楔形梁失稳载荷的计算.doc

中北大学2010届毕业论文毕业论文楔形梁失稳载荷的计算毕业设计（论文）原创性声明和使用授权说明原创性声明本人郑重承诺：所呈交的毕业设计（论文），是我个人在指导教师的指导下进行的研究工作及取得的成果。尽我所知，除文中特别加以标注和致谢的地方外，不包含其他人或组织已经发表或公布过的研究成果，也不包含我为获得 及其它教育机构的学位或学历而使用过的材料。对本研究提供过帮助和做出过贡献的个人或集体，均已在文中作了明确的说明并表示了谢意。作 者 签 名： 日 期： 指导教师签名： 日期： 使用授权说明本人完全了解XX大学关于收集、保存、使用毕业设计（论文）的规定，即：按照学校要求提交毕业设计（论文）的印刷本和电子版本；学校有权保存毕业设计（论文）的印刷本和电子版，并提供目录检索与阅览服务；学校可以采用影印、缩印、数字化或其它复制手段保存论文；在不以赢利为目的前提下，学校可以公布论文的部分或全部内容。作者签名： 日 期： 目 录1 绪论11.1 引言11.2 变截面构件的研究现状21.2.1 国内外的理论研究21.2.2 国内外的实际工程应用41.2.3 现行研究的不足51.3 本文研究的主要内容52 楔形截面悬臂钢梁弹性稳定分析62.1 稳定问题的类型62.1.1 平衡分岔失稳62.1.2 极值点失稳82.1.3 跃越失稳92.2 稳定问题的计算方法102.2.1 平衡法112.2.2 能量法112.2.3 动力法122.2.4 稳定计算的近似方法122.2.5 瑞利一里兹法132.2.6 其它数值方法142.3 悬臂钢梁总势能公式153 楔形截面悬臂钢梁临界载荷公式推导及有限元分析193.1 楔形截面悬臂钢梁临界荷载公式推导193.1.1 基本假定及计算简图193.1.2 总势能公式的简化处理203.1.3 自由端上翼缘集中荷载临界值的简化公式223.1.4 小结243.2 ANSYS模型分析对比243.2.1 特征值屈曲分析的步骤253.2.2 建立模型253.2.3 获得静力解263.2.4 获得特征值屈曲解263.2.5 扩展解283.2.6 查看结果293.3算例及有限元结果对比分析303.4 小结354 结论364.1 结论364.2 有待进一步研究的问题36参考文献37致谢40第 IV 页 共II页中北大学2010届毕业论文楔形梁失稳载荷的计算摘要钢结构近年来在我国的应用得到较快发展，这种结构以其强度高、自重轻、抗震性能好、施工速度快、工业化程度高、可重复使用率高、有利于环保等一系列优点，在建筑结构中得到广泛应用。在钢结构构件中，大多数构件同时承受压力和弯矩，且弯矩分布是不均匀的，为了满足强度要求并降低钢材消耗量，采用变截面构件是一种有效的方法，采用变截面构件使得沿构件长度方向应力分布大致相同，从而最大限度的利用材料，保持了外形的轻巧美观。因此，对变截面钢结构分析理论尤其是稳定性理论的发展不仅仅具有理论上的意义，而且具有重要 的实用价值。本文应用能量法及有限元分析对楔形截面悬臂钢梁进行稳定性研究。首先应用瑞利里兹法建立了楔形截面悬臂钢梁的临界荷载简化求解公式，然后通过有限元软件ANSYS对多组楔形截面悬臂钢梁进行模拟分析，来验证本文所建立公式的正确性和有效性。算例表明，本文得出的简化计算公式精度高，方法简捷，便于实际应用，具有很高的工程实用价值。关键词：钢结构,稳定性,有限元,临界荷载,悬臂梁calculation of Wedge-shaped beam buckling loadABSTRACTApplication of steel structure has been developed more rapidly in our country recently this kind of structure has been applied widely with the good characteristics of its high strength light weight good anti-vibration