算法设计与分析第二版课后习题解答.doc

(完整word)算法设计与分析第二版课后习题解答
算法设计与分析基础课后练习答案
习题1.1
4。设计一个计算的算法,n是任意正整数.除了赋值和比较运算，该算法只能用到基本的四则运算操作。
算法求
//输入:一个正整数n2
//输出：.
step1：a=1；
step2:若a＊a〈n 转step 3，否则输出a;
step3:a=a+1转step 2；
5. a．用欧几里德算法求gcd（31415，14142)。
b。 用欧几里德算法求gcd（31415，14142），比检查min｛m，n｝和gcd（m,n）间连续整数的算法快多少倍？请估算一下。
a。 gcd(31415， 14142) = gcd（14142, 3131） = gcd(3131， 1618） =gcd（1618, 1513) = gcd(1513， 105) = gcd（1513, 105） = gcd(105， 43） =gcd（43, 19） = gcd(19， 5） = gcd(5, 4） = gcd(4, 1） = gcd(1， 0） = 1.
b。有a可知计算gcd（31415，14142）欧几里德算法做了11次除法。
连续整数检测算法在14142每次迭代过程中或者做了一次除法,或者两次除法，因此这个算法做除法的次数鉴于1·14142 和 2·14142之间,所以欧几里德算法比此算法快1·14142/11 ≈ 1300 与 2·14142/11 ≈ 2600 倍之间.
6.证明等式gcd（m，n）=gcd(n,m mod n）对每一对正整数m，n都成立。
Hint:
根据除法的定义不难证明：
l 如果d整除u和v， 那么d一定能整除u±v;
l 如果d整除u，那么d也能够整除u的任何整数倍ku。
对于任意一对正整数m,n，若d能整除m和n，那么d一定能整除n和r=m mod n=m-qn；显然，若d能整除n和r，也一定能整除m=r+qn和n.
数对(m，n)和（n，r）具有相同的公约数的有限非空集，其中也包括了最大公约数。故gcd（m,n)=gcd(n，r）
7.对于第一个数小于第二个数的一对数字，欧几里得算法将会如何处理?该算法在处理这种输入的过程中，上述情况最多会发生几次？
Hint：
对于任何形如0<=m〈n的一对数字,Euclid算法在第一次叠代时交换m和n， 即
gcd（m,n）=gcd（n，m)
并且这种交换处理只发生一次。
8.a。对于所有1≤m，n≤10的输入, Euclid算法最少要做几次除法？(1次)
b. 对于所有1≤m，n≤10的输入， Euclid算法最多要做几次除法?(5次）
gcd（5，8）
习题1.2
1.(农夫过河）

P-农夫 W-狼 G—山羊 C—白菜
2。(过桥问题)

1,2,5,10-—-分别代表4个人, f—手电筒
4。 对于任意实系数a,b，c， 某个算法能求方程ax^2+bx+c=0的实根,写出上述算法的伪代码(可以假设sqrt（x)是求平方根的函数)
算法Quadratic(a，b，c)
//求方程ax^2+bx+c=0的实根的算法
//输入:实系数a，b，c
//输出：实根或者无解信息
If a≠0
D←b＊b-4＊a＊c
If D〉0
temp←2＊a
x1←（—b+sqrt(D))/temp
x2←(—b—sqrt(D)）/temp
return x1,x2
else if D=0 return –b/（2＊a）
else return “no real roots”
else //a=0
if b≠0 return –c/b
else //a=b=0
if c=0 return “no real numbers"
else return “no real roots"
5。 描述将十进制整数表达为二进制整数的标准算法
a。用文字描述
b.用伪代码描述
解答：
a.将十进制整数转换为二进制整数的算法
输入：一个正整数n
输出：正整数n相应的二进制数
第一步:用n除以2,余数赋给Ki(i=0，1,2。。.）,商赋给n
第二步：如果n=0，则到第三步，否则重复第一步
第三步：将Ki按照i从高到低的顺序输出
b.伪代码
算法 DectoBin(n）
//将十进制整数n转换为二进制整数的算法
//输入：正整数n
//输出:该正整数相应的二进制数,该数存放于数组Bin［1..。n]中
i=1
while n！=0 do ｛
Bin［i］=n%2；
n=(int)n/2；
i++；
}
while i！=0 do{
print Bin[i］;
i—-;
｝
9。考虑下面这个算法,它求的是数组中大小相差最小的两个元素的差.（算法略)
对这个算法做尽可能多的改进.
算法 MinDistance(A［0.。n—1])
//输入：数组A［0。.n-1］
//输出:the smallest distance d between two of its elements

