四年级奥数第二讲图形的计数问题含答案.doc

第二讲 图形的计数问题一、知识点：几何图形计数问题往往没有显而易见的顺序，而且要数的对象通常是重叠交错的，要准确计数就需要一些智慧了实际上，图形计数问题，通常采用一种简单原始的计数方法一枚举法具体而言，它是指把所要计数的对象一一列举出来，以保证枚举时无一重复、无一遗漏，然后计算其总和正确地解答较复杂的图形个数问题，有助于培养同学们思维的有序性和良好的学习习惯二、典例剖析：例（1） 数出右图中总共有多少个角 分析：在AOB内有三条角分线OC1、OC2、OC3，AOB被这三条角分线分成4个基本角，那么AOB内总共有多少个角呢？首先有这4个基本角，其次是包含有2个基本角组成的角有3个（即AOC2、C1OC3、C2OB），然后是包含有3个基本角组成的角有2个（即AOC3、C1OB），最后是包含有4个基本角组成的角有1个（即AOB），所以AOB内总共有角： 432110（个）解： 432110（个） 答：图中总共有10个角。 练一练：数一数右图中总共有多少个角？ 答案: 总共有角：10+9+8+4+3+2+1=55（个）例（2 ）数一数共有多少条线段？共有多少个三角形？ 分析：要数多少条线段：先看线段AB、AD、AE、AF、AC、上各有2个分点，各分成3条基本线段，再看BC、MN、GH这3条线段上各有3个分点，各分成4条基本线段.所以图中总共有线段是：（3+2+1）5+（4+3+2+1）3=30+30=60（条）.要数有多少个三角形，先看在AGH中，在GH上有3个分点，分成基本小三角形有4个.所以在AGH中共有三角形4+3+2+1=10（个）.在AMN与ABC中，三角形有同样的个数，所以在ABC中三角形个数总共：（4+3+2+1）3=103=30（个）解：在ABC中共有线段是：（3+2+1）5+（4+3+2+1）3=30+30=60（条） 在ABC中共有三角形是：（4+3+2+1）3=103=30（个）答： 在ABC中共有线段60条，共有三角形30个。练一练：共有多少个三角形？ 答案: 18例（3）数一数图中长方形的个数分析： AB边上分成的线段有：5+4+3+2+1=15.BC边上分成的线段有： 3+2+1=6.解： 共有长方形：（5+4+3+2+1）（3+2+1）= 156 = 90（个） 答：共有长方形90个。练一练：数一数图中长方形的个数 答案: 90 例（4）数一数图中有多少个正方形（其中每个小方格都是边长为1个长度单位的正方形）. 分析： 为叙述方便，我们规定最小正方形的边长为1个长度单位，又称为基本线段，图中共有五类正方形.以一条基本线段为边的正方形个数共有： 65=30（个）.以二条基本线段为边的正方形个数共有： 54=20（个）.以三条基本线段为边的正方形个数共有： 43=12（个）.以四条基本线段为边的正方形个数共有： 32=6（个）.以五条基本线段为边的正方形个数共有： 21=2（个）.解： 正方形总数为： 65+54+43+32+21=30+20+12+6+2=70（个）答： 练一练：下图共有几个正方形? 答案: 10 例（5）数一数图中三角形的个数 分析： 这样的图形只能分类数，可以采用类似数正方形的方法，从边长为一条基本线段的最小三角形开始.以一条基本线段为边的三角形：尖朝上的三角形共有四层，它们的总数为：W上=1+2+3+4=10（个）.尖朝下的三角形共有三层，它们的总数为：W下=1+2+3=6（个）.以两条基本线段为边的三角形：尖朝上的三角形共有三层，它们的总数为：W上=1+2+3=6（个）.尖朝下的三角形只有一个，记为W下=1（个）.以三条基本线段为边的三角形：尖朝上的三角形共有二层，它们的总数为：W上=1+2=3（个）.尖朝下的三角形零个，记为W下=0（个）.以四条基本线段为边的三角形，只有一个，记为：W上=1（个）.解： 所以三角形的总数是10+6+6+1+3+1=27（个）.答：三角形的总数是个。练一练： 数一数图中三角形的个数 答案： 24例（6）数一数图中一共有多少个三角形？ 分析：分析这是个对称图形，我们可按如下三步顺序来数：第一步：大矩形ABCD可分为四个相同的小矩形：AEOH、EBFO、OFCG、HOGD，每个小矩形内所包含的三角形个数是相同的.第二步：每两个小矩形组合成的图形共有四个，如：ABFH、EBCG、HFCD、AEGD，每一个这样的图形中所包含的三角形个数是相同的.