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以计算品质的培养贯穿计算教学的全过程(上）
数的计算是小学数学学习的重要内容之一，涉及数的概念、运算意义、运算法则、运算性质、运算律等多方面的知识，是整个数学教学的基础，历来为小学数学教育所重视。长期以来,我们的计算教学过于注重计算速度的要求，多偏重计算技能（指能按照计算规则进行的常规计算）的训练，而忽视了计算能力(指能灵活运用运算律和计算规则进行简便、合理的计算)的培养。多项大样本的测试数据表明,小学生虽然有极快的口算速度，但在笔算中则显得不那么聪明。遇到可以简算的题目时，多数学生却仍机械地依常规方法和步骤去算,使计算变得既费事又易错，直接影响了计算效率.计算教学作为数学课程的一个内容，不应只满足于学生会算、算得快,更重要的是使学生学会思考，能够根据算式的特点，寻求合理、简捷的运算途径和方法，发展思维能力。计算教学中长期存在的重技能、轻能力倾向，该是引起我们重视的时候了.为此，本文提出“以计算品质的培养贯穿计算教学的全过程”这一理念来指导计算教学.下面就这个问题谈几点看法。
一、什么是计算品质
任何事物（包括人的行为）都具有一定的品质，以区分同类事物的差异和水平.数学计算亦是如此，计算也有品质之分.那么，什么是计算的品质？它的内涵是什么?让我们先来看一个学生计算中的例子.
一位教师在讲了两位数乘两位数的乘法之后，出了一道题，计算25×14,许多学生用刚学习的竖式乘法得到积为350。接着教师进行了讲评，结束时，问大家还有什么问题。一位学生站起来，问道：“老师，我还有一种算法,把14拆成10和4，用25乘10得250，再用25乘4得100，然后相加,等于350.这样做可以吗?”这一问题令教师感到十分意外，但仔细一想：对呀！这道题可以不用竖式乘法去做.于是,对该算法给予了肯定。实际上,学生在这里将14分解为10＋4后运用了乘法分配律：25×14＝25×(10＋4)（根据:自然数的分解）＝25×10＋25×4(根据：自然数乘法分配律）＝250＋100＝350(根据：三位数加三位数计算方法).显然,后一种算法比前一种算法简便、易算，反映了这位学生与其他学生不同，思维灵活。
可见，计算不是机械地按照计算规则进行的程序操作，而是灵活运用计算规则、运算律等知识求值的思维过程。同时，计算也是一种推理,是依据数的概念、运算意义、运算法则、运算性质、运算律等知识所进行的数值关系的推理。通过推理，将算式（数与数之间的运算关系式）最后演绎为一个数。与其他形式的数学推理相比,乃是“至精至简的推理”。由此，笔者认为，将计算品质界定为“计算的思维品质”是恰当的。它既反映了思维的品质特性，又反映了计算的特性。
那么，计算品质应包括哪些方面呢？
为此，我们简要地回顾上个世纪50年代以来我国小学数学课程标准（或教学大纲)有关计算的目标要求。
1950年的《小学算术课程暂行标准（草案)》指出,应“指导儿童具有正确和敏捷的计算技术和能力"；
1963年的《全日制小学算术教学大纲（草案）》指出，“小学算术教学的目的是……培养学生正确地、迅速地进行四则计算的能力"；
1978年的《全13制十年制学校小学数学教学大纲(试行草案）》指出，“小学数学教学的目的是……能够正确地、迅速地进行整数、小数和分数的四则计算"；
1988年的《九年义务教育全日制小学数学教学大纲（初审稿）》指出，“使学生能够正确地进行整数、小数和分数的四则计算”；
2001年的《全日制义务教育数学课程标准(实验稿）》提出，“能应用运算律进行一些简便运算”，“提倡计算方法多样化”。
由此可见，历次制定的“数学教学大纲”以及新近制定的“数学课程标准（实验稿)”中，对计算(或运算）是有明确要求的，即计算要正确(准确性)、迅速（熟练性）、方法多样化（灵活性)及运算简便(简捷性）。笔者认为，这一要求是科学的、正确的,充分概括了计算品质的内涵，对计算教学实践具有重要的指导意义。它不仅成为小学阶段的要求，而且一直贯穿于初中和高中。例如，1992年的《九年义务教育全日制初级中学数学教学大纲（试用）》明确指出，“运算能力是：不仅会根据法则、公式等正确地进行运算，而且理解运算的算理，能够根据题目条件寻求合理、简捷的运算途径.”2000年的《全日制普通高级中学数学教学大纲（试验修订版)》亦重申，“运算能力是指：会根据法则、公式正确地进行运算，并理解算理，能够根据问题的情景，寻求与设计合理、简捷的运算途径。"
在计算品质的“四性’’当中，计算的准确性是基础，是计算的最基本的品质。如果说计算的准确性和熟练性主要反映了计算技能的品质，那么计算的灵活性和简捷性则表现了计算(运算）能力的品质.