习题1.3
1. 考虑这样一个排序算法,该算法对于待排序的数组中的每一个元素，计算比它小的元素个数，然后利用这个信息，将各个元素放到有序数组的相应位置上去.

a。应用该算法对列表”60，35,81，98,14，47”排序
b。该算法稳定吗?
c。该算法在位吗?
解:
a。 该算法对列表”60，35,81,98，14,47"排序的过程如下所示：

b.该算法不稳定.比如对列表”2,2*”排序
c.该算法不在位.额外空间for S and Count［]
4。（古老的七桥问题)

第2章
习题2。1
7.对下列断言进行证明：（如果是错误的,请举例)
a。 如果t(n)∈O（g(n),则g（n)∈Ω(t（n））
b.α〉0时，Θ（αg（n）)= Θ（g(n))
解：
a。 这个断言是正确的。它指出如果t(n）的增长率小于或等于g(n)的增长率，那么 g(n)的增长率大于或等于t（n）的增长率
由 t（n)≤c·g（n) for all n≥n0， where c〉0
则： for all n≥n0
b. 这个断言是正确的。只需证明.
设f（n)∈Θ(αg(n）)，则有：
for all n>=n0, c〉0
for all n〉=n0， c1=cα〉0
即：f（n）∈Θ（g(n))
又设f（n)∈Θ(g（n))，则有： for all n〉=n0,c>0
for all n〉=n0，c1=c/α〉0
即：f(n）∈Θ（αg（n）)
8．证明本节定理对于下列符号也成立：
a。Ω符号
b.Θ符号
证明：
a。we need to proof that if t1（n)∈Ω（g1（n）） and t2(n)∈Ω(g2(n)), then t1（n)+ t2（n）∈Ω(max{g1（n)， g2（n）｝)。
由 t1（n）∈Ω（g1(n))，
t1(n)≥c1g1（n) for all n〉=n1， where c1>0
由 t2(n)∈Ω（g2（n）),
T2(n)≥c2g2(n) for all n〉=n2, where c2〉0
那么，取c〉=min{c1,c2},当n>=max｛n1，n2｝时:
t1（n)+ t2（n）≥c1g1(n)+ c2g2(n)
≥c g1（n)+c g2（n)≥c［g1(n)+ g2（n)]
≥cmax{ g1（n）, g2（n）}
所以以命题成立。
b. t1（n）+t2(n） ∈Θ（
证明:由大Ⓗ的定义知,必须确定常数c1、c2和n0，使得对于所有n>=n0，有：

由t1（n)∈Θ（g1(n）)知，存在非负整数a1,a2和n1使:
a1＊g1(n)<=t1(n）<=a2*g1(n)—----（1）
由t2(n）∈Θ（g2(n）)知，存在非负整数b1，b2和n2使：
b1*g2（n）〈=t2(n)〈=b2＊g2（n)————-(2)
(1）+（2)：
a1*g1（n)+ b1＊g2(n）〈=t1（n）+t2(n) 〈= a2＊g1(n)+ b2*g2（n）
令c1=min(a1，b1），c2=max（a2,b2)，则
C1*(g1+g2）<= t1(n）+t2(n) 〈=c2(g1+g2）—----（3)
不失一般性假设max(g1(n),g2(n)）=g1(n）.
显然，g1(n）+g2(n）〈2g1(n),即g1+g2<2max（g1,g2)
又g2（n)〉0，g1(n)+g2(n）〉g1(n），即g1+g2〉max（g1,g2）。
则（3）式转换为：
C1*max(g1，g2） <= t1(n)+t2（n） 〈=c2＊2max（g1，g2)
所以当c1＝min（a1，b1），c2＝2c2=2max（c1，c2)，n0＝max（n1，n2）时，当n>=n0时上述不等式成立。
证毕。
习题2.2
2. 请用的非正式定义来判断下列断言是真还是假.
a. n(n + 1)/2 ∈ O(n3) b。 n(n + 1）/2 ∈ O（n2）
c. n(n + 1)/2 ∈ Θ(n3) d. n(n + 1)/2 ∈ Ω（n）
答:c假，其它真。
5。按照下列函数的增长次数对它们进行排列（按照从低到高的顺序)
（n−2）！， 5lg(n+100）10, 22n, 0.001n4+3n3+1， ln2 n, ， 3n。
答：
习题2。3
1. 计算下列求和表达式的值。