performance， rapid construction speed， high level of industrialization，high repeatable use ratio benefit for environmental protection etcPressure and moment are applied to the members of steel structure simultaneously，and the moment distribution is unevenIn order to meet the strength requirements and reduce the consumption amount of the steel，the variable cross-sectional members is used as an effective wayStress distribution on the tapered cross-sectional components along its length is uniform approximately，and the use of materials is up to maximum，it also maintains aesthetic and light weighted in the shapeSo，the development of the analysis theory especially the stability theory has not only significance in theory but also the important utility value This thesis makes a stability research on the tapered steel cantilever with the energy method and finite element analysisFirstly，solving formulae of simplified critical load of the tapered steel cantilever are attained with the Rayleigh-Ritz methodSecondly，a series of the taper steel cantilevers are taken the simulation analysis with the finite element software ANSYS to verify the correctness and validity of the formulae established by this paper The numerical calculation results show that the simplified formula given in this paper is accurate and convenient，it can be easily used in practice and it has significant utility value in engineeringKey words：steel structure；stability；finite element：critical load；cantilever中北大学2010届毕业论文1 绪论1.1 引言钢结构具有强度高、自重轻、抗震性能好、施工速度快、地基费用省，结构面积小、工业化程度高、外形美观等一系列优点，与混凝土结构相比它是环保型和可再次利用的，也是易于产业化的结构，发达国家在房屋建筑中广泛采用钢结构。我国自钢产量突破亿吨及实行合理利用钢材和积极采用钢结构的政策以来，建筑钢结构得到迅速发展，中国建筑技术政策(199620l0年)的公布，对钢结构的发展是一个有力的推动，开创了钢结构在建筑中应用的新时期。