二、如何培养学生计算的准确性
作为计算品质,计算准确性是指学生在计算中表现出的计算正确率高低程度的心理品质。这里所说的计算正确率高低程度，不是指学生某次练习或测验的正误情况，而是指学生在一段时间里所表现出的计算正确率高低的总体情况.在教学中，学生的计算准确性是有差异的。例如，有些学生在计算中经常出现错误，其正确率总在70％上下徘徊；而另一些学生虽然练习中也曾出现过计算错误较多的情形，但大多数情况下正确率能保持在90％以上。不难看出，上述两类学生的计算品质存在着明显的差异：前者计算的准确性比较低，后者的计算的准确性比较高。计算准确性是衡量计算品质的基本指标。
在计算教学中,教师常常为部分学生经常出现计算错误而头疼、伤脑筋.为改变这一现状，许多教师通常采用的补救办法是做大量的重复性练习，以强化记忆。实践表明，这样做在学习初期确能收到一定效果,计算的正确率会有明显的提高.然而,当计算正确率达到一定程度以后，练习的效果就不那么明显了，从统计意义上讲,甚至没有效果，出现所谓的“高原现象”有研究者在实验中还发现，重复练习时间过长后,学生会产生厌烦情绪,练习兴趣呈明显下降趋势，效果每况愈下，计算正确率反而下降了,真可谓得不偿失.因此，为了提高学生计算的准确性,首先要清楚是哪些因素影响了学生计算的准确性。
实践表明，影响学生计算准确性的因素很多,从认知上讲,包括数概念的理解,运算意义的理解,运算法则、运算性质的掌握的熟练程度，对运算律意义的理解和掌握等多个方面；从非认知上讲，包括学习习惯、学习心理、学习态度和情绪等因素.
那么，如何提高学生计算的准确性，减少计算中的错误呢？为此，我们应搞清错误性质和原因，针对不同的情形采取相应措施加以解决。
一般来说，学生在计算中出现的错误大致可以分为两类:一类是概念、法则性错误，这是学生在初学某种计算时最为普遍的错误现象；另一类是非概念、法则性错误，这类错误往往没有规律性，是由各种随机因素导致的偶然出现的错误(如抄题时看错了数字,计算中把乘号看成加号等).下面就如何减少计算中的概念、法则性错误，谈几点看法.
(一)注重数意义和计算意义的理解
数意义和计算意义的理解是掌握计算方法的基础。在小学阶段,学生所接触到的自然数(非负整数）和分数，是性质完全不同的两类数，它们的意义对同类计算的意义和计算方法有着直接的影响.
自然数是表示物体个数(基数特性）和排列次序(顺序特性)的数。“l”是自然数的单位，逐次加1是自然数的基本特性。数位、计数单位和进率是自然数中三个重要的基本概念。建立在表示物体个数基础上的自然数的加法，其意义是表示求同类物体合起来是多少。自然数加法的这个意义不但明确了什么样的问题可以用加法解决，而且还解决了怎样求“和”的方法:数数。如3＋2,既可以表示3个苹果与2个苹果的和，也可以表示3箱梨与2箱梨的和.我们可以在3个苹果(或3箱梨）的基础上，接着数，得到4个苹果（或4箱梨)；再接着数，得到5个苹果（或5箱梨)。于是有3＋2＝5.