答：
3. 考虑下面的算法.

a． 该算法求的是什么？
b． 它的基本操作是什么?
c． 该基本操作执行了多少次？
d． 该算法的效率类型是什么？
e． 对该算法进行改进,或者设计一个更好的算法,然后指出它们的效率类型。如果做不到这一点，请试着证明这是不可能做到的。

9.证明下面的公式：

可以使用数学归纳法，也可以像10岁的高斯一样，用洞察力来解决该问题。这个小学生长大以后成为有史以来最伟大的数学家之一.
数学归纳法：

高斯的方法:

习题2.4
1. 解下列递推关系 (做a，b）
当n〉1时
a。

解：

当n>1时
b.

解:

2. 对于计算n！的递归算法F(n），建立其递归调用次数的递推关系并求解.
解：

3. 考虑下列递归算法，该算法用来计算前n个立方的和:S（n）=13+23+…+n3.
算法S(n)
//输入:正整数n
//输出：前n个立方的和
if n=1 return 1
else return S（n—1)+n*n*n
a。 建立该算法的基本操作次数的递推关系并求解
b。 如果将这个算法和直截了当的非递归算法比，你做何评价?
解：

7. a. 请基于公式2n=2n—1+2n—1，设计一个递归算法.当n是任意非负整数的时候,该算法能够计算2n的值。
b。 建立该算法所做的加法运算次数的递推关系并求解
c。 为该算法构造一棵递归调用树,然后计算它所做的递归调用次数。
d. 对于该问题的求解来说，这是一个好的算法吗?
解：a。算法power(n）
//基于公式2n=2n—1+2n-1，计算2n
//输入:非负整数n
//输出: 2n的值
If n=0 return 1
Else return power（n—1)+ power(n—1)

c.

8。考虑下面的算法
算法 Min1(A[0.。n—1])
//输入：包含n个实数的数组A［0。.n-1]
If n=1 return A[0］
Else temp←Min1(A[0..n-2]）
If temp≤A[n—1］ return temp
Else return A[n—1]
a。该算法计算的是什么?
b.建立该算法所做的基本操作次数的递推关系并求解
解:
a。计算的给定数组的最小值
for all n>1
n=1
b。
9.考虑用于解决第8题问题的另一个算法,该算法递归地将数组分成两半.我们将它称为Min2（A［0。。n-1]）
算法 Min（A[r。.l])
If l=r return A[l］
Else temp1←Min2（A[l..（l+r）/2］）
Temp2←Min2(A[l..（l+r)/2]+1.。r）
If temp1≤temp2 return temp1
Else return temp2
a。建立该算法所做的的操作次数的递推关系并求解
b。算法Min1和Min2哪个更快？有其他更好的算法吗？
解:a。

习题2.5
3.java的基本数据类型int和long的最大值分别是当n最小为多少的时候，第n个斐波那契数能够使下面的类型溢出。
a。int类型 b.long类型

4。爬梯子 假设每一步可以爬一个或两格梯子，爬一部n格梯子一共可以用几种的不同方法？（例如,一部3格的梯子可以用三种不同的方法爬:1-1—1，1-2和2-1)。

6.改进算法Fib，使它只需要ϴ（1)的额外空间.

