数学归纳法经典例题及答案.doc

数学归纳法（2016.4.21）
一、用数学归纳法证明与正整数有关命题的步骤是：
（1）证明当 取第一个值 （如或2等）时结论正确；
（2）假设当 时结论正确，证明时结论也正确．
综合（1）、（2），……

注意：数学归纳法使用要点： 两步骤,一结论。

二、题型归纳：

题型1.证明代数恒等式
例1．用数学归纳法证明：

证明：①n=1时，左边，右边，左边=右边，等式成立．
②假设n=k时，等式成立，即：
．
当n=k+1时．

这就说明，当n=k+1时，等式亦成立，
由①、②可知，对一切自然数n等式成立．

题型2.证明不等式
例2．证明不等式 (n∈N)．
证明：①当n=1时，左边=1，右边=2．
左边<右边，不等式成立．
②假设n=k时，不等式成立，即．
那么当n=k+1时，

这就是说，当n=k+1时，不等式成立．
由①、②可知，原不等式对任意自然数n都成立．
说明：这里要注意，当n=k+1时，要证的目标是
，当代入归纳假设后，就是要证明：
．
认识了这个目标，于是就可朝这个目标证下去，并进行有关的变形，达到这个目标．

题型3.证明数列问题
例3 (x＋1)n＝a0＋a1(x－1)＋a2(x－1)2＋a3(x－1)3＋…＋an(x－1)n(n≥2，n∈N*)．
(1)当n＝5时，求a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5的值．
(2)设bn＝，Tn＝b2＋b3＋b4＋…＋bn.试用数学归纳法证明：当n≥2时，Tn＝.
解：　(1)当n＝5时，
原等式变为(x＋1)5＝a0＋a1(x－1)＋a2(x－1)2＋a3(x－1)3＋a4(x－1)4＋a5(x－1)5
令x＝2得a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝35＝243.
(2)因为(x＋1)n＝[2＋(x－1)]n，所以a2＝Cn2·2n－2
bn＝＝2Cn2＝n(n－1)(n≥2)
①当n＝2时．左边＝T2＝b2＝2，
右边＝＝2，左边＝右边，等式成立．
②假设当n＝k(k≥2，k∈N*)时，等式成立，
即Tk＝成立
那么，当n＝k＋1时，
左边＝Tk＋bk＋1＝＋(k＋1)[(k＋1)－1]＝＋k(k＋1)
＝k(k＋1)＝
＝＝右边．
故当n＝k＋1时，等式成立．
综上①②，当n≥2时，Tn＝.

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