与自然数意义不同，分数的基本意义是表示“份数"多少的数，即整体被平均分后，表示所占“份数"多少的数。分数b/a(a、b为自然数，a≠0）的单位是1/a。与自然数加法不同，分数加法的意义是求相同分数单位的“份数”合起来是多少，即和表示有多少个分数单位，而不是多少个同类物体。因此,在计算方法上，必须是同一分数单位下的“份数’’才能直接相加.这是分数加法计算的关键所在.如2/7＋3/7的意义是表示2个1/7与3个1/7合起来是多少个1/7,这里1/7是2/7、3/7的同一分数单位。据此，可得到和是（2＋3)个1/7,即5个1/7，表示为5/7。如果分母不同的两个分数相加，如1/2＋1/4，由于它们的分数单位不同，必须化成同分母的分数（通分），得到同一分数单位以后，才能直接相加.
上面的加法例子说明，不是同类数的同一种计算，其意义和方法在思维方式上是有区别的。那么，学生是否能意识到这一区别呢?下面,我们以学习“异分母分数加减法’'为例，来了解学生是怎样认识的。
北京有几位教师为此做了专项调研.在教学异分母分数加减法之前，教师不作任何提示和说明，作为探索性练习,要求全班学生自主计算1/4＋1/2的和。调研结果显示，在一所生源较好的小学里，有50％以上的四年级学生（样本量n＝41）错误地采用分母加分母、分子加分子的方法求和；而在一所生源一般的小学里，则有54%以上的四年级学生(样本量n＝44）误用分母加分母、分子加分子的方法计算。这一情况说明，尽管学生已经有了同分母分数加减运算的知识和经验，但有超过半数的学生并未自然地意识到自然数与分数意义下加减运算的区别.原因是他们对分数的意义和分数加减运算的意义还印象不深,尚未达到熟记于心、运用自如的程度.
由此可见，在异分母分数加减法教学中,为减少负迁移的影响，应首先注重数的意义和计算的意义的理解，这样才有可能取得好的教学效果。事实正是如此。一项实验研究的结果表明,在分数的正方形模型（用 直观表示1/2＋1/4）的启发下,在一所生源较好的小学里,有77。5％的四年级学生(样本量n＝40)能借助模型获得正确结果；而在一所生源一般的小学里，有34.1％的四年级学生（样本量n＝44)在自主探索“1/2＋1/4’’异分母分数加法计算中，能借助上述直观模型得到正确结果。这说明借助分数直观模型对学生理解分数意义和分数加法意义有明显的帮助作用，会收到事半功倍的教学效果。
“异分母分数加减法”的教学案例，给了我们这样一个重要启示：在计算教学中，一定要注重数意义和计算意义的理解,它是计算准确性的基础，不可忽视。
（二）明了计算过程中每一步的算理
算理是由数学概念、性质、运算律等内容构成的数学基础知识，它为算法提供了理论根据。明了算理是正确掌握计算方法的关键。然而,算理在计算过程中是不显现的，它蕴含在算法之中。从某种意义上讲,算法是算理的外在表现形式。学生在计算过程中只有明了算理，才有可能正确地进行计算。目前，多数教师已经认同：只讲算法不讲算理的计算教学是不可取的。那么，如何帮助学生在计算过程中理解算理？通常有两种做法.
