σm。
优缺点：与正传动相反.仅用于配凑中心距的场合。
4、变位齿轮传动的设计步骤
1、已知中心距的设计
已知条件：z1、z2、m、 a’ ，其设计步骤如下：
1）计算啮合角：α’＝arccos（acosα/ a’)
2）确定变位系数之和： x1+ x2＝(invα’－invα）（ z1+ z2)/2tgα
3）确定中心距变动系数： y=(a'－a）/m
4)确定齿顶高变动系数: σ＝(x1+ x2) –y
5）分配变位系数。
6）按公式表计算两轮的几何尺寸。
2、已知变位系数的设计
已知条件是：z1、z2、m、x1、x2，其设计步骤如下：
1）计算啮合角: invα’＝ 2tgα（x1+ x2)/( z1+ z2）+ invα
2）确定中心距: a’＝acosα/ cosα'
3)确定y和σ： y=(a’－a)/m, σ＝x1+ x2－y
4）按公式表计算两轮的几何尺寸.

第七节 斜齿圆柱齿轮传动
一、斜齿轮齿廓曲面的形成及啮合特点
图10—47
直齿轮：由于齿宽的存在，点接触变为线接触,啮合面与齿廓曲面的交线，啮合线变为啮合面。
啮合特点：如图7-47所示,直线KK的轨迹－直齿轮的齿廓曲面，沿齿宽同时进入或退出啮合。突然加载或卸载，运动平稳性差，冲击、振动和噪音大。
如图10-48所示，斜直线KK的轨迹－斜齿轮的齿廓曲面,是螺旋渐开面。
βb －基圆柱上的螺旋角.
啮合特点:接触线长度的变化：短→长→短，加载、卸载过程是逐渐进行的.优点：传动平稳、冲击、振动和噪音较小，适宜高速、重载传动.
图10—48
图10—49
二、斜齿轮的基本参数
1、斜齿轮的螺旋角
如图10—49所示,分度圆柱上的螺旋角为斜齿轮的螺旋角β.将分度圆柱展开，得一矩形，有:
tgβ=πd/l
同理，将基圆柱展开，也得一矩形，有：
tgβb=πdb/l
得: tgβb /tgβ=db/ d=cosαt
∴ tgβb = tgβ cosαt
其中αt为端面压力角.
2、模数mn、mt
图10-50
斜齿轮有端面和法面两套参数，如图10-50所示，由于法面内斜齿轮的齿形与刀具的齿形一样，故取法面参数为
取标准值.将分度圆柱展开，得一矩形，
可求得端面齿距与法面齿距之间的关系：
pn=ptcosβ
将pn＝πmn，pt＝πmt代入得：
mn=mtcosβ
3、压力角：αn、αt
用斜齿条说明,如图7-51所示
在△a’b'c’中，有：
∠a'b'c=αn,tgαn =a’c/a’b’
在△abc中，有：∠abc=αt,tgαt =ac/ab
图10-51
由： b=a’b’ ， a’c=accosβ
得： tgαn = tgαt cosβ
三、斜齿轮传动的几何尺寸
斜齿轮不论在法面还是端面看去，其齿顶高和齿根高一样：ha=h＊anmn
hf= （h＊an+c * n） m n
h*an－法面齿顶高系数，han*＝1
c＊n－法面顶隙系数，c*n＝0.25
分度圆直径:d=zmt=z mn / cosβ
中心距：a=r1+r2= mn （z1+ z2) /2 cosβ
当齿数和模数不变时，可通过改变β来调整a的大小.
变位修正时，刀具移动量△r＝△n＝△t，
有:△r＝xt mt = xn mn = xn mt cosβ
得: xt = xn cosβ
四、一对斜齿圆柱齿轮的正确啮合条件
参照直齿轮正确啮合条件，可知一对齿轮正确啮合条件为模数和压力角应分别相等且为标准值,但由于斜齿轮有两套参数,而标准参数在法面,故一对斜齿圆柱齿轮的正确啮合条件如下:
图10—52
mn1=mn2=m，αn1 =αn2=α
mt1=mt2 ，αt1＝αt2
另外要求啮合处的齿向相同,故外啮合：β1＝—β2，内啮合：β1＝β2
五、斜齿轮传动的重合度
如图10—52所示，由于螺旋角的存在，斜齿轮的啮合线长度比直齿轮的长△L，根据重合度的定义有：
直齿轮：ε＝L /pb
