2019-2020年高三4月联考数学文含答案.doc

2019-2020年高三4月联考 数学文 含答案
师大附中（闻家君） 鹰潭一中（卜旭贞）
张园和 xx.4
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的.
1．已知，为虚数单位，且，则=（ ）
A．2 B． C． D．
2．已知集合，集合，则（ ）
A． B． C． D．
3．已知角终边上一点，则（ ）
A． B． C． D．
4．已知向量，下列结论中不正确的是（ ）
A． B． C． D．
第6题
5．函数的单调增区间与值域相同，则实数的取
值为( )
A． B． C． D．
6．已知一个三棱锥的主视图与俯视图如图所示，则该三棱锥的侧视图面积为（ ）
A． B． C． D．
7．张老师给学生出了一道题，“试写一个程序框图，计算”．发现
同学们有如下几种做法，其中有一个是错误的，这个错误的做法是 ( )

8．下列选项中正确的是（ ）
A．若且，则；
B．在数列中，“”是“数列为递增数列”的必要非充分条件；
C．命题“所有素数都是奇数”的否定为“所有素数都是偶数”；
D．若命题为真命题，则其否命题为假命题；
9．已知等边中，分别是的中点，以为焦点且过的椭圆和双曲线的离心率分别为，则下列关于的关系式不正确的是（ ）
A． B． C． D．
10．对于函数，如果存在锐角使得的图象绕坐标原点逆时针旋转角，所得曲线仍是一函数，则称函数具备角的旋转性，下列函数具有角的旋转性的是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.

11．为了解某校教师使用多媒体进行教学的情况，将全校200名教师按一学期使用多媒体进行教学的次数分成了[0，9)，[10，19)，[20，29)，[30，39)，[40，49)五层，现采用分层抽样从该校教师中抽取20名教师，调查了他们上学期使用多媒体进行教学的次数，结果用茎叶图表示如图，据此可知该校一学期使用多媒体进行教学的次数在内的教师人数为 ．
12．随机地从中任取两个数，则事件“”发生的概率为 .
13．若数轴上不同的两点分别与实数对应，则线段的中点与实数对应，由此结论类比到平面得，若平面上不共线的三点分别与二元实数对对应，则的重心与 对应.

14．已知等差数列的首项为，公差为，其前项和为，若直线与圆的两个交点关于直线对称，则=
15．如图，线段=8，点在线段上，且=2，为线段上一动点，点绕点旋转后与点绕点旋转后重合于点.设=， 的面积为.则的定义域为 ； 的零点是 .

三、解答题：本大题共6小题，共75分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
16．（本小题满分12分）
某学校为了增强学生对消防安全知识的了解，举行了一次消防安全知识竞赛.其中一道题是连线题，要求将3种不同的消防工具与它们的用途一对一连线，规定：每连对一条得2分，连错一条扣1分，参赛者必须把消防工具与用途一对一全部连起来．
（Ⅰ）设三种消防工具分别为，其用途分别为，若把连线方式表示为，规定第一行的顺序固定不变，请列出所有连线的情况；
（Ⅱ）求某参赛者得分为0分的概率．

17．（本小题满分12分）
已知点是函数图象上的任意两点，若时，的最小值为，且函数的图像经过点．
（Ⅰ）求函数的解析式；
（Ⅱ）在中，角的对边分别为，且，求的取值范围．

18．（本小题满分12分）
如图1，⊙O的直径AB=4，点C、D为⊙O上两点，且∠CAB=45o，F为的中点．沿直径AB折起，使两个半圆所在平面互相垂直（如图2）．
（Ⅰ）求证：OF//平面ACD；
（Ⅱ）在上是否存在点，使得平面平面ACD?若存在，试指出点的位置；若不存在，请说明理由．
19.（本小题满分12分）
在数列中，
（Ⅰ）求数列的前项和；
（Ⅱ）若存在，使得成立，求实数的最小值.

20.（本小题满分13分）
已知直线过定点，动点满足，动点的轨迹为.
（Ⅰ）求的方程；
（Ⅱ）直线与交于两点，以为切点分别作的切线，两切线交于点.
①求证：；
②若直线与交于两点，求四边形面积的最大值.

21.（本小题满分14分）
已知函数为奇函数，且在处取得极大值2.
（Ⅰ）求的解析式；
（Ⅱ）过点(可作函数图像的三条切线，求实数的取值范围；
（Ⅲ）若对于任意的恒成立，求实数的取值范围.