当前，我国一改过去钢材不足的局面，转而成为钢材生产大国；摆在日程上的问题早已不是少用钢材，而是积极合理的扩大钢结构在建筑中的应用1。在钢结构构件中，大多数构件同时承受压力和弯矩，且弯矩分布是不均匀的，为了满足强度要求并降低钢材消耗量，采用变截面构件是一种有效的方法，采用变截面构件使得沿构件长度方向应力分布大致相同，从而最大限度的利用材料，保持了外形的轻巧美观，因此许多年来，楔形变截面构件在实际工程中被广泛地应用。列出常见的几种变截面构件2如图1.1、图1.2、图1.3和图1.4所示。图1.1(a)所示两端简支变翼缘截面的构件，在其两端距离为硝的范围内改变截面尺寸，端部的截面如图1-1(b)所示，中部的截面如图1.1(c)所示。图1.2(a)所示两端简支的阶形构件，在其两端长度为硝的范围内，改变截面的高度和翼缘尺寸，端部和中部截面尺寸分别如图1.2(b)和图1.2(c)所示。图1.3(a)所示两端简支的楔形构件，端部截面和中部截面分别如图1.3(b)和图1.3(c)所示。图1.4(a)所示一端固结的楔形悬臂构件，截面形式沿腹板高度线性变化，构件截面尺寸如图1.4(b)所示。 (a) (b) (c)图1.1变翼缘的阶形受弯构件(a) (b) (c)图1.2变高度和变翼缘的阶形受弯构件(a) (b) (c)图1.3变高度的楔形受弯构件(a)(b)图1.4变高度的楔形悬臂受弯构件钢材和其它建筑结构材料相比，强度要高得多。在同样的荷载条件下，钢结构构件截面小，截面组成部分的厚度也小因此，稳定问题在钢结构设计当中是一个突出的问题。只要构件及其局部有受压的可能，在设计时就应考虑如何防止失稳。因此，随着变截面钢构件的广泛应用，此种结构的分析理论尤其是稳定性理论的发展不仅仅具有理论上的意义，而且具有重要的实用价值。1.2 变截面构件的研究现状1.2.1 国内外的理论研究对变截面构件的研究多集中在其极限承载力和构件的计算等方面，并多采用将常截面构件的设计公式扩大到楔形杆，使其分析简化；一般讲，有两种基本的研究方法3：一种是研究单个楔形杆件的稳定状态，例如，压杆稳定、侧向稳定、压弯杆性能，另一种是对构件进行整体分析。在国外，虽然变截面钢构件曾在一段时期应用于不同的结构工程中，并且在1955年以前就已有分析方法4，5，但到1966年，CRC和WRC才成立了联合工作委员会，研究和提供楔形杆的设计资料和建议。从那以后，许多结果才得以发表，在这些分析研究的同时，进行了一些平行的试验研究，主要是对那些腹板和翼缘均为楔形的楔形工字梁和槽钢，按悬臂压弯杆进行了试验，研究了这些杆件的弹性稳定及其支撑系的要求，进行了楔形工字梁压弯杆的非弹性稳定研究，并且量测了焊接楔形杆中的残余应力6-9。从这次大规模的研究以后，又有一部分外国学者进行了楔形构件的研究，2000年，国外学者EMirambell和AVZarate对楔形工字梁进行了局部屈曲的研究10，他们通过有限元软件Abaqus进行了大量的计算，得到了同时考虑多个参数影响的楔形变截面梁腹板局部屈曲的计算公式。在国内，西安建筑科技大学在变截面构件的研究方面进行了很多工作，主要集中在楔形构件的计算长度，以及楔形构件局部稳定方面的研究。东南大学一些学者采用直接能量变分法和有限元方法对变截面梁在弹塑性阶段的稳定极限问题进行了研究分析。苏州科技学院进行了变截面钢梁的优化设计研究3 。1998年，陈绍蕃教授对楔形变截面门式钢架柱、梁的稳定计算长度进行了分析，并提出了计算方法11同年，陈绍蕃教授又进一步论述了轻型变截面门式钢架钢柱稳定计算公式的特点及楔形柱在钢架平面内、平面外的计算长度系数和等效弯矩系数的确定方法12，2000年，同济大学的李国强教授在建立和求解TimoshenkoEuler楔形单元平衡微分方程的基础上，利用求得的有限元方程计算了不同边界条件下楔形轴心压杆的弹性临界荷载和计算长度系数。分别研究了楔率和剪切变形对压杆计算长度的影响，并由此得到了相应的实用公式和曲线13，2000年，童根树等学者对变截面楔形工字钢简支构件平面外弹性稳定进行了研究，分别研究了在轴心受压，偏心受压及只受端弯矩作用三种受力条件下楔杆的平面外稳定14。