第三步：每三个小矩形占据的部分图形共有四个：如ABD、ADC、ABC、DBC，每一个这样的图形中所包含的三角形个数是相同的.最后把每一步中每个图形所包含三角形个数求出相加再乘以4就是整个图形中所包含的三角形的个数.解：.在小矩形AEOH中：由一个三角形构成的有8个.由两个三角形构成的三角形有5个.由三个或三个以上三角形构成的三角形有5个.这样在一个小矩形内有17个三角形.在由两个小矩形组合成的图形中，如矩形AEGD，共有5个三角形.由三个小矩形占据的部分图形中，如ABC，共有2个三角形.所以整个图形共有三角形个数是：（8+5+5+5+2）=254=100（个）答： 图中一共有100个三角形。练一练：数一数图中一共有多 答案： 35 个 模拟测试（ 2 ）一、填空题 （每小题5分）1、.下列图形各有几条线段 ( )条 ( )条 ( )条 2、一条直线上共有50个点,可以数出( )条线段.3、数一数下图共有( )条线段. ( )条. ( )条.4、下图中各有（ ）个三角形.5、数一数下图有（ ）个长方形.6、右图一共有( )个长方形?7、右图一共有( )个正方形？8、下图共有( )个平行四边形.9、一共有( )个梯形.10、下图共有( )个三角形.二、简答题 (每小题10分)1、右图的图形中一共有多少个三角形? 2、下图共有几个正方形? 3、下图共有多少个长方形?4、下图中一共有多少个三角形? 5、下图共有几个三角形?.模拟测试（ 2 ） 解答一、填空题 1、有10条, 有15条, 有21条. 2、50492=1225(条). 3、36; 27. 4. 33; 5、30个. 图中边上共有线段4+3+2+1=10条.边上共有线段: 2+1=3(条),把 上的每一条线段作为长, 边上每一条线段作为宽,每一个长配一个宽,就组成一个长方形,所以图中共有长方形为: (4+3+2+1)(2+1)=103=30(个). 6、一共有64个. 7、一共有18个. 解:分三类计算,边长是1的正方形有2+4=13(个),边长为2的正方形有4(个),边长为3 的正方形有1个. 因此,图中共有正方形13+4+1=18(个). 8、315个(个) 9、45个 最好的办法是先数出长方形和梯形的总数,再减去长方形的个数.长方形和梯形的总数为: (1+2+3+4+5+6)(1+2)=63(个) 长方形的个数为:(1+2+3)(1+2)=18(个) 梯形的总数为:63-18=45(个) 10、 126个 .尖朝上的三角形有五种: (1)W上=8+7+6+5+4=30(2)W上=7+6+5+4=22(3)W上=6+5+4=15(4)W上=5+4=9(5)W上=4尖朝上的三角形共有:30+22+15+9+4=80(个).尖朝下的三角形有四种:(1) W下=3+4+5+6+7=25(2)W下=2+3+4+5=14(3)W下=1+2+3=6(4)W下=1尖朝下的三角形共有25+14+6+1=46(个)80+46=126个. 二、简答题 1、解： 单个三角形有6个.两个图形组成的有4个.三个图形组成的有1个.四个图形组成的有2个.八个图形组成的有1个. 答：一共有: 6+4+1+2+1=14个. 2、解：一共有正方形 52+42+32+22+12 =25+16+9+4+1=55(个). 答：一共有正方形55个。3、解： 在大长方形中共有长方形: (4+3+2+1)(3+2+1)=60(个); 在小长方形中共有长方形: (4+3+2+1)(3+2+1)=60(个); 在与中重复的长方形有:1+2=3(个); 两个长方形共同组成的长方形有:(1+2)(2+2)+1(2+2)=16(个).图中共有长方形:60+60-3+16=133(个). 答：共有长方形有133个。4、解：基本的三角形有: 49=36(个). 由两个基本的三角形组成的三角形有: 49=36(个). 由四个基本的三角形组成的三角形: 432=24(个). 由九个基本的三角形组成的三角形: 42=8(个). 由八个基本的三角形组成的三角形: 44=16(个). 由十八个基本的三角形组成的三角形: 4(个). 答：共有三角形:36+36+24+8+16+4=124(个). 5、解： 一个三角形构成的有12个.两个三角形构成的有12个.三个三角形构成的有6个.四个三角形构成的有6个.六个三角形构成的有1个. 答：一共有: 12+12+6+6+1=37(个).