1．注重在直观情境中理解算理
这是因为，认识来源于实践,而实践是具体的、情境化的.帮助学生在直观情境中理解算理，其目的是引导学生从计算知识产生的源头上，经历实践、认识、再实践、再认识……的思维过程，经过概括、抽象，从而理解算理在形成方法性（即程序性）知识中的作用。
以“分数乘整数的乘法"为例，北师大版《数学》五年级下册教材中设计了如下问题情境：“1个 占整张纸的1/5，3个 占整张纸的几分之几？”并呈现了三位学生不同的探索思路：（1)从直观图 中直接得到答案；（2)用加法计算；(3)用乘法计算。笔者认为，教材呈现的三位学生的解决问题方式实际上反映了不同层次的思维方式，即直观思维和概念思维.对新的计算方法学习，一般要经历建立模型和探索算法两个环节，理解算理应体现于这两个教学环节之中.为此，可以设计以下几个问题，以帮助学生理解“分数乘整数的乘法”的算理。
（1）列算式，理解分数乘法算式的意义。
教学活动：①根据所学过的知识，求3个 占整张纸的几分之几，可以列出怎样的算式？（预设学生可能的回答：列加法算式“1/5＋/1/5＋1/5”或乘法算式“3×（1/5）”）②说一说列分数乘法算式的理由（目的是使学生知道，我们是根据自然数乘法意义（类比)列出分数乘法算式的），以及解释3×（1/5)的意义(目的是结合松树图案的情境理解3×（1/5）的意义(表示3个的和），沟通加法算式和乘法算式之间的内在联系)。若无学生列出乘法算式“3×(1/5)"，则引导学生思考：除了加法以外，求相同数的和还可以列什么算式来解决这个问题？
（2）探索算法，理解算法中的算理。
教学活动：①结合教材呈现的直观图 ，不计算，你能知道3×1/5的结果是什么吗？（从直观图中直接得到答案）②根据分数乘法算式的意义，如何计算3×1/5？通过沟通分数乘法与同分母分数加法的内在联系,探究分数乘整数的计算方法。在分析中要着重使学生了解其间经历的加法与乘法的两次转化：3×（1/5）＝1/5＋1/5＋1/5 (分数乘法转化为分数加法）＝（1＋1＋1)/5（同分母分数加法的方法) ＝（3 ×1)/5（自然数加法转化自然数乘法)＝3/5。③计算得到的结果和从直观图上得到的结果相同吗？验证结果，确认计算的正确性。由此得到分数乘整数的一般计算方法。
“分数乘整数的乘法”的计算方法上位一点地看,是要解决相乘后的积是多少个原来的分数单位。因此，在计算方法上,是要探索乘积中分子的值、作为乘数的整数与原分数分子之间有怎样的运算关系，而保持分母不变(分数意义下的乘法)。它为后面进一步归纳、概括分数乘整数的计算方法（整数乘分子，分母不变）奠定了基础。上述例子还说明，帮助学生在直观情境中理解算理有两个关键：其一是从观察中获得结果(具象思维），为思考提供基础；其二是依据相关的数学知识，通过推理，解释结果（抽象思维)。
2．帮助学生理解计算过程中各个步骤的算理
小学数学中的计算过程(如自然数和小数的加、减、乘、除各种竖式运算),看起来似乎都是一些程序性操作步骤，但实际上却不那么简单.它们都需要根据相关的数知识与运算法则，进行分析、比较、尝试、判断等思维活动后一步一步地向前推进。为帮助学生理解计算过程中各个步骤的算理，在教学中，要关注过程细节,着重讲清各步计算过程的意义和算理；同时，对一些关键性环节还需举一反三地讲清其表示的意义。
例如，竖式除法历来是计算教学中的一个难点。原因足：这里既要用到乘法，又要用到减法，是乘、减的综合运算；竖式的形式又与加减法和乘法有着明显的不同；与竖式加法、减法、乘法从低位算起不同，通常从高位算起;在确定商的时候，又往往需要试商；试商时,要进行估算；试商后，又要与除数相乘，并将积与被除数的部分数值，或上一次试商后被除数相减所余的数(差数)进行比较.特别是小数除法，余数为什么要补0，补0后表示多少，接着除试的商表示几，等等,所有这些问题都要让学生一个一个搞清楚，不留隐患。
下面以“两位数除以一位数”的竖式除法为例，介绍如何讲清各步计算过程的意义和算理，以及对一些关键性环节举一反三地讲清其表示的意义。
先来看这样一个实际问题：18个苹果，每盘放6个,可以放几盘？(情境图略)
此前学生已经具备了除法的初步知识和经验.为帮助学生进一步理解除法的意义，并借此理解竖式除法各步计算过程的意义和算理，我们不妨设计如下几个问题。
①怎样列算式?18÷6.