2002年，西北农林科技大学的学者根据对变截面构件的研究，建立了一种宽度自适应的变截面梁单元模型，并用能量法导出了楔形变截面梁单元的刚度矩15。2003年，哈尔滨工业大学土木工程学院部分学者利用ANSYS对空腹楔形压弯构件进整体稳定分析，得出不同孔洞大小、间距和楔率情况下的M和N相关曲线，分析了孔洞、间距和楔率的影响16。2003年，浙江大学一些学者通过数值积分方法研究了楔形截面压弯构件平面内弹塑性弯曲失稳问题，然后以大头截面为计算截面，建立了变截面压弯构件的轴向荷载和端弯矩之间的相关关系。并提出了以大头截面为计算截面的压杆稳定性计算公式，给出了配套的变截面压杆计算长度系数公式和表格。对变截面压杆与等效的等截面压杆的弹塑性工作性能进行了比较，发现后者总是在悬臂柱的固定端截面开始出现塑性，而变截面压杆的塑性区在离固定端一定高度的地方出现，这一差别导致弹塑性失稳的变截面压杆比等效的变截面压杆承载力要高17。其它方面的研究报告，在国内很少见。1.2.2 国内外的实际工程应用变截面钢梁应用于桥梁工程，在文献中查到的该类型公路桥有三座：捷克易北河玛丽安桥、西班牙塞维利亚的Alamillo桥、哈尔滨太阳桥。捷克易北河玛丽安独塔斜拉桥18。此桥坐落于捷克共和国布拉格市以北100km拉贝河畔乌斯季市的易北河上。该桥桥位选在河左岸一处巨大悬崖的对面。在右岸，桥梁和已建成的基础设施连接，即一座跨越铁路线的公路桥河一个环形交通枢纽。主跨123.3m，采用带有悬臂的钢箱梁，梁高3.0m，悬臂长10.95m，桥面板为正交异性板，在主梁的顶面设有3.5m宽人行道和自行车道。为了支承主跨的重量，桥塔按具有很大抗弯刚度的要求进行设计，底座以上塔高75m，塔下部7.5m高采用预应力混凝土，其余的67.5m采用钢结构，钢结构部分分成27个节段，每节段长2.5m。钢板厚1250mm。塔柱采用箱形截面，纵、横向加劲肋布置在箱内，并留出检查和维修空间。斜拉索采用双索面结构，斜拉索15对，按扇型布置。斜拉索锚固在塔上部的壁板中及箱梁的腹板上。每根索由若干根平行钢铰线组成，采用三重防腐保护。西班牙塞维利亚的Alamillo桥19。Alamillo桥是一座位于La Cartuja岛北部的公路桥，建于1992年，建成后成为了塞维利亚这座古老城市的标志性建筑。Alamillo桥由SantiagoCalatfava先生设计，全长250m，主跨200m，桥宽32m，顺桥向每隔一段设一道箱形悬臂梁，索距12m，斜塔倾角为58，塔高142m，是世界上第一座大跨度无背索斜塔斜拉桥。哈尔滨太阳桥20，主桥跨径布置为：14m(西过渡孔)+ 60m(边跨)+140m(中跨)+14m(过渡孔)=228m(桥梁总长)。桥梁总宽15.5m，有效宽度12m。主梁(含0号节段)全长200m，共分27个节段，标准节段长度8m，梁高2.4m，为扁平流线形正交异性桥面板钢箱梁，底面为圆弧形。主塔为钻石造型，倾角60，塔高93.526m，采用变截面钢箱结构，有索区塔截面由2个8边形组合而成。无索区为2个分离式8边形，主塔内分阶段填充C30微膨胀混凝土。1.2.3 现行研究的不足尽管国内外学者对变截面钢结构体系已开展了一系列的研究，取得了丰硕的成果，并把变截面体系理论应用到实际工程中，但还存在一些不足，例如：(1)对楔形截面悬臂钢梁的稳定性研究还比较薄弱；(2)目前对楔形截面悬臂钢梁稳定计算的方法过程繁杂，不利于实际操作；(3)对楔形截面悬臂钢梁一些稳定参数尚缺乏深入的研究。1.3 本文研究的主要内容本文对楔形截面悬臂钢梁的整体稳定计算方法进行了研究，研究的主要内容包括理论研究和有限元分析两部分内容： 1理论研究本文对沿腹板高度线性变化的楔形截面悬臂钢梁用瑞利里兹法进行稳定性公式推导。通过理论研究，希望得出以下成果：楔形截面悬臂钢梁上翼缘自由端受到集中荷载作用时，得到集中临界荷载的简化计算公式。 