奥数：火车过桥(标准答案版).docx

火车过桥

一、火车过桥四大类问题
1、火车+树(电线杆)：一个有长度、有速度，一个没长度、没速度，
解法：火车车长(总路程)=火车速度×通过时间；
2、火车过桥（隧道）：一个有长度、有速度，一个有长度、但没速度，
解法：火车车长+桥(隧道)长度(总路程)=火车速度×通过的时间；
3、火车+人：一个有长度、有速度，一个没长度、但有速度，
（1）、火车+迎面行走的人：相当于相遇问题，
解法：火车车长(总路程)=(火车速度+人的速度)×迎面错过的时间；
（2）火车+同向行走的人：相当于追及问题，
解法：火车车长(总路程)=(火车速度−人的速度)×追及的时间；
（3）火车+坐在火车上的人：火车与人的相遇和追及问题
解法：火车车长(总路程)=(火车速度人的速度)×迎面错过的时间（追及的时间）；
4、火车+火车：一个有长度、有速度，一个也有长度、有速度，
（1）错车问题：相当于相遇问题，
解法：快车车长+慢车车长(总路程)=(快车速度+慢车速度)×错车时间；
（2）超车问题：相当于追及问题，
解法：快车车长+慢车车长(总路程)=(快车速度−慢车速度)×错车时间；