②能分成几盘？画一画,说一说.
这样分：6个，6个，6个→可分3盘。
每盘6个苹果，3盘共3×6个苹果，正好分完，用式子可表示为18－3×6＝0.
③分步呈现竖式除法式子，结合分苹果的过程，解释每步的意义。

…3是商，表示分了3盘
6表示每6个苹果分一盘… …18表示一共有18个苹果
…18表示3×6的积
…0为余数，是18一18的差，得0表示正好分完了
上面18÷6竖式除法的计算过程中，展现了每一步的实际意义，特别是结合问题②中“用式子18－3×6＝0表示正好分完”来理解竖式除法计算过程中,当试商3以后，为什么需要用被除数18与3×6的积相减的道理.除上述的解释外，还需要说明为什么，商3要写在被除数18个位对应的位置上，而不是写在十位对应的位置上。理由是商3是一位数，所以应写在个位上。此时，教师不妨提出一个假设性问题：如果把3写在十位对应的位置上，那么将表示什么意义呢
此外，在整数竖式除法中，怎样理解有余数？有了小数概念以后,为什么余数补0后能继续除下去?补0后表示多少？接着除试的商表示几……怎样解释上述这些问题？笔者认为，这里涉及除法计算中的三个基本规则：一是数集(商与被除数、除数必须是同一个数集中的数)，二是计数单位(计数单位必须与数集保持一致），三是余数必须小于除数。例如,5÷4,在自然数除法中,商是1，余数为l。理由是，余数l比除数4小，同时，余数1是个位数，其计数单位是自然数中的最小计数单位1，因此不能再继续除下去了。如果在小数概念下计算5÷4，那么它的商就不是l了，而是1.25.原因是,小数计数单位既含整数(自然数）部分的计数单位，又含小数部分的计数单位。因此，当我们在余数1后面补一个0变成10以后，计数单位也发生了变化，由自然数的最小计数单位1变成小数计数单位0.1，即余数变成10个0.1。于是,出现了余数大于除数的情形，又可以继续除下去了，10(个0.1）÷4商2(个0。1)。重复竖式除法的程序,用10（个0.1）减去2(个0.1） ×4,得2（个0.1)，余数小于除数，又不能除，于是再补0，得到新余数20(个0.01），又能除了。接着用20(个0.01）除以4商5(个0.01)，余数为0，即0.05，最后得到商1。25.文档为个人收集整理，来源于网络
(三)认真分析学生在计算中出现的错误
在教学中，经常出现这样的情况：虽然我们也重视算理教学了，但仍然会有学生在计算练习或作业中出现各种各样的错误。其实,这是正常的现象。学生对数学知识的学习都要经历从无到有、从错误到正确、从片面到完整的认知过程.对计算技能的学习和掌握亦是如此,也需经历从不懂到懂、从不会到会、从出现错误到改正错误、从出现错误多到出现错误少甚至不出现错误的自我校正过程。看错了，记错了，想错了，写错了，算错了……学生计算中的错误性质和原因是多种多样的。学习是和错误相伴的过程，从某种意义上说，学习就是在不断出错、纠错中进行的，失败乃成功之母.错误反映出学生认识上存在的偏差，反映出学生的学习困难所在，以及行为习惯、情感态度等非认知品质等状态。另外，由于学生是有差异的，在班级授课制下，我们的教学往往比较适应那些中上水平的学生，而较少顾及少数学习困难的学生。再者，即便是学习中上水平的学生，也会因为知识比较抽象、难以理解或教师讲解不够清楚等原因没有听懂课上讲的某个知识内容。因此,问题不在于练习或作业中出现了错误，重要的在于需搞清楚是什么性质的错误，以及产生的原因。这里可能有教师教学上的原因，也可能有学生概念上或解题心理与习惯上的原因。总之，错误是一种十分复杂的现象,对错误进行认真和多方面的分析十分重要。个人收集整理，勿做商业用途