2有限元分析(1)借助有限元理论及大型结构通用软件ANSYS建立合理的有限元模型，并通过大量的ANSYS计算对简化公式的合理性进行验证。(2)通过ANSYS计算结果，对楔形截面悬臂钢梁的稳定性能进行分析探讨。2 楔形截面悬臂钢梁弹性稳定分析2.1 稳定问题的类型钢结构的失稳现象是多种多样的，但就其性质而言，可以分为以下三类。2.1.1 平衡分岔失稳完善的(即无缺陷的，挺直的)轴心受压构件和完善的在中面内受压的平板的失稳都属于平衡分岔失稳问题。属于这一类的还有理想的受弯构件以及受压的圆柱壳等的失稳。以完善的轴心受压构件为例予以说明。当作用于图2.1(b)所示构件端部的荷载P在未达到某一限值时，构件始终保持着挺直的稳定平衡状态，构件的截面只承受均匀的压应力，同时沿构件的轴线只产生相应的压缩应变。如果在其横向施加一微小干扰，构件会呈现微小弯曲，但是一旦撤去此干扰，构件又会立即恢复到原有的直线平衡状态。如果作用于上端的荷载达到了限，构件会突然发生弯曲，这种现象称为屈曲，或者称为丧失稳定。这时如图2.1(c)所示，构件由原来的挺直平衡状态转变到与其相邻的伴有微小弯曲的平衡状态。荷载到达A点后，图2.1(a)的荷载一挠度曲线呈现了两个可能的平衡途径，直线AC和水平线AB(或)在同一点A出现了岔道。构件所能承受的荷载限值称为屈曲荷载或临界荷载。由于在同一个荷载点出现了平衡分岔现象，所以其失稳称为平衡分岔失稳，也称第一类失稳。平衡分岔失稳还分为稳定分岔失稳和不稳定分岔失稳两种。(1)稳定分岔失稳图2.1(a)的荷载挠度曲线是按小挠度理论分析得到的。按照大挠度理论分析，轴心受压构件屈曲 后，挠度增加时荷载还略有增加，如图2.2(a)所示，屈曲后构件的荷载一挠度曲线是AB或，这时平衡状态是稳定的，属于稳定分岔失稳。不过大挠度理论分析表明，荷载的增加量非常小而挠度的增加却很大，构件因有弯曲变形而产生弯矩，在压力和弯矩的共同作用下，中央截面边缘纤维先开始屈服，随着塑性发展，构件很快就达到极限状态，所以轴心受压构件屈曲以后的强度不能被利用。(a) (b) (c)图2.1轴心受压构件弯曲屈曲对于四边有支承的薄板，如图2.2(b)，其中面在均匀的压力P的作用下达到屈曲荷载足后发生凸曲。由于其侧边同时产生薄膜力，对薄板的变形起了牵制作用，促使荷载还能有较大程度增加，荷载一挠度曲线如图2.2(b)的或，屈曲以后板的平衡状态也是稳定的，也属于稳定分岔失稳。由于板的极限荷载可能远超过屈曲荷载，所以可以利用板的屈曲后强度。应该注意到，上面研究的轴心受压构件和薄板的失稳现象都是在理想条件下发生的。实际的轴心受压构件和薄板并非是平直的，它们在受力之前都可能存在微小弯曲变形(称为初弯曲或几何缺陷)，初始缺陷使构件和板的极限荷载有所降低，其荷载挠度曲线不再有分岔点，而是如图2.2(a和b)中的虚线所示。但是，对于具有稳定分岔失稳性质的构件来说，初始缺陷的影响较小，对于薄板，即使有缺陷的影响，其极限荷载仍可能高于屈曲荷载。图2.2稳定分岔失稳(2)不稳定分岔失稳还有一类结构，在屈曲后只能在远比屈曲荷载低的条件下维持平衡状态。例如承受均匀压力的圆柱壳，其荷载挠度曲线如图2.3(a)所示的或，这属于不稳定分岔失稳，这种屈曲形式也称为有限干扰屈曲；因为在极微小的不可避免的有限干扰的作用下，圆柱壳在达到平衡分岔屈曲荷载之前，就可能由屈曲前的稳定平衡状态跳跃到非邻近的平衡状态，如图中的曲线，不经过理想的分岔点A。缺陷对这类结构的影响很大，使实际的极限荷载只远小于理论上的屈曲荷，其荷载挠度曲线如图中虚线所示。研究这类稳定问题的目的是要探索小于屈曲荷载的安全可靠的极限荷载。(a) (b)图2.3不稳定分岔失稳 图2.4极值点失稳2.1.2 极值点失稳偏心受压构件在轴向压力作用下产生弯曲变形，其荷载一挠度曲线如图2.4，在曲线的上升段oAB，构件的挠度随荷载而增加，处在稳定平衡状态，而曲线上的A点表示构件中点截面的边缘纤维开始屈服；荷载继续增加时由于塑性向内扩展，弯曲变形加快，图中曲线出现下降段BC，表示维持平衡的条件是要减小构件端部的压力，因而使构件处于不稳定平衡状态；曲线的极值点B标志了此偏心受压构件在弯矩作用的平面内已达到了极限状态，对应的荷载为构件的极限荷载。