函数奇偶性六类经典题型.doc

奇偶性
类型一：判断奇偶性
[例1] 判断下列函数奇偶性
（1）（且）
（2）
（3）
（4）
（5）
解：（1）且

∴ 奇函数
（2），关于原点对称

∴ 奇函数   
（3），关于原点对称 
    ∴ 既奇又偶
（4）考虑特殊情况验证：
   ；     无意义  ；  ∴ 非奇非偶
（5）且，关于原点对称 

∴ 为偶函数
类型二：根据奇偶性求解析式
1.函数f(x)在R上为奇函数，且x>0时，f(x)＝＋1，则当x<0时，f(x)＝________.
解析：∵f(x)为奇函数，x>0时，f(x)＝＋1，
∴当x<0时，－x>0，
f(x)＝－f(－x)＝－(＋1)，
即x<0时，f(x)＝－(＋1)＝－－1.
答案：－－1
2.求函数的解析式
（1）为R上奇函数，时，，
解：
时，

   ∴
∴
（2）为R上偶函数，时，
解：
时，
∴
类型三：根据奇偶性求参数
1.若函数f(x)= xln（x+）为偶函数，则a=
【解题指南】f(x)= xln（x+）为偶函数，即是奇函数，利用确定的值.
【解析】由题知是奇函数，
所以=，解得=1.
答案：1.
2.函数f(x)＝为奇函数，则a＝______.
解析：由题意知，g(x)＝(x＋1)(x＋a)为偶函数，∴a＝－1.
答案：－1
3.已知f(x)＝3ax2＋bx－5a＋b是偶函数，且其定义域为[6a－1，a]，则a＋b＝(　　)
A.　　　　　　　 　B．－1
C．1 D．7
解析：选A　因为偶函数的定义域关于原点对称，所以6a－1＋a＝0，所以a＝.又f(x)为偶函数，所以3a(－x)2－bx－5a＋b＝3ax2＋bx－5a＋b，解得b＝0，所以a＋b＝.
4.若函数f(x)＝－|x＋a|为偶函数，则实数a＝______. （特殊值法）
解析：由题意知，函数f(x)＝－|x＋a|为偶函数，则f(1)＝f(－1)，
∴1－|1＋a|＝1－|－1＋a|，∴a＝0.
答案：0
5.已知函数f(x)＝为奇函数，则a＋b＝________.（待定系数法）
解析：当x>0时，－x<0，
由题意得f(－x)＝－f(x)，
所以x2－x＝－ax2－bx，
从而a＝－1，b＝1，a＋b＝0.
答案：0
6.（1），为何值时，为奇函数；
（2）为何值时，为偶函数。
答案：（1）
（恒等定理）
∴ 时，奇函数
（2）  