长度
速度
方向
树
无
无
无
桥
桥长
无
无
人
无
人速
同向
反向
车
车长
车速
同向
反向
二、火车过桥四类问题图示

长度
速度
火车
车长
车速
队伍
队伍长
（间隔，植树问题）
队速

例题1
【提高】长米的火车以米/秒的速度穿越一条米的隧道．那么火车穿越隧道（进入隧道直至完全离开）要多长时间？
【分析】 火车穿越隧道经过的路程为(米)，已知火车的速度，那么火车穿越隧道所需时间为(秒)．
【精英】小胖用两个秒表测一列火车的车速．他发现这列火车通过一座米的大桥需要秒，以同样速度从他身边开过需要秒，请你根据小胖提供的数据算出火车的车身长是米．
【分析】 火车秒走过的路程是米车身长，火车秒走过一个车身长，则火车秒走米，所以火车车长为（米）．
例题2
【提高】四、五、六个年级各有名学生去春游，都分成列（竖排）并列行进．四、五、六年级的学生相邻两行之间的距离分别是米、米、米，年级之间相距米．他们每分钟都行走米，整个队伍通过某座桥用分钟，那么这座桥长________米．
【分析】 名学生分成列，每列人，应该产生个间距，所以队伍长为(米)，那么桥长为(米)．
【精英】一个车队以5米/秒的速度缓缓通过一座长200米的大桥，共用145秒．已知每辆车长5米，两车间隔8米．问：这个车队共有多少辆车？
【分析】 由“路程=时间×速度”可求出车队145秒行的路程为5×145=725（米），故车队长度为725−200=525（米）．再由植树问题可得车队共有车（525−5）÷（5+8）+1=41（辆）．
例题3
【提高】一列火车通过一座长540米的大桥需要35秒．以同样的速度通过一座846米的大桥需要53秒．这列火车的速度是多少？车身长多少米？
【分析】 火车用35秒走了——540米+车长；53秒走了——846米+车长，根据差不变的原则火车速度是：(米/秒)，车身长是:(米)．
【精英】一列火车通过长320米的隧道，用了52秒，当它通过长864米的大桥时，速度比通过隧道时提高倍，结果用了1分36秒.求通过大桥时的速度及车身的长度．
【分析】 速度提高倍用时96秒，如果以原速行驶，则用时96×（1+）=120秒，（864−320）÷（120−52）=8米/秒，车身长：52×8−320=96米．
【拓展1】已知某铁路桥长960米，一列火车从桥上通过，测得火车从开始上桥到完全下桥共用100秒，整列火车完全在桥上的时间为60秒，求火车的速度和长度？
【分析】 完全在桥上，60秒钟火车所走的路程=桥长—车长；通过桥，100秒火车走的路程=桥长+车长，由和差关系可得：火车速度为（米/秒），火车长：（米）．
【拓展2】一列火车的长度是800米，行驶速度为每小时60千米，铁路上有两座隧洞.火车通过第一个隧洞用2分钟；通过第二个隧洞用3分钟；通过这两座隧洞共用6分钟，求两座隧洞之间相距多少米？
【分析】 注意单位换算.火车速度60×1000÷60=1000（米/分钟）.第一个隧洞长1000×2−800=1200（米），第二个隧洞长1000×3−800=2200（米），两个隧洞相距1000×6−1200−2200−800=1800（米）.
【拓展3】小明坐在火车的窗口位置，火车从大桥的南端驶向北端，小明测得共用时间秒．爸爸问小明这座桥有多长，于是小明马上从铁路旁的某一根电线杆计时，到第根电线杆用时秒．根据路旁每两根电线杆的间隔为米，小明算出了大桥的长度．请你算一算，大桥的长为多少米？
【分析】 从第根电线杆到第根电线杆的距离为：(米)，火车速度为：(米/秒)，大桥的长为：(米)．
例题4
【提高】两列火车相向而行，甲车每时行48千米，乙车每时行60千米，两车错车时，甲车上一乘客从乙车车头经过他的车窗时开始计时，到车尾经过他的车窗共用13秒．问：乙车全长多少米？
【分析】 390米．提示：乙车的全长等于甲、乙两车13秒走的路程之和．
【精英】一列快车和一列慢车相向而行，快车的车长是280米，慢车的车长是385米．坐在快车上的人看见慢车驶过的时间是11秒，那么坐在慢车上的人看见快车驶过的时间是多少秒？
【分析】 8秒．提示:快车上的人看见慢车的速度与慢车上的人看见快车的速度相同，所以两车的车长比等于两车经过对方的时间比，故所求时间为（秒）
例题5
【提高】铁路旁边有一条小路，一列长为110米的火车以30千米／时的速度向南驶去，8点时追上向南行走的一名军人，15秒后离他而去，8点6分迎面遇到一个向北行走的农民，12秒后离开这个农民．问军人与农民何时相遇？
【分析】 8点30分．火车每分行（米），
军人每分行（米），农民每分行（米）．
8点时军人与农民相距（500+50）×6=3300（米），两人相遇还需3300÷（60+50）=30（分），即8点30分两人相遇．