7.证明等式：

答：数学归纳法证明

习题2.6
1. 考虑下面的排序算法，其中插入了一个计数器来对关键比较次数进行计数.
算法SortAnalysis（A[0.。n-1］)
//input：包含n个可排序元素的一个数组A[0..n-1]
//output：所做的关键比较的总次数
count←0
for i←1 to n—1 do
v←A［i]
j←i-1
while j〉0 and A[j]>v do
count←count+1
A［j+1]←A[j]
j←j+1
A［j+1]←v
return count
比较计数器是否插在了正确的位置?如果不对，请改正.
解:应改为:
算法SortAnalysis(A［0。。n—1])
//input：包含n个可排序元素的一个数组A［0..n—1]
//output：所做的关键比较的总次数
count←0
for i←1 to n-1 do
v←A［i］
j←i-1
while j〉0 and A［j］>v do
count←count+1
A[j+1］←A［j］
j←j+1
if j〉=0 count=count+1
A[j+1］←v
return count
习题3。1
4. a。设计一个蛮力算法,对于给定的x0，计算下面多项式的值:
P(x）=anxn+an-1xn—1+…+a1x+a0
并确定该算法的最差效率类型。
b.如果你设计的算法属于Θ(n2)，请你为该算法设计一个线性的算法.
C.对于该问题来说，能不能设计一个比线性效率还要好的算法呢?
解：
a. Algorithms BruteForcePolynomialEvaluation(P［0..n]，x）
//由高幂到低幂用蛮力法计算多项式p在给定点x的值
//输入：P［0。.n]是多项式按低幂到高幂的常系数,以及定值x
//输出: 多项式p在给定点x的值
p=0。0
for i=n to 0 do
power=1
for j=1 to i do
power=power＊x
p=p+P[i］＊power
return p
算法效率分析：
基本操作：两个数相乘,且M（n）仅依赖于多项式的阶n

b. tha above algorithms is very inefficient， because we recompute powers of x again and again as if there were no relationship among them。In fact ,we can move from the lowest term to the highest and compute xi by using xi-1.
Algorithms BetterBruteForcePolynomialEvaluation(P[0。。n］,x)
//由高幂到低幂用蛮力法计算多项式p在给定点x的值
//输入：P［0。.n]是多项式按低幂到高幂的常系数，以及定值x
//输出： 多项式p在给定点x的值
P=P［0］
power=1
for i←1 to n do
power←power*x
p←p+P［i］*power
return p
基本操作乘法运算总次数M（n):

c.不行。因为计算任意一个多项式在任意点x的值，都必须处理它的n+1 个系数。例如： (x=1,p(x)=an+an—1+。.+a1+a0，至少要做n次加法运算）
5。应用选择排序对序列E,X,A，M,P，L,E按照字母顺序排序。

6.选择排序是稳定的吗？(不稳定)
7。用链表实现选择排序的话,能不能获得和数组版相同的Θ(n2)效率?
Yes.Both operation—finding the smallest element and swapping it –can be done as efficiently with the linked list as with an array。
8。应用冒泡排序对序列E，X,A,M,P,L,E按照字母顺序排序.

9。a。请证明,如果对列表比较一遍之后没有交换元素的位置,那么这个表已经排好序了，算法可以停止了。
b。结合所做的改进,为冒泡排序写一段伪代码。
c。请证明改进的算法最差效率也是平方级的.
Hints:
a. 第i趟冒泡可以表示为:

如果没有发生交换位置，那么:

b.Algorithms BetterBubblesort(A［0..n—1］）
//用改进的冒泡算法对数组A[0.。n—1］排序
//输入:数组A[0.。n-1］
//输出:升序排列的数组A[0。。n-1]
count←n—1 //进行比较的相邻元素对的数目
flag←true //交换标志
while flag do
flag←false
for i=0 to count-1 do
if A[i+1]〈A［i]
swap（A［i]，A[i+1］）
flag←true
count←count-1
c最差情况是数组是严格递减的，那么此时改进的冒泡排序会蜕化为原来的冒泡排序.
10.冒泡排序是稳定的吗？（稳定)
习题3。2
1. 对限位器版的顺序查找算法的比较次数：
a. 在最差情况下
b. 在平均情况下.假设成功查找的概率是p(0〈=p<=1)
Hints：
a. Cworst(n)=n+1
b. 在成功查找下,对于任意的I,第一次匹配发生在第i个位置的可能性是p/n,比较次数是i.在查找不成功时，比较次数是n+1,可能性是1-p.