∴    （恒等定理）
∴
∴    
7.已知定义域为的函数是奇函数。
（Ⅰ）求的值；（特殊值法）
（Ⅱ）若对任意的，不等式恒成立，求的取值范围；
解析：
（Ⅰ）简 解：取特殊值法
因为是奇函数，所以=0，
即
又由f（1）= - f（-1）知
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，易知在上
为减函数
又因是奇函数，从而不等式：
等价于，
因为减函数，由上式推得：
．
即对一切有：，从而判别式
类型四：范围问题
1.已知f(x)是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝x2＋2x，若f(2－a2)＞f(a)，则实数a的取值范围是(　　)
A．(－∞，－1)∪(2，＋∞) B．(－1,2)
C．(－2,1) D．(－∞，－2)∪(1，＋∞)
解析：选C　∵f(x)是奇函数，∴当x＜0时，f(x)＝－x2＋2x.作出函数f(x)的大致图象如图中实线所示，结合图象可知f(x)是R上的增函数，由f(2－a2)＞f(a)，得2－a2＞a，解得－2＜a＜1.
2.定义在R上的奇函数y＝f(x)在(0，＋∞)上递增，且f ＝0，则满足f(x)>0的x的集合为________．
解析：由奇函数y＝f(x)在(0，＋∞)上递增，且f ＝0，得函数y＝f(x)在(－∞，0)上递增，且f ＝0，
∴f(x)>0时，x>或－<x<0.
即满足f(x)>0的x的集合为
.
答案：
3.已知函数g(x)是R上的奇函数，且当x<0时，g(x)＝－ln(1－x)，函数f(x)＝若f(2－x2)>f(x)，则实数x的取值范围是(　　)
A．(－∞，1)∪(2，＋∞)　　 　B．(－∞，－2)∪(1，＋∞)
C．(1,2) D．(－2,1)
解析：选D　设x>0，则－x<0.
∵x<0时，g(x)＝－ln(1－x)，
∴g(－x)＝－ln(1＋x)．
又∵g(x)是奇函数，
∴g(x)＝ln(1＋x)(x>0)，
∴f(x)＝其图象如图所示．由图象知，函数f(x)在R上是增函数．
∵f(2－x2)>f(x)，∴2－x2>x，即－2<x<1.
所以实数x的取值范围是(－2,1)．
4.定义在R上的奇函数f(x)，当x∈(0，＋∞)时，f(x)＝log2x，则不等式f(x)＜－1的解集是__________．
　解析：当x＜0时，－x＞0，
∴f(x)＝－f(－x)＝－log2(－x)，
∴f(x)＝
∴f(x)＜－1
或或0＜x＜或x＜－2.
5.已知f(x)是奇函数，且当x＜0时，f(x)＝x2＋3x＋2.若当x∈[1，3]时，n≤f(x)≤m恒成立，则m－n的最小值为(　　)
A. B．2
C. D．
解析：选A.设x＞0，则－x＜0，所以f(x)＝－f(－x)＝－[(－x)2＋3(－x)＋2]＝－x2＋3x－2.
所以在[1，3]上，当x＝时，f(x)max＝；当x＝3时，f(x)min＝－2.所以m≥且n≤－2.故m－n≥.
6.已知f(x)是定义在[－2,2]上的奇函数，且当x∈(0,2]时，f(x)＝2x－1，又已知函数g(x)＝x2－2x＋m.如果对于任意的x1∈[－2,2]，都存在x2∈[－2,2]，使得g(x2)＝f(x1)，那么实数m的取值范围是____________．
解析　由题意知，当x∈[－2,2]时，f(x)的值域为[－3,3]．因为对任意的x1∈[－2,2]，都存在x2∈[－2,2]，使得g(x2)＝f(x1)，所以此时g(x2)的值域要包含[－3,3]．又因为g(x)max＝g(－2)，g(x)min＝g(1)，所以g(1)≤－3且g(－2)≥3，解得－5≤m≤－2.
类型五：奇偶性+周期性
1.f(x)是定义在R上的奇函数，满足f(x＋2)＝f(x)，当x∈(0,1)时，f(x)＝2x－2，则f(6)的值等于(　　)．
A．－ B．－ C. D．－
解析：f(6)
＝－f(－6)＝－f(log26)
＝－f(log26－2)
＝－(2log26－2－2)＝－
＝，故选C.
2. 定义在R上的偶函数f(x)满足对任意x∈R，都有f(x＋8)＝f(x)＋f(4)，且x∈[0,4]时，f(x)＝4－x，则f(2 011)的值为__________．
解析：f(4)＝0，
∴f(x＋8)＝f(x)，∴T＝8，
∴f(2 011)＝f(3)＝4－3＝1.
类型六：求值
1.已知函数f(x)是定义在(－2,2)上的奇函数，当x∈(0,2)时，f(x)＝2x－1，则f的值为(　　)
A．－2 B．－ C．2 D.－1
解析：当x∈(－2,0)时，－x∈(0,2)，又∵当x∈(0,2)时，f(x)＝2x－1，∴f(－x)＝2－x－1，又因为函数f(x)是定义在(－2,2)上的奇函数，∴f(－x)＝－f(x)＝2－x－1，∴x∈(－2,0)时，f(x)＝1－.∵－2＜log2＜0，∴f(log2)＝1－＝－2.故选A.
答案：A
2.已知f(x)为奇函数，g(x)＝f(x)＋9，g(－2)＝3，则f(2)＝__________.解析：根据已知
g(－2)＝f(－2)＋9，即3＝－f(2)＋9，即f(2)＝6.
答案：6
3.设f(x)是定义在R上的奇函数，当x<0时，f(x)＝x＋ex(e为自然对数的底数)，则f(ln 6)的值为________．
由f(x)是奇函数得f(ln 6)＝－f(－ln 6)＝－(－ln 6)－e－ln 6＝ln 6－.
答案：ln 6－
4.已知函数存在最大值M和最小值N, 则M＋N的值为__________．
5.设函数，若函数的最大值是M，最小值是m，则________.
分析：本题是一道自编题，学生不假思索就会想到对求导.事实上，理科学生，求导得，无法找到极值点，而文科学生不会对这个函数求导.因此，须从考察函数的性质下手，事实上，令，易求得，所以是奇函数，所以的最大值与最小值之和是0，从而的最大值与最小值之和是6.
答案是：6.
6.已知定义域为R的函数 （a、b∈R）有最大值和最小值，且最大值与最小值的和为6，则
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
【答案】C
【解析】
试题分析：由已知，注意到是奇函数，，所以，所以.

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