【精英】铁路旁的一条与铁路平行的小路上，有一行人与骑车人同时向南行进，行人速度为3.6千米/时，骑车人速度为10.8千米/时，这时有一列火车从他们背后开过来，火车通过行人用22秒，通过骑车人用26秒，这列火车的车身总长是多少？
【分析】 行人的速度为3.6千米/时=1米/秒，骑车人的速度为10.8千米/时=3米/秒．火车的车身长度既等于火车车尾与行人的路程差，也等于火车车尾与骑车人的路程差．如果设火车的速度为x米/秒，那么火车的车身长度可表示为（x−1）×22或（x−3）×26，由此不难列出方程．
法一：设这列火车的速度是x米/秒，依题意列方程，得（x−1）×22=（x−3）×26．解得x=14．所以火车的车身长为：（14−1）×22=286（米）．
法二：直接设火车的车长是x，那么等量关系就在于火车的速度上．可得：x/26+3=x/22+1，这样直接也可以x=286米
法三：既然是路程相同我们同样可以利用速度和时间成反比来解决．两次的追及时间比是：22：26=11：13，所以可得：（V车−1）：（V车−3）=13：11，可得V车=14米/秒，所以火车的车长是（14−1）×22=286（米），这列火车的车身总长为286米．
【拓展4】甲、乙两辆汽车在与铁路并行的道路上相向而行，一列长180米的火车以60千米/时的速度与甲车同向前进，火车从追上甲车到遇到乙车，相隔5分钟，若火车从追上到超过甲车用时30秒．从与乙车相遇到离开用时6秒，求乙车遇到火车后再过多少分钟与甲车相遇？
【分析】 由火车与甲、乙两车的错车时间可知，甲车速度为千米/时．乙车速度为千米/时，火车追上甲车时，甲、乙两车相距千米．经过分钟相遇，那么乙车遇到火车后1.25分钟与甲车相遇
【拓展5】红星小学组织学生排成队步行去郊游，每分步行60米，队尾的王老师以每分行150米的速度赶到排头，然后立即返回队尾，共用10分．求队伍的长度．
【分析】 米．设队伍长为米．从队尾到排头是追及问题，需分；从排头返回队尾是相遇问题，需分．由，解得米
【拓展6】甲、乙两人在铁路旁边以同样的速度沿铁路方向相向而行，恰好有一列火车开来，整个火车经过甲身边用了18秒，2分后又用15秒从乙身边开过．问：（1）火车速度是甲的速度的几倍？　　（2）火车经过乙身边后，甲、乙二人还需要多少时间才能相遇？
【分析】 （1）11倍；（2）11分15秒．（1）设火车速度为a米／秒，行人速度为b米／秒，则由火车的长度可列方程，求出，即火车的速度是行人速度的11倍；从车尾经过甲到车尾经过乙，火车走了135秒，此段路程一人走需1350×11=1485（秒），因为甲已经走了135秒，所以剩下的路程两人走还需（1485−135）÷2=675（秒）．
例题6
【提高】快车车长米，车速是米/秒，慢车车长米，车速是米/秒．慢车在前面行驶，快车从后面追上到完全超过需要多少时间？
【分析】 从“追上”到“超过”就是一个“追及”过程，比较两个车头，“追上”时落后的车身长，“超过”时领先(领先车身长)，也就是说从“追上”到“超过”，的车头比的车头多走的路程是：的车长的车长，因此追及所需时间是：(的车长的车长)(的车速的车速)．由此可得到，追及时间为：(车长车长)(车速车速)(秒)．
【精英】快车长106米，慢车长74米，两车同向而行，快车追上慢车后，又经过1分钟才超过慢车；如果相向而行，车头相接后经过12秒两车完全离开．求两列火车的速度．
【分析】 根据题目的条件，可求出快车与慢车的速度差和速度和，再利用和差问题的解法求出快车与慢车的速度．两列火车的长度之和：106+74=180（米）快车与慢车的速度之差：180÷60=3（米）快车与慢车的速度之和：180÷12=15（米）快车的速度：（15+3）÷2=9（米）慢车的速度：（15−3）÷2=6（米）
【拓展7】从北京开往广州的列车长米，每秒钟行驶米，从广州开往北京的列车长米，每秒钟行驶米，两车在途中相遇，从车头相遇到车尾离开需要多少秒钟？
【分析】 从两车车头相遇到车尾离开时，两车行驶的全路程就是这两列火车车身长度之和．解答方法是：(的车身长的车身长)(的车速的车速)两车从车头相遇到车尾离开的时间
也可以这样想，把两列火车的车尾看作两个运动物体，从相距米(两列火车本身长度之和)的两地相向而行，又知各自的速度，求相遇时间．两车车头相遇时，两车车尾相距的距离：(米)两车的速度和为：(米/秒)；从车头相遇到车尾离开需要的时间为：(秒)．综合列式：(秒)．
例题7
【提高】【精英】有两列同方向行驶的火车，快车每秒行米，慢车每秒行米．如果从两车头对齐开始算，则行秒后快车超过慢车；如果从两车尾对齐开始算，则行秒后快车超过慢车．那么，两车长分别是多少？如果两车相对行驶，两车从车头重叠起到车尾相离需要经过多少时间？