斜齿轮：εγ＝（L+△L）/pbt＝εα+εβ
ε的增量：εβ＝△L/pbt＝Btgβb/pbt
tgβb＝πdb /l＝πdcosαt /l=tgβcosαt
代入得:εβ＝Btgβcosαt /pt cosαt
＝（Bsinβ/cosβ） /( pn/cosβ)
＝Bsinβ/πmn
εβ－轴面重合度
εα－端面重合度, 与直齿轮的计算公式相同。
εα=［Z1 （tgαat1—tgαt’)+Z2 (tgαat2-tgαt’)]/2π
若B＝100，β＝20°,mn＝2，则εβ＝5。45，由此可见斜齿轮的重合度较直齿轮大了许多。
六、斜齿圆柱齿轮的当量齿数
由于斜齿轮的标准参数在法面上，因此加工时选择刀具与计算最小不根切齿数比较困难,为了方便期间，选择一个假象的与斜齿轮法面齿形相当的直齿轮，称为该斜齿轮的当量齿轮，其齿数称当量齿数.当量齿轮由于其齿形与斜齿轮相同,故可过斜齿轮分度圆柱上的一点做轮齿的的法面，将此斜齿轮的分度圆柱剖开，其剖面为一椭圆，如图10—53所示，在此剖面上,啮合点处的齿形可视为斜齿轮的法面齿形.现以椭圆上啮合点的曲率半径为半径做一圆作为虚拟的直齿轮的分度圆,并设此直齿轮的模数和压力角分别等于斜齿轮的法面模数和法面压力角。此虚拟直齿轮的齿形与上述斜齿轮的法面齿形十分相近，故此虚拟直齿轮即为该齿轮的当量齿轮,其齿数称当量齿数，表示时加下标v。
图10—53
椭圆长半轴：a=d/2cosβ
短半轴： b=d/2
当量齿轮分度圆半径：
rv =ρ＝a2/b=d/2cos2β
得： zv ＝2rv /mn＝d/mn cos2β
＝zm t/ m n cos2β＝z/ cos3β
斜齿轮不发生根切的最少齿数可由当量直齿轮与斜齿轮的齿数关系求得:
zmin=zvmincos3β
若β=20°,zvmin =17zmin=14
七、斜齿轮的特点
1、啮合性能好、传动平稳，噪音小。 图10-53
2、重合度大，承载能力高。
3、zmin< zvmin ，机构更紧凑。
4、缺点:由于轮齿倾斜，因此运转时会产生轴向力，如图10—54所示,一般取β＝8°～20°，轴向力随β增大而增大。为了消除轴向力，如图10—55所示,可用一对斜齿轮使其轴向力互相抵消或采用人字齿轮,此时可使β＝25°～40°。人字齿轮常用于高速大功率传动中（如船用齿轮箱)。
图10—54 图10—55
第八节 蜗杆传动
图10—62
图10—61
一、概述
蜗杆传动常用于传递两交错轴之间的运动和动力,常常∑＝90°。在交错轴斜齿轮中,当小齿轮的齿数很少（如z1=1）而且β1很大时，轮齿在圆柱体上构成多圈完整的螺旋，此时小齿轮称为蜗杆，而啮合件称为蜗轮，如图10—61所示。蜗杆有左旋右旋之分，常用为右旋。小齿轮的螺旋数z1（从端面数）称为蜗杆头数。加工蜗轮时将刀具做成蜗杆状，用范成法切制蜗轮，所得蜗轮蜗杆为线接触,如图10—62所示.
蜗杆传动的优点：
1、传动平稳，振动、冲击和噪音很小。
2、线接触，可传递较大的动力。
3、单级可获得较大的传动比，结构紧凑.
减速用：5≤i12≤70，常用：15≤i12≤50.
增速用： 1/5≤i21≤1/15。
4、当γ1〈φv 时，反行程具有自锁性（起重机用)。
蜗杆传动的缺点：
如图10-63所示，相对滑动速度大,摩擦损耗大，易发热,效率低。蜗轮用耐磨材料做,成本高。 图10—63
二、蜗杆传动的类型
如图10—64所示，蜗杆传动的类型如下：
三、蜗杆传动的正确啮合条件
如图10-65所示为蜗轮与阿基米德蜗杆啮合的情况，过蜗杆轴线垂直于蜗轮轴线所做的平面称为中间平面，该平面对应于蜗杆是轴面,对应于蜗轮是端面。在此平面内，蜗轮蜗杆相当于齿轮齿条啮合，因此蜗杆蜗轮的正确啮合条件是中间平面内参数分别相等：
mt2=mx1=m ，αt1 =αx1=α
∵∑＝β1+β2 ＝90°γ1+β1 ＝90°
∴γ1＝β2
即蜗轮蜗杆轮齿旋向相同。