江西师大附中、鹰潭一中xx高三数学(文)联考参考答案
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
D
C
D
A
B
B
B
B
A
A
二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分
11．40 12． 13.
14. 15.（2，4）（2分），3（3分）
三、解答题：本大题共6小题，共75分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
16.（I）所有连线情况如下

　　　　 ……………………………………6分
注：每列对一个给1分
（II）参赛者得0分，说明该参赛者恰连对一条
所以该参赛者得0分的概率为 ……………………………………12分
17.(I)由题意知,，又
且，
从而 ……………………………………6分
（II）
即

由，得
,从而取值范围为 …………………12分
18.（I）
又为的中点，
，又平面
从而//平面 ……………………………………6分
(II)存在，为中点

又且两半圆所在平面互相垂直
平面
又平面
,由平面
又平面
平面平面ACD ……………………………………12分
19.（I）……①
……②
由①—②得：
,当时，也符合
……③
2……④
又③—④得：
……………………………………6分
(II)由得
令

单调递增，从而
因此实数的最小值为 ……………………………………12分
20．（I）由题意知，设
化简得 ……………………………………3分
（Ⅱ）①设，，
由消去，得，显然.
所以，
由，得，所以，
所以，以为切点的切线的斜率为，
所以，以为切点的切线方程为，又，
所以，以为切点的切线方程为……（1）
同理，以为切点的切线方程为……（2）
（2）-（1）并据得点的横坐标，
代入（1）易得点的纵坐标，所以点的坐标为
当时，显然
当时，，从而 ……………………………………8分
②由已知，显然直线的斜率不为0，由①知，所以，
则直线的方程为，
设设，，
由消去，得，显然，
所以，.
又

因为，所以，
所以，，
当且仅当时，四边形面积的取到最小值 ……………………………13分
21．（I）为奇函数

在处取得极大值2

从而解析式为 ……………………………………4分
（2）设切点为，则
消去得
设，则
在递减，递增
，=
要使过点可作函数图像的三条切线，则实数的取值范围为
……………………………………9分
（3）
从而
当时，
当时，
设

在递增，

从而
实数的取值范围为……………………………………14分

2019-2020年高三4月联考 数学理 含答案
张延良、闻家君 xx.4

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的.
1．已知集合,,则( )
A． B． C． D．
2．在复平面内,复数对应的点分别为A,B．若C为线段AB的中点,则点C对应的复数的模是( )
A． B． C． D．
3．下列函数中既是偶函数,又是区间上的减函数的是( )
A． B． C． D．
4．已知函数,则=( )
A． B． C． D．
5．一个几何体的三视图如右图所示,且其左视图是一个等边三角形,则这个几何体的体积为( )
A． B．
C． D．
6．已知实数满足条件则使得目标函数
取得最大值的的值分别为( )
A．0，12 B．12，0 C．8，4 D．7，5

x
A
B
P
y
O
7．函数的部分图象如右图所示,设是图象的最高点,是图象与轴的交点,记,则的值是( )
A． B． C． D．
8．下列命题中:①“”是“”的充要条件;
②已知随机变量服从正态分布,,则;
③若n组数据的散点图都在直线上,则这n组数据的相关系数为;
④函数的所有零点存在区间是.其中正确的个数是( )
A．1 B．2 C．3 D．4
9．如右图所示，单位圆中弧的长为,表示弧与弦所围成的弓形（阴影部分）面积的2倍，则函数的图象是( )

10．抛物线的焦点为,点在此抛物线上,且,弦的中点在该抛物线准线上的射影为,则的最大值为( )
A． B． C．1 D．

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
11．下图给出了一个程序框图,其作用是输入的值,输出相应的值．若要使输入的值与输出的值相等,则这样的值有________个.

12．一个盒子里有20个大小形状相同的小球，其中5个红球，5个黄球，10个绿球，从盒子中任取一球，若它不是红球，则它是绿球的概率是__________.
13．已知二项式展开式中的常数项为,且函数,则___________.
14．已知数列为等差数列,若,,则.类比上述结论,对于等比数列,若,则可以得到＝____________.

三、选做题：请考生在下列两题中任选一题作答. 若两题都做，则按所做的第一题评阅计分，本题共5分.
(2)（不等式选做题）不等式对任意实数恒成立,则实数的取值范围是____________.

四、解答题：本大题共6小题，共75分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
16.（本小题满分12分）
已知向量,函数
(1)求函数的最小正周期T及单调减区间;
(2)已知a，b，c分别为ABC内角A，B，C的对边，其中A为锐角，,,且.求A，b的长和ABC的面积.

17.（本小题满分12分）
小王参加一次比赛,比赛共设三关,第一、二关各有两个必答题,如果每关两个问题都答对,可进入下一关,第三关有三个问题,只要答对其中两个问题,则闯关成功.每过一关可一次性获得价值分别为1000元,3000元,6000元的奖品(不重复得奖),小王对三关中每个问题回答正确的概率依次为,且每个问题回答正确与否相互独立.
(1)求小王过第一关但未过第二关的概率;
(2)用X表示小王所获得奖品的价值,写出X的概率分布列,并求X的数学期望.

18.（本小题满分12分）
各项均为正数的数列前项和为,且.
(1)求数列的通项公式;
(2)已知公比为的等比数列满足，且存在满足,,求数列的通项公式.

19.（本小题满分12分）
如图，在正三棱柱中，，是的中点，是线段上的动点（与端点不重合），且.
(1)若，求证:;
(2)若直线与平面所成角的大小为，求的最大值.