【分析】 如图，如从车头对齐算，那么超车距离为快车车长，为：(米)；
如从车尾对齐算，那么超车距离为慢车车长，为(米)．
由上可知，两车错车时间为：(秒)．
【拓展8】甲乙两列火车，甲车每秒行22米，乙车每秒行16米，若两车齐头并进，则甲车行30秒超过乙车;若两车齐尾并进，则甲车行26秒超过乙车.求两车各长多少米?
【分析】 两车齐头并进：甲车超过乙车，那么甲车要比乙车多行了一个甲车的长度.每秒甲车比乙车多行22−16=6米，30秒超过说明甲车长6×30=180米．两车齐尾并进：甲超过乙车需要比乙车多行一整个乙车的长度，那么乙车的长度等于6×26=156米．
【拓展9】铁路货运调度站有A、B两个信号灯，在灯旁停靠着甲、乙、丙三列火车．它们的车长正好构成一个等差数列，其中乙车的的车长居中，最开始的时候，甲、丙两车车尾对齐，且车尾正好位于A信号灯处，而车头则冲着B信号灯的方向．乙车的车尾则位于B信号灯处，车头则冲着A的方向．现在，三列火车同时出发向前行驶，10秒之后三列火车的车头恰好相遇．再过15秒，甲车恰好超过丙车，而丙车也正好完全和乙车错开，请问：甲乙两车从车头相遇直至完全错开一共用了几秒钟？
【分析】 8.75秒
例题8
【提高】某列车通过250米长的隧道用25秒，通过210米长的隧道用23秒，若该列车与另一列长150米.时速为72千米的列车相遇，错车而过需要几秒钟？
【分析】 根据另一个列车每小时走72千米，所以，它的速度为：72000÷3600=20（米/秒），某列车的速度为：（250−210）÷（25−23）=40÷2=20（米/秒）某列车的车长为：20×25−250=500−250=250（米），两列车的错车时间为：（250+150）÷（20+20）=400÷40=10（秒）．
【精英】在双轨铁道上，速度为千米/小时的货车时到达铁桥，时分秒完全通过铁桥，后来一列速度为千米/小时的列车，时分到达铁桥，时分秒完全通过铁桥，时分秒列车完全超过在前面行使的货车．求货车、列车和铁桥的长度各是多少米？
【分析】 先统一单位：千米/小时米/秒，千米/小时米/秒，
分秒秒，分秒分分秒秒．
货车的过桥路程等于货车与铁桥的长度之和，为：(米)；
列车的过桥路程等于列车与铁桥的长度之和，为：(米)．
考虑列车与货车的追及问题，货车时到达铁桥，列车时分到达铁桥，在列车到达铁桥时，货车已向前行进了12分钟(720秒)，从这一刻开始列车开始追赶货车，经过2216秒的时间完全超过货车，这一过程中追及的路程为货车12分钟走的路程加上列车的车长，所以列车的长度为(米)，那么铁桥的长度为(米)，货车的长度为(米)．
【补充1】马路上有一辆车身长为米的公共汽车由东向西行驶，车速为每小时千米．马路一旁的人行道上有甲、乙两名年轻人正在练长跑，甲由东向西跑，乙由西向东跑．某一时刻，汽车追上了甲，秒钟后汽车离开了甲；半分钟之后，汽车遇到了迎面跑来的乙；又过了秒钟汽车离开了乙．问再过多少秒以后甲、乙两人相遇？