图10—65
四、主要参数及几何尺寸
1、压力角：α=20°
动力传动，推荐：α=25°，分度传动，推荐用α=15°。
2、模数.取标准值，与齿轮模数系列不同，见表7-4.
表7—4 蜗杆模数 m值 GB10088-88
3、导程角(螺旋升角）：
如图10—66所示，将蜗杆分度圆柱展开得：
tgγ1=l/πd1= z1 px1/πd1= mz1/d1
4、蜗杆直径系数q
由于加工蜗轮时滚刀直径等参数应与蜗杆分度圆直径等参数相同，即不同蜗轮加工时应选用不同的刀具，因此为了限制滚刀的数量，国标规定分度圆直径只能取标准值，并与模数相配.
定义：q=d1/m，
分析：m一定时,q↑→d1↑→强度、刚度↑
z1一定时，q↓→γ1↑→传动效率↑因为蜗轮蜗杆相当于螺旋副,故其机械效率为:η＝tg（γ1) /tg（γ1＋φv )

图10—66
5、蜗杆头数和蜗轮齿数：
蜗杆头数z1=1、2、4、6,蜗杆头数要求自锁时，取小值。要求有传动效率或速度较高时，则取大值。
蜗轮头数:z2=29～70
6、分度圆直径
蜗杆：不同于齿轮由模数和齿数计算，而应查表选定。
蜗轮:d2=mz2 图10—67
7、中心距
如图10—67所示：a=r 1＋r2
注意:计算时蜗杆分度圆半径应由表7—5查出。
表7—5 蜗杆分度圆直径与其模数的匹配标准系列 mm
m
d1
m
d1
m
d1
m
d1
1
18
2。5
（22.4)
28
（35。5)
45
4
40
（50）
71
6。3
(80）
112
1。25
20
22.4
1。6
20
28
3。15
（28)
35.5
（45)
56
5
(40)
50
(63)
90
8
(63)
80
(100)
140
2
(18）
22.4
（28)
35.5
4
（31。5）
6.3
(50)
63
10
（71)
90
摘自GB10085-88， 括号中的数字尽可能不采用
五、蜗轮转向的确定
1、用作图法确定：
如图10—68所示：vp2= vp1 + vp2p1
2、左右手定则确定：
右旋蜗杆：伸出左手,四指顺蜗杆转向，则蜗轮的切向速 度vp2的方向与拇指指向相同。左旋蜗杆:用右手判断,方法一样，如图10—69所示。
图10—68

图10—69
第九节 圆锥齿轮传动
一、功用、特点和分类
功用：传递两相交轴之间的运动和动力.
结构特点：如图10-70所示，与直齿轮相比，名称上有一些变化，直齿轮中圆柱→圆锥，如分度圆锥、齿顶圆锥等。锥齿轮的轮齿分布在圆锥外表面上,轮齿大小逐渐由大变小.为了计算和测量的方便，取大端参数（如m）为标准值。两齿轮轴的夹角称为轴交角∑：根据需要确定，常用∑=90°,如图10—71所示。

图10—70 图10-71
如图10—72所示,圆锥齿轮分类如下：

二、理论齿廓
锥齿轮的理论廓线为球面渐开线.如图10—73所示,当一个圆平面在一圆锥上作纯滚动时，平面上到锥顶距离相等任一点的轨迹所形成一条曲线称为球面渐开线.该圆平面称为球面渐开线的发生面，圆锥称为球面渐开线的基圆锥.锥齿轮的齿廓曲面为圆平面上某一条半径上所有点的轨迹.
图10-74

图10—73
三、背锥及当量齿轮
如图10—74所示，过锥齿轮大端作母线与分度圆锥母线垂直的圆锥，将球面齿往该圆锥上投影，则球面齿形与锥面上的投影非常接近.由于锥面可以展开，故可用锥面上的齿形代替球面齿。该圆锥称为背锥.
与斜齿轮相同,为了计算最小不根切齿数，也需要找一个与锥齿轮标准齿形相同的虚拟直齿轮,锥齿轮的标准参数取大端参数，我们将将背锥展开可得扇形齿轮，将该扇形齿轮补全，即得当量直齿轮，其参数加下标v，其齿形与锥齿轮大端的球面齿形相当，两者m和α相同。
当量齿轮的参数:
rv=O1 P= r /cosδ=zm/2 cosδ
rv=zvm/2
得：zv＝z/cosδ
引入当量齿轮的概念后,一对锥齿轮的啮合传动问题就转化为一对圆柱直齿轮啮合传动。故可直接引用直齿轮的结论：正确啮合条件：mt1=m t 2 , αt 1=αt 2
重合度：
ε=[Zv1（tgαa1—tgα’ ）+Zv2 (tgαa2 — tgα’ )]/2π
不根切最少齿数：
因zvmin=17, z= zvmin cosδ= 17 cosδ，若δ= 45°，则z=12
四、几何参数和尺寸计算
如图10—75所示，
R－锥距 δ－分度圆锥角.
δa－齿顶圆锥角。