20.（本小题满分13分）
已知椭圆的长轴长是短轴长的两倍，焦距为.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)设不过原点的直线与椭圆交于两点、，且直线、、的斜率依次成等比数列，求△面积的取值范围.

21.（本小题满分14分）
已知函数（）.
(1)若函数在处取得极大值,求的值;
(2)时,函数图象上的点都在所表示的区域内,求的取值范围;
(3)证明:，.

江西师大附中、鹰潭一中xx高三数学（理）联考
【参考答案】
一、选择题
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
A
B
D
C
B
D
A
C
D
D

6.解析：易知B,C不在可行域，A，D选项的z分别为4200，4900，故选D.
7.解析：①取时，有但得不到,故不必要，错误;
②的正态分布的对称轴是，，正确;
③斜率为负数表明负相关,得,由于数据均在直线上,故相关程度最强,为,正确;
④得，且单调，故正确.
8.解析：过P作轴于Q，则
.则.
另解：由图可知,,C、D是负值根本不可能.则,故,故排除B.
9.提示：.
10.解析：.
二、填空题
11.3 12. 13.
14.bm＋n＝..解析：观察{an}的性质：am＋n＝,则联想nb－ma对应等比数列{bn}中的,而{an}中除以(n－m)对应等比数列中开(n－m)次方,故bm＋n＝.
三、选做题
15.（1）. 解析：设极点为O,由该圆的极坐标方程为ρ＝4,知该圆的半径为4,又直线l被该圆截得的弦长|AB|为4,所以∠AOB＝60°,∴极点到直线l的距离为d＝4×cos30°＝2,所以该直线的极坐标方程为.
（2）或.解析：f(x)＝|x＋3|－|x－1|＝画出函数f(x)的图象,如图,可以看出函数f(x)的最大值为4,故只要a2－3a≥4即可,解得或.

四、解答题
16.解析：(1)…………（2分）
…………………………（4分）
单调递减区间是 …………（6分）
(2); …………………………………………8分）
…………（10分）. ………………………………（12分）
17.解析：(1)设小王过第一关但未过第二关的概率为P1,
则P1＝2＝. …………（4分）
(2)X的取值为0,1000,3000, 6000,则P(X＝0)＝＋×＝,
P(X＝1000)＝2＝, P(X＝3000)＝22＝,
P(X＝6000)＝22＝,
∴X的概率分布列为
X
0
1000
3000
6000
P

…………………（10分）(错一列扣2分，扣完为止)

∴X的数学期望EX＝0×＋1000×＋3000×＋6000×＝2160. ……（12分）
18.解析：(1)，
两式相减得：，…………………………………（2分）
即，………………………………（4分）
为首项为1，公差为2的等差数列，故………………………（6分）
(2)，依题意得，相除得……（8分）
，代入上式得q=3或q=7，…………………………………（10分）
或.…………………………………………………………………（12分）
19.解析：如图,建立空间直角系,则…（1分）
(1)当时,,此时,,…（3分）
因为，所以.………………（5分）
(2)设平面ABN的法向量，则，
即，取。而，………………（7分）………………（9分）
，，故………（11分）
当且仅当，即时，等号成立. …………………………………………（12分）

20.解析:(1)由已知得 ∴方程： （4分）
(2)由题意可设直线的方程为：
联立 消去并整理，得：
则△ ,
此时设、∴
于是 ………………（7分）
又直线、、的斜率依次成等比数列，
∴
由 得： .又由△ 得：
显然 （否则：，则中至少有一个为0，直线、 中至少有一个斜率不存在，矛盾！） ……………………………（10分）
设原点到直线的距离为,则

故由得取值范围可得△面积的取值范围为…………（13分）
21.解析：(1)，由 经检验符合题意……（3分）
(2)依题意知，不等式在恒成立.令,
当k≤0时,取x＝1,有，故k≤0不合．…………………………（4分）
当k＞0时， g′(x)＝－2kx＝.
令g′(x)＝0，得x1＝0，x2＝＞－1. ……………………………（5分）
①当k≥时， ≤0，g′(x)＜0在(0，＋∞)上恒成立，因此g(x)在[0，＋∞)上单调递减，从而对任意的x∈[0，＋∞)，总有g(x)≤g(0)＝0，故k≥符合题意．…………（6分）
②当0＜k＜时，＞0, 对于x∈，g′(x)＞0，
故g(x)在内单调递增，因此当取x0∈时，g(x0)＞g(0)＝0，不合．
综上，. …………………………（8分）
(3)证明：当n＝1时，不等式左边＝2－ln3＜2＝右边，所以不等式成立．……………（9分）
当n≥2时，在(2)中取k＝，得……………（10分）
取x=代入上式得:-ln(1+)≤＜………（12分）
≤2－ln3＋
－ln(2n＋1)≤2－ln3＋1－＜2.
综上，－ln(2n＋1)＜2， ……………………………… （14分）