6。给出一个长度为n的文本和长度为m的模式构成的实例,它是蛮力字符串匹配算法的一个最差输入.并指出，对于这样的输入需要做多少次字符比较运算.
Hints:
文本：由n个0组成的文本
模式:前m—1个是0，最后一个字符是1
比较次数: m(n—m+1)
7.为蛮力字符匹配算法写一个伪代码,对于给定的模式,它能够返回给定的文本中所有匹配子串的数量.
Algorithms BFStringmatch(T［0。。n-1］，P[0.。m-1］）
//蛮力字符匹配
//输入:数组T［0。。n-1］-长度为n的文本,数组P［0。.m-1]—长度为m的模式
//输出:在文本中匹配成功的子串数量
count←0
for i←0 to n-m do
j←0
while j〈m and P[j］=T［i+j］
j←j+1
if j=m
count←count+1
return count
8.如果所要搜索的模式包含一些英语中较少见的字符,我们应该如何修改该蛮力算法来利用这个信息.
Hint:每次都从这些少见字符开始比较,如果匹配, 则向左边和右边进行其它字符的比较.
习题3.4
8。解释一下如何对排序问题应用穷举查找，并确定这种算法的效率类型.
答：生成给定元素的一个排列，通过连续比较它们之间的元素，检查他们是否符合排序的要求。如果符合就停止，否则重新生成新的排列.
最差情况生成排列的个数是n！，每趟连续元素比较次数为n—1次。所以效率类型为O（n！（n—1)）。
9。幻方 一个n阶幻方是把从1到 n2的整数填入一个n阶方阵,每个整数只出现一次,使得每一行，每一列,每一条主对角线的和都相等。
a.证明：如果一个n阶幻方存在的话，所讨论的和一定等于n(n2+1）/2.
答：令s为n阶幻方的每一行的和.则把从1到 n2的整数求和可得如下式子

由上式可得：

习题4。1
1.a。为一个分治算法编写伪代码,该算法求一个n个元素数组中最大元素的位置。
b。如果数组中的若干个元素都具有最大值，该算法的输出是怎样的呢?
c.建立该算法的键值比较次数的递推关系式并求解.
d.请拿该算法与解同样问题的蛮力算法做一个比较
解：a.
Algorithms MaxIndex(A[l。.r］）{
Input:A portion of array A［0。。n-1] between indices l and r（l≤r）
Output: The index of the largest element in A[l..r］
if l=r return l
else temp1←MaxIndex（A[l。。(l+r）/2])
temp2←MaxIndex(A［（l+r)/2.。r］)
if A［temp1］≥A［temp2] return temp1
else return temp2
｝
b.返回数组中位于最左边的最大元素的序号。
c。键值比较次数的递推关系式：
C(n)=C（ n/2 )+C( n/2 ）+1 for n〉1
C(1)=0
设n=2k，C(2k）=2C（2k—1）+1
=2[2 C(2k—2）+1］+1=22C（2k-2）+2+1
=2［22C（2k-3)+1]+2+1=23C（2k—3）+ 22+2+1
=。。。
=2iC（2k-i）+ 2i-1+2 i—2 +。..+2+1
=...
=2kC（2k—k）+ 2k—1+2 k—2 +.。。+2+1=2k－1=n-1
可以证明C(n)=n-1对所有n>1的情况都成立(n是偶数或奇数）
d.比较的次数相同，但蛮力算法不用递归调用。
2、a。为一个分治算法编写伪代码,该算法同时求出一个n元数组的最大元素和最小元素的值。
b.请拿该算法与解同样问题的蛮力算法做一个比较。
c.请拿该算法与解同样问题的蛮力算法做一个比较.
解答:
a.同时求出最大值和最小值,只需要将原数组一分为二，再使用相同的方法找出这两个部分中的最大值和最小值，然后经过比较就可以得到整个问题的最大值和最小值。
算法 MaxMin（A［l..r]，Max,Min)
//该算法利用分治技术得到数组A中的最大值和最小值
//输入：数值数组A［l..r］
//输出：最大值Max和最小值Min
if(r=l) Max←A[l］；Min←A[l］; //只有一个元素时
else
if r－l=1 //有两个元素时
if A[l]≤A[r］
Max←A［r]; Min←A［l]
else
Max←A[l]; Min←A[r]
else //r－l〉1
MaxMin(A［l,(l+r)/2］，Max1,Min1); //递归解决前一部分
MaxMin（A[(l+r/)2..r]，Max2，Min2)； //递归解决后一部分
if Max1＜Max2 Max= Max2 //从两部分的两个最大值中选择大值
if Min2<Min1 Min=Min2； //从两部分的两个最小值中选择小值
｝
b。假设n=2k，比较次数的递推关系式：
C(n)=2C（n/2）+2 for n>2
C(1）=0, C(2）=1
C(n)=C（2k）=2C（2k-1)+2
=2[2C（2k-2）+2］+2
=22C(2k—2）+22+2
=22[2C(2k-3）+2］+22+2
=23C(2k-3)+23+22+2
。.。
=2k—1C（2)+2k-1+2k—2+。。。+2 //C(2）=1
=2k-1+2k-1+2k-2+。..+2 //后面部分为等比数列求和
=2k—1+2k—2 //2(k—1）=n/2，2k=n
=n/2+n-2
=3n/2－2
b.蛮力法的算法如下：
算法 simpleMaxMin(A［l.。r］）
//用蛮力法得到数组A的最大值和最小值
//输入：数值数组A［l。。r]
//输出:最大值Max和最小值Min
Max=Min=A［l］;
for i=l+1 to r do
if A［i］>Max Max←A［i］；
else if A［i]〈Min Min←A[i]
return Max,Min
}
时间复杂度t（n）=2（n-1）
算法MaxMin的时间复杂度为3n/2-2，simpleMaxMin的时间复杂度为2n-2，都属于Θ（n),但比较一下发现,MaxMin的速度要比simpleMaxMin的快一些。
6。应用合并排序对序列E,X,A,M,P,L,E按字母顺序排序。