小学一年级学生第一次学习计算，由于各种原因，在练习中常常出现我们意想不到的错误.例如，有一年级学生计算67－4＝27，教师分析认为,学生错在“两位数减一位数时，把减数当作4个十，与被减数相减出现错误.主要原因是不明算理,审题不清。改正方法:做题时，看清十位上和个位上的数,再减。”笔者认为,除了这一可能的原因外，其错误原因还可能与学生习惯性思维及教师忽视引导学生观察算式特点有关。由于在一段时间里，学生在练习中大量接触的是两位数减两位数的减法运算，由此形成了很强的思维定势，看到67－4便想当然地以为是67－40。因此，其错误性质并非是概念上的。从学生角度讲，是学习心理上思维定势过强造成的负面影响所致;从教师教学角度分析，或与教学中强调认真观察算式特点不够有关.
又如，在学习了退位减法后,有部分学生在练习中出现了计算53－6＝57的错误。对此，教师感到不解：既然学生已能正确地从被减数十位退一变成13减6得到7了，怎么会忘记从被减数十位数5中减去1呢？类似的例子还有135－26＝119等。一些教师认为，产生这一错误的原因是学生“计算过程中粗心,马虎”.笔者认为,不排除是由学生计算中“粗心，马虎"所致，但是否就这一个原因呢？不会与教学时,对避免学生初学时“忘了退一”,缺少指导学生用某种方式标记下来有关？或还与部分小学生注意力分配不够全面有关？为减少学生的计算错误，在归因分析上，我们宁可想得多一些，切莫简单化。在退位减法中，小学生出现的错误真可谓五花八门，如90－63＝33,l36－26＝101，等等，都需要我们仔细地分析其错误性质和原因,以提高教学设计中预设的针对性。
为帮助教师分析学生计算中的错误，笔者摘录了一些案例供参考。
案例1常见学生在计算一个数减去两个数的和时，出现如下错误：749－(56＋249)＝749－56＋249＝500＋249＝749。从计算过程上看，出现了多处错误:①减法运算性质运用错误，去括号后，未将249前面的“＋”号变为“－"号，属于规则运用错误.其原因可能是注意力分配不均、缺失所致。②误将749－56看作749－249,属于干扰性记忆错误,源于749与249的末两位数字相同，且原式749－(56＋249)中，有减249的含义，又749－249能得整百的数，导致749－56＝500，或受原题749－(56＋249)的影响，虽是749－56,却误认为是749－249，误得500。
案例2有的学生计算706×85，
得59980或3530,这是怎么得
来的？其计算过程见图1。
观察两位学生的竖式乘法的计算过程，不难看出，都属于计算规则性错误。这与他们注意力分配不均与缺失以及平时缺乏良好的学习习惯有关。
案例3计算32×125＝1500,其过程见图2。
这是十分典型的错误.误将125×(8×4）看作125×(8＋4）。其原因可能与平时乘法分配律题目练习较多有关，且125×(8×4）与125×（8＋4)形似,受此心理暗示造成计算错误。减少这类错误的关键一是强调计算时要看清算式的特点，二是在做乘法分配律练习时，要适当搭配一些乘法结合律与交换律的题目，以增强学生的审题意识，克服习惯性解题思维,提高计算中的选择性反应能力。同时要强调，审题时要看清题目不要急于动笔。
为增强学生的自我纠错能力，许多有经验的教师都十分重视学生计算后的自我检查.如要求学生对做错的题要自己找到出错的原因，并且再做一遍或做一些类似的练习.如果是粗心造成的错误,可在旁边写上警语，提醒自己，引起自己的重视。这些做法值得提倡.