由图2.4可知，具有极值点失稳的偏心受压构件的荷载挠度曲线只有极值点，没有出现如理想轴心受压构件那样在同一点存在两种不同变形状态的分点，构件弯曲变形的性质没有改变，故此失稳称为极值点失稳，也称为第二类失稳。2.1.3 跃越失稳如图2.5(a)所示的两端铰接较平坦的拱结构，在均布荷载q的作用下有挠度W，其荷载一挠度曲线也有稳定的上升段oA，但是达到曲线的最高点A时会突然跳跃到一个非邻近的具有很大变形的C点，拱结构顷刻下垂。在荷载一挠度曲线上，虚线AB是不稳定的，BC段虽然是稳定的而且一直是上升的，但是因为结构已经破坏，故不能被利用。与A点对应的荷载q。是坦拱的临界荷载。这种失稳现象称为跃越失稳，它既无平衡分岔点，又无极值点，但和不稳定分岔失稳又有某些相似的现象，都在丧失稳定平衡后又跳跃到另一个稳定平衡状态。扁壳和扁平的网壳结构也可能发生跃越失稳。图2.5(b)是发生局部凹陷的网壳结构的点状跃越失稳。带有缓坡的有侧移大跨度门式钢架，当钢架横梁的刚度很弱而侧移刚度却较强时，有可能发生如图2.5(d)所示的跃越失稳。横梁的初始倾角即横梁的坡度对这类结构的变形影响很大，雷同于有缺陷的不稳定分岔失稳。缺陷对这类结构的影响也很大。图2.5跃越失稳区分结构失稳类型的性质十分重要，否则不可能正确估量结构的稳定承力。对于具有平衡分岔失稳现象的结构，如前所述，理论上的屈曲荷载区分成三种情况，一种比较接近于实际的极限荷载，一种大于实际的极限荷载，一种远小于实际的极限荷载。大挠度理论才能揭示具有平衡分岔失稳的结构屈曲后的性能，然而用大挠度理论分析实际结构的计算过程十分复杂。为了揭示具有分岔失稳现象结构的共性，Koiter，WT于1945年利用简单的力学模型系统的分析了分岔失稳的屈曲后性能，建立了完整的理论22 23。2.2 稳定问题的计算方法从前面分析的几种结构的失稳现象可知，并非处在平衡状态的结构都是稳定的。为了进一步说明这一问题，可以用图2.6中的小钢球所处的三种不同的平衡位置来说明平衡的稳定性24-26。图中的三个小钢球都处在平衡状态，但其稳定性却并不相同。对于图2.6(a)，当给小球微小干扰后，小球虽然暂时离开了原点，但其势能增加了，一旦撤去干扰，小球又可恢复到原点，因此这种平衡状态是稳定的；图2.6(b)则不然，小球经干扰离开原点以后，其势能减小了，撤去干扰后小球不仅不能恢复到原来的原点，反而继续向下滚动，远离原点，因此这种平衡状态是不稳定的；图2.6(c)的小球经干扰后离开原点，干扰撤去后停留在新的位置，处在中性平衡状态，又称随遇平衡状态，也可以说是从稳定平衡过渡到不稳定平衡的临界状态。图2.6平衡状态的稳定性对于具有分岔失稳类型结构的稳定计算，既要确定其屈曲荷载，又要明确其屈曲后平衡状态的稳定性。结构稳定问题的分析方法都是针对着在外荷载作用下结构存在变形的条件下进行的，此变形应该与所研究结构或构件失稳时出现的变形相对应首先需画清楚结构或构件的计算简图，图中应展示其变形和作用着的内外力。例如对于两端铰接的轴心受压构件的弯曲屈曲，在计算式中应计入轴心压力对弯曲变形产生的弯矩，求解构件的弯曲屈曲荷载。而对于两端固定的轴心受压构件，在求解弯曲屈曲荷载时，不仅要计入上述弯矩，还要考虑弯曲变形在构件端部受到约束而产生的固端弯矩。又例如对于轴心受压构件的扭转屈曲，应针对构件有扭转变形作用于构件中的扭矩而后求解其扭转屈曲荷载。构件失稳时产生的变形可能受到与其相连接构件约束的影响，有时甚至还可能与整个结构的变形有关，因此需要着眼于整个结构来分析稳定问题。由于所研究的结构变形与荷载之间呈非线性关系，因此稳定计算属于几何非线性问题，采用的是二阶分析的方法。这种分析方法与普通结构力学中的内力计算不同。对于静定结构，内力计算与结构的变形无关，属于一阶分析；对于超静定结构，虽然在确定其中赘余力的过程中要计及结构变形协调，但是在已经确定了赘余力之后，是在原来未变形结构的基础上计算各部分的内力的，没有再考虑结构的变形，因此又恢复到了一阶分析的方法。