【分析】 车速为每秒：(米)，由“某一时刻，汽车追上了甲，秒钟后汽车离开了甲”，可知这是一个追及过程，追及路程为汽车的长度，所以甲的速度为每秒：(米)；而汽车与乙是一个相遇的过程，相遇路程也是汽车的长度，所以乙的速度为每秒：(米)．汽车离开乙时，甲、乙两人之间相距：(米)，甲、乙相遇时间：(秒)．
【补充2】甲、乙二人沿铁路相向而行，速度相同，一列火车从甲身边开过用了8秒钟，离甲后5分钟又遇乙，从乙身边开过，只用了7秒钟，问从乙与火车相遇开始再过几分钟甲乙二人相遇？
【分析】 火车开过甲身边用8秒钟，这个过程为追及问题：火车长=（V车−V人）×8；火车开过乙身边用7秒钟，这个过程为相遇问题

火车长=（V车+V人）×7.可得8（V车−V人）=7（V车+V人），所以V车=l5V人.甲乙二人的间隔是：车走308秒的路−人走308秒的路，由车速是人速的15倍，所以甲乙二人间隔15×308−308=14×308秒人走的路．两人相遇再除以2倍的人速．所以得到7×308秒=2156秒．

练习1
一列长米的火车以每秒米的速度过一座桥，从车头上桥到车尾离桥用了分钟，求这座桥长多少米？
【分析】 火车过桥时间为分钟秒，所走路程为桥长加上火车长为(米)，即桥长为(米)．
练习2
小红站在铁路旁，一列火车从她身边开过用了21秒．这列火车长630米，以同样的速度通过一座大桥，用了1.5分钟．这座大桥长多少米？
【分析】 因为小红站在铁路旁边没动，因此这列火车从她身边开过所行的路程就是车长，所以，这列火车的速度为：630÷21=30(米/秒)，大桥的长度为：30×(1.5×60)−630=2070(米)．
练习3
一列火车长米，铁路沿线的绿化带每两棵树之间相隔米，这列火车从车头到第棵树到车尾离开第棵树用了分钟．这列火车每分钟行多少米？
【分析】 第棵树到第棵树之间共有个间隔，所以第棵树与第棵树相距(米)，火车经过的总路程为：(米)，这列火车每分钟行(米)．
练习4
一列火车长米，通过一条长米的隧道用了秒，这列火车以同样的速度通过某站台用了秒钟，那么这个站台长多少米？
【分析】 火车速度为：(米/秒)，通过某站台行进的路程为：(米)，已知火车长，所以站台长为(米)．
练习5
小新以每分钟米的速度沿铁道边小路行走，
⑴ 身后一辆火车以每分钟米的速度超过他，从车头追上小新到车尾离开共用时秒，那么车长多少米？
⑵ 过了一会，另一辆货车以每分钟米的速度迎面开来，从与小新相遇到离开，共用时秒．那么车长是多少？
【分析】 ⑴这是一个追击过程，把小新看作只有速度而没有车身长(长度是零)的火车．
根据前面分析过的追及问题的基本关系式：(的车身长的车身长)(的车速　的车速)从车头追上到车尾离开的时间，在这里，的车身长车长(也就是小新)为，所以车长为：(米)；
⑵这是一个相遇错车的过程，还是把小新看作只有速度而没有车身长(长度是零)的火车．根据相遇问题的基本关系式，(的车身长的车身长)(的车速的车速)两车从车头相遇到车尾离开的时间，车长为：(米)．
练习6
一列快车和一列慢车相向而行，快车的车长是280米，慢车的车长是385米，坐在快车上的人看见慢车驶过的时间是11秒，那么坐在慢车上的人看见块车驶过的时间是多少秒？
【分析】 这个过程是火车错车，对于坐在快车上的人来讲，相当于他以快车的速度和慢车的车尾相遇，相遇路程和是慢车长;对于坐在慢车上的人来讲，相当于他以慢车的速度和快车的车尾相遇，相遇的路程变成了快车的长，相当于是同时进行的两个相遇过程，不同点在于路程和一个是慢车长，一个是快车长，相同点在于速度和都是快车速度加上慢车的速度．所以可先求出两车的速度和（米/秒），然后再求另一过程的相遇时间（秒）.
练习7
长米的客车速度是每秒米，它追上并超过长米的货车用了秒，如果两列火车相向而行，从相遇到完全离开需要多长时间？
【分析】 根据题目的条件，可求出客车与货车的速度差，再求出货车的速度，进而可以求出两车从相遇到完全离开需要的时间，
两列火车的长度之和为：(米)
两列火车的速度之差为：(米/秒)
货车的速度为：(米)
两列火车从相遇到完全离开所需时间为：(秒)．
练习8
某列火车通过米的隧道用了秒，接着通过米的隧道用了秒，这列火车与另一列长米，速度为每秒米的列车错车而过，问需要几秒钟？
【分析】 通过前两个已知条件，我们可以求出火车的车速和火车的车身长．车速为：(米)，车长：(米)，两车错车是从车头相遇开始，直到两车尾离开才是错车结束，两车错车的总路程是两个车身之和，两车是做相向运动，所以，根据“路程和速度和相遇时间”，可以求出两车错车需要的时间为(秒)，所与两车错车而过，需要秒钟．

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