3
2
1

8.a.对合并排序的最差键值比较次数的递推关系式求解。(for n=2k)
b.建立合并排序的最优键值比较次数的递推关系式求解.（for n=2k)
c.对于4.1节给出的合并排序算法，建立它的键值移动次数的递推关系式。考虑了该算法的键值移动次数之后,是否会影响它的效率类型呢?
解：
a. 递推关系式见4.1节.

b. 最好情况（列表升序或降序)下：
Cbest（n）=2Cbest（n/2）+n/2 for n>1 (n=2k）
Cbest(1)=0

c. 键值比较次数M（n）
M(n）=2M（n)+2n for n>1
M(1)=0
习题4.2
1。应用快速排序对序列E,X,A，M,P,L，E按字母顺序排序

4. 请举一个n个元素数组的例子,使得我们有必须对它使用本节提到的”限位器”。限位器的值应是多少年来？为什么一个限位器就能满足所有的输入呢?
Hints:
With the pivot being the leftmost element, the left-to—right scan will get out of bounds if and only if the pivot is larger than the other elements。
Appending a sentinel(限位器） of value equal A[0](or larger than A［0］) after the array's last element , the quicksort algorithms will stop the index of the left-to—right scan of A［0..n-1] from going beyond position n.
8。设计一个算法对n个实数组成的数组进行重新排列,使得其中所有的负元素都位于正元素之前。这个算法需要兼顾空间和时间效率.
Algorithms netbeforepos（A[0。.n—1]）
//使所有负元素位于正元素之前
//输入:实数组A[0。.n-1］
//输出：所有负元素位于于正元素之前的实数组A［0.。n—1]
A［—1]←-1； A［n]←1 //限位器
i←0; j←n—1
While i〈j do
While A[i］≤0 do
i←i+1
while A[j]≥0 do
j←j—1
swap A［i］and A[j］
swap A［i］and A［j］ //undo the last swap
当全是非负数或全是非正数时需要限位器。
习题4.3
2. 当n=2k时，用反向替换法求下面的递推方程：
当n〉1时， Cw（n)=Cw（n/2）+1, Cw(1）=1
(略）
4。如果对于一个100000个元素的数组成功查找的话，使用折半查找比顺序查找要快多少倍？