计算所得内力，如拉力、压力、切力或弯矩都是结构的荷载效应。稳定计算将涉及构件或结构的一系列初始条件，如结构体系、构件的几何长度、连接条件、截面的组成、形状、尺寸和残余应力分布，以及钢材性能和外荷载作用等。稳定计算所给出的，不论是屈曲荷载还是极限荷载，都标志着所计算构件或结构的稳定承载力。钢结构设计如果不符合稳定承载力要求，有可能由于个别构件丧失稳定性而导致整个结构塌落27。稳定问题的计算方法有以下三种：2.2.1 平衡法中性平衡法或静力平衡法，简称平衡法，是求解结构稳定极限荷载的最基本的方法。对于有平衡分岔点的弹性稳定问题，在分岔点存在着两个极为邻近的平衡状态，一个是原结构的平衡状态，一个是已经有了微小变形的结构的平衡状态。平衡法是根据已产生了微小变形后结构的受力条件建立平衡方程而后求解的。如果得到的符合平衡方程的解有不止一个，那么其中具有最小值的一个才是该结构的分岔屈曲荷载。平衡法只能求解屈曲荷载，但不能判断结构平衡状态的稳定性。尽管如此，由于常常只需要得到结构的屈曲荷载，所以经常采用平衡法。在许多情况下，采用平衡法可以获得精确解。2.2.2 能量法如果结构承受着保守力，可以根据有了变形的结构的受力条件建立总的势能，总的势能是结构的应变能和外力势能两项之和。如果结构处在平衡状态，那么总势能必有驻值。根据势能驻值原理，先由总势能对于位移的一阶变分为零,可得到平衡方程，再由平衡方程求解分岔屈曲荷载。按照小变形理论，能量法一般只能获得屈曲荷载的近似解；但是，如果事先能够了解屈曲后的变形形式。采用此变形形式作计算可以得到精确解。能量法用于大挠度理论分析，可以判断屈曲后的平衡是否稳定对于图2.6中三个均处于平衡状态的小钢球，当有微小干扰时其势能有变化，在平衡位置势能对位移的一阶微分都是零。但是图2.6(a)的势能具有最小值，她的二阶微分是正值，平衡状态是稳定的。稳定平衡时总势能最小的原理称为最小势能原理。图2.6(b)的势能具有最大值，它的二阶微分是负值，平衡状态是不稳定的。图2.6(c)的二阶微分仍为零，属于中性平衡。这就是说，用总势能驻值原理可以求解屈曲荷载，而用总势能最小原理可以判断屈曲后平衡的稳定性。2.2.3 动力法处于平衡状态的结构体系，如果施加微小干扰使其发生振动，这时结构的变形和振动的加速度都和已经作用在结构上的荷载有关。当荷载小于稳定的极限值时，加速度和变形的方向相反，因此干扰撤去以后，运动趋于静止，结构的平衡状态是稳定的；当荷载大于极限值时，加速度和变形的方向相同，即使将干扰撤去，运动仍然是发散的，因此结构的平衡状态是不稳定的；临界状态的荷载即为结构的屈曲荷载，可由结构振动频率为零的条件解得28。在平衡法和能量法的运算过程中，有用解析法求解的，也有用数值法求解的。利用计算机技术的数值法已经成为近代研究结构稳定问题的一种基本方法。2.2.4 稳定计算的近似方法平衡法建立微弯状态时的平衡微分方程来求解屈曲荷载，可以得到精确解，但是很多轴心受压构件，如非等截面的或者压力沿轴线变化的构件等，因为所建立的是变系数微分方程，求解十分困难，有时甚至无法直接求解，这时需要采用近似法。能量法是解决受力条件较复杂或者结构组成条件较复杂的弹性稳定问题的很有效的近似法。有的近似法如能量法在求解过程中需预先假定构件的近似的变形曲线，用一个有限自由度的体系来代替实际的无限自由度的连续体，前者用一个或一组代数方程表示，而后者用一个或几个微分方程表示。用比较容易求解的代数方程，来代替很难求解甚至无法求解的微分方程，这是许多近似方法采用的处理方法。数值法有时采用局部范围的插值函数来逼近构件实际的挠曲线，由于数值法的计算过程具有很强的规律性，因此便于应用电子计算机求解，且有条件提高求解的精确度，特别是用于求解弹塑性稳定问题。本文将阐述几种求解的近似方法29-32。2.2.5 瑞利一里兹法瑞利里兹法是应用势能驻值原理，直接求解总势能为不变时的条件变分极值问题。这一瑞利里兹法可用于解决三向位移的结构稳定问题。今假定结构屈曲时在坐标轴X，Y和Z三个方向的位移分别是u，v和w，它们的试解函数可以用下列多项函数表示： (21) (22) (23)式中,包括(i=1,2，3，n)是待定的3n个独立参数。称为广义坐标：，和是3n个连续的独立坐标函数，这些坐标函数虽然可以任意假定，但是必须满足几何边界条件。这样将它们代入总势能表达式后，根据势能驻值原理，即总势能的一阶变分为零，就可确定这具有3n个独立参数结构的三个方向的位移。这相当于把具有无限自由度的连续体转化为3n个自由度的结构体系。在分岔屈曲的稳定问题中，面临的将是3n个线性齐次方程组。为了得到，和的非零解，有它们的系数形成的行列式应为零。由于在行列式中含有荷载项，从而可以得到屈曲荷载。所以用瑞利里兹法求解得到的并非是结构的位移函数，而是屈曲荷载。如果在3n个代数方程组中含有常数项，那么用瑞利里兹法可以得到荷载和位移之间的关系式。2.1.3.2 迦辽金法瑞利里兹法先要写出在外力作用下结构的总势能，再有一阶变分为零这一条件引出一组联立方程，这一组方程都是通过微分得到的。而迦辽金法则直接利用了势能驻值条件中的平衡微分方程式，不再需要写出总势能，但是这样做的前提是所选位移函数必须满足几何边界条件，又满足自然边界条件，这样得到的平衡方程将是： 如果用L(y)，表示上面括弧中的诸项，也即(El+py)，这样一来，上面的平衡方程可以写成更普遍的形式：设位移函数,对此位移求一阶变分，得到：将式(2.5)代入式(2.4)，但是在上式中，,。都是不等于零的微小的任意值，而式(2.4)是恒等式，因此只有 (2.6)式(2.6)称为迦辽金方程组，它们都具有积分的形式，经过积分以后，得到含有,。的几个联立方程组，如果此方程组均为无常数项的齐次方程，则通过其系数行列式为零可得到构件的屈曲荷载。如式(2.6)为非齐次方程组，则可解得,。，从而得到近似的挠曲线函数、最大挠度和最大弯矩。2.2.6 其它数值方法用差分法求解构件的屈曲荷载时。分段点的导数用了其相邻两分段点之间的斜率，如分段数太少，分段点导数的误差将很大，这样用差分法求解得到的屈曲载荷必然误差较大。对于弹塑性状态失稳的构件，如压弯构件的弹塑性弯扭屈曲问题，由于沿构件的轴线方向诸截面因弹性区不同，因此有效的几何性质是变化的，挠曲线上各相邻点的导数必然有较大差别，其高阶导数相差更大，为了提高精确度，必须加密分段点，这样势必加大计算工作量，同时边界点延伸线上虚拟点的函数也会带来误差。为了获得较高精确解，还有别的数值方法可供选用，如有限积分法，和有限元法，本文将不再论述这两种方法，有兴趣的读者，可以去查看文献。本文将采用瑞利里兹法对几组楔形钢梁的稳定性进行研究。2.3 悬臂钢梁总势能公式构件的总势能是应变能U和外力势能V之和。由于构件的压缩应变能和剪切应变能的影响较小，故可忽略不计。这样应变能包括了平面内的弯曲应变能，侧向弯曲应变能，纯扭矩应变能和翘曲应变能四个部分。悬臂钢梁扭转示意图如图2.8所示，弯曲应变能和的计算公式为： (2.10) (2.11)构件发生扭转变形时，微段dz的扭转角变化为d,因纯扭矩M，引起的应变能增量为d=,而，故： （2.12） 翘曲应变能增量包括翘曲正应力和翘曲剪应力与相应的应变所做功之和，但因引起的应变能与引起的应变能相比小很多，通常可略去不计，这样： (2.13) 图2.8悬臂构件扭转截面示意图上面式(2.10)、式(2.11)、式(2.12)、式(2.13)中：E-弹性模量G-剪变模量-对x轴的截面惯性矩-对Y轴的截面惯性 -扇性惯性矩(翘曲惯性矩) -抗扭惯性矩(圣维南扭转常数) u，v，-如图28所示位移因此 (2.14)外力势能等于外力功的负值，即V=-W，为了得到外力势能，可以先计算外力功。对任意截面简支压弯构件，在构件两端作用有轴心压力P和双向弯矩M，和M，的条件下，得出外力功计算公式:(2.15)式中：-极回转半径，-残余应力的Wagner效应系数，-不对称截面常数，-剪心坐标这样压弯构件总势能的表达式为： (2.16)因为未计屈曲前变形，故(2.10)式与求