6． 如何将折半查找应用于范围查找？范围查找就是对于一个有序数组，找出位于给定值L、U之间（包含L、U）的所有元素，L〈=U。该算法的最差效率是多少？
Hints:
Step1: 检查A[0］≤L，A［n-1]≥U是否成立，若不成立，则无解。否则进入step 2
Step2:在数组A中用二分查找法查找值L，如果查找成功，则返回数组下标m，否则l二分查找结束时的值。
Step3： 在数组A中用二分查找法查找值U，如果查找成功，则返回数组下标m,否则r为二分查找结束时的值。
最后，结果就是在数组序号范围在low和high（包含low，high）之间的范围.（low和high是step2和step3的值。)
7． 为折半查找写递归的伪代码。
Algorithms BSR（A[o。.n-1］，K）
//折半查找递归算法
//有序子数组A［l.。r]和查找键值K
//查找成功则输出其下标，否则输出-1
if l〉r return -1
else m← （l+r)/2
if K=A[m] return m
else if K< A［m] return BSR(A[l。.m-1］,K)
else if K〉 A［m] return BSR（A[m+1,r］，K）
8.设计一个只使用两路比较的折半查找算法，即只用≤和=， 或者只用≥和=。
Algorithms TwoWaysBinarySearch（A［o。。n-1]，K)
//二路比较的折半查找
//有序子数组A［l.。r］和查找键值K
//查找成功则输出其下标，否则输出—1
l←0， r←n—1
while l<r do
m← （l+r）/2
if K≤A[m］
r ←m
else l ←m+1
if K=A[l］ return l
else return —1
习题4。5
3. 用课文中介绍的分治算法来计算2101*1130。

习题4.6
1.a.为最近对问题的一维版本设计一个直接基于分治技术的算法，并确定它的效率类型
b。对于这个问题,它是一个好算法吗？
解：
a. Algorithms ClosestNumber(A［l。.r]）
//分治计算最近对问题的一维版本
//输入:升序排列的实数子数组A［l。.r］
//输出:最近数对的距离
If r=l return ∞
Else if r－l=1 return A[r］－A[l]
Else return min｛ClosestNumber(A[l… （l+r）/2 ］),
ClosestNumber(A［ (l+r）/2 .。。r］）
A［ （l+r)/2 +1］－A［ （l+r）/2 ]
｝
设递归的时间效率为T（n)：
对n=2k， 则: T（n）=2T(n/2）+c
利用主定理求解.T（n）=Θ(n)
2.（题略)

习题5.1
4. 应用插入排序对序列E，X，A,M，P，L,E按照字母顺序排序。
答:插入排序过程如下：

习题5.4
2. 使用下面的方法生成{1,2,3，4}的全部排列：
a. 从底向上的最小变化算法。
b. Johnson-Trotter算法。
c. 字典序算法.
答：从底向上的最小变化算法过程如下:

b．Johnson—Trotter算法实现如下:

c 。字典序算法实现如下：

9。 a。当n=4时，用减一技术生成它的格雷码.
答:用减一技术生成格雷码:
n=1 0→1;
n=2 00→01→11→10；（从左到右，最左边填0，从右到左，最左边填1)
n=3 000→001→011→010→110→111→101→100
n=4生成的格雷码：

习题5.5
3. 应用俄式乘法来计算46＊47。
答:
习题5。6
6.a。为了使大于6，n的最小值是多少？
答:

习题6。4
1.a。用自底向上算法为列表1，8，6，5,3,7,4构造一个堆.

习题6。5
4.a.应用霍纳法则计算这个多项式：

b. 利用霍纳法则的运算结果，求p（x）除以x+2之后的商和余数。

6.a。应用从左到右二进制算法计算a17。

7.应用从右到左二进制幂算法计算a17.

习题7.1
1. 不使用额外的存储来交换两个变量的数值是否可能，比如说是u和v。

习题7。2
1. 应用Horspool算法在下面的文本中查找模式BAOBAB:
BESS_KNEW_ABOUT_BAOBABS
答:

习题7。3
1. 对于输入30,20,56,75,31,19和散列函数h(K）=K mod 11
a. 构造它们的开散列表；
b. 求在本表中成功查找的最大键值比较次数;
c. 求在本表中成功查找的平均键值比较次数.

习题8.2
1. 对由下面邻接矩阵定义的有向图，应用warshall算法求它的传递闭包。

答:

7。对于下面具有权重矩阵的有向图，求解完全最短路径问题。

答：

习题8.3
1. 完成本节构造最优二叉查找树例题中余下的计算。

习题8。4
1. a对于下面背包问题的实例,应用自底向上动态规划算法求解。

b．a中的实例有多少个不同的最优子集？

9。为找零问题设计一个动态规划