资源描述
2022-2023学年高一上数学期末模拟试卷
注意事项:
1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。
2．答题时请按要求用笔。
3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。
4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。
5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
一、选择题（本大题共12 小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案涂在答题卡上.）
1．若直线过点且倾角为，若直线与轴交于点，则点的坐标为（）
A. B.
C. D.
2．已知函数（且），若函数图象上关于原点对称的点至少有3对，则实数a的取值范围是（ ）.
A. B.
C. D.
3．已知△ABC的平面直观图△A′B′C′是边长为a的正三角形，那么原△ABC的面积为（）
A. B.
C. D.
4．若＜α＜π，化简的结果是（ ）
A. B.
C. D.
5．已知偶函数f(x)在区间[0，＋∞)上单调递增，则满足f(2x－1)<f的x的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
6．已知，函数的图象经过点，则的最小值为（）
A. B.6
C. D.8
7．已知函数，若方程有8个相异实根，则实数的取值范围
A. B.
C. D.
8．且，则角是（）
A.第一象限角 B.第二象限角
C.第三象限角 D.第四象限角
9．若，则（）
A. B.
C.或1 D.或
10．已知，，c=40.1，则（ ）
A. B.
C. D.
11．如图，已知，，共线，且向量，则（）
A. B.
C. D.
12．青少年视力是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力表测量．通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据，小数记录法的数据V和五分记录法的数据L满足，已知某同学视力的五分记录法的数据为4.9，则其视力的小数记录法的数据约为（）（注：）
A.0.6 B.0.8
C.1.2 D.1.5
二、选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分,将答案写在答题卡上.）
13．设函数的定义域为D，若存在实数，使得对于任意，都有，则称为“T—单调增函数”
对于“T—单调增函数”，有以下四个结论：
①“T—单调增函数”一定在D上单调递增；
②“T—单调增函数” 一定是“—单调增函数” （其中，且）：
③函数是“T—单调增函数”（其中表示不大于x的最大整数）；
④函数不“T—单调增函数”
其中，所有正确的结论序号是______
14．一个正方体的顶点都在球面上，它的棱长为2cm，则球的表面积为_____________
15．若函数，则函数的值域为___________.
16．已知函数和函数的图像相交于三点，则的面积为__________.
三、解答题（本大题共6个小题，共70分。解答时要求写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。）
17．（1）求值：；
（2）已知，，试用表示.
18．某种商品在天内每克的销售价格(元)与时间的函数图象是如图所示的两条线段（不包含两点）；该商品在 30 天内日销售量(克)与时间(天)之间的函数关系如下表所示:
第天
5
15
20
30
销售量克
35
25
20
10
（1）根据提供的图象，写出该商品每克销售的价格(元)与时间的函数关系式；
（2）根据表中数据写出一个反映日销售量随时间变化的函数关系式；
（3）在（2）的基础上求该商品的日销售金额的最大值，并求出对应的值.
（注：日销售金额=每克的销售价格×日销售量）
19．某同学用“五点法”画函数在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表：
0
x
5
0
2
0
（1）请将表中数据补充完整，并直接写出函数的解析式；
（2）将的图象向右平移3个单位，然后把曲线上各点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），得到的图象．若关于x的方程在上有解，求实数a的取值范围
20．设是定义在上的奇函数，当时，.
（1）求的解析式；
（2）解不等式.
21．已知函数.
（1）求的定义域； （2）判断的奇偶性并予以证明；
（3）求不等式的解集.
22．一几何体按比例绘制的三视图如图所示（单位：）.
（1）试画出它的直观图（不写作图过程）；
（2）求它的表面积和体积.
参考答案
一、选择题（本大题共12 小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案涂在答题卡上.）
1、C
【解析】利用直线过的定点和倾斜角写出直线的方程，求出与轴的交点，得出答案
【详解】直线过点且倾角为，则直线方程为，化简得
令，解得，点的坐标为
故选：C
【点睛】本题考查点斜式直线方程的应用，考查学生计算能力，属于基础题
2、A
【解析】由于关于原点对称得函数为，由题意可得，与的图像在的交点至少有3对，结合函数图象，列出满足要求的不等式，即可得出结果.
【详解】关于原点对称得函数为
所以与的图像在的交点至少有3对，可知，
如图所示，
当时，，则
故实数a的取值范围为
故选：A
【点睛】本题考查函数的对称性，难点在于将问题转换为与的图像在的交点至少有3对，考查了运算求解能力和逻辑推理能力，属于难题.
3、C
【解析】根据直观图的面积与原图面积的关系为，计算得到答案.
【详解】直观图的面积，设原图面积，
则由，得.
故选：C.
【点睛】本题考查了平面图形的直观图的面积与原面积的关系，三角形的面积公式，属于基础题.
4、A
【解析】利用三角函数的平方关系式，根据角的范围化简求解即可
【详解】= 因为＜α＜π所以cos<0,结果为,故选A.
【点睛】本题考查同角三角函数的基本关系式的应用，三角函数式的化简求值，考查计算能力
5、A
【解析】根据函数的奇偶性和单调性，将不等式进行等价转化，求解即可.
【详解】∵f(x)为偶函数，∴f(x)＝f(|x|)．则f(|2x－1|)<f.
又∵f(x)在[0，＋∞)上单调递增，
∴|2x－1|<，解得<x<.
故选：.
【点睛】本题考查利用函数奇偶性和单调性解不等式，属综合基础题.
6、D
【解析】由函数的图象经过点得到，再以为整体代入，然后利用基本不等式即可.
【详解】因为函数图象经过点，所以有，因为，所以有（当且仅当，即时取等号）
故选：D
【点睛】本题考查了基本不等式的应用，用“1”巧乘是解题的关键，属于一般题.
7、D
【解析】画出函数的图象如下图所示．由题意知，当时，；当时，
设，则原方程化为，
∵方程有8个相异实根，
∴关于的方程在上有两个不等实根
令，
则，解得
∴实数的取值范围为．选D
点睛：已知函数零点的个数（方程根的个数）求参数值（取值范围）的方法
(1)直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；
(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；
(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解，对于一些比较复杂的函数的零点问题常用此方法求解．本题中在结合函数图象分析得基础上还用到了方程根的分布的有关知识
8、D
【解析】直接由三角函数的象限符号取交集得答案.
【详解】由，可得为第二或第四象限角；
由，可得为第一、第四及轴非负半轴上的角
∴取交集可得，是第四象限角
故选：D
9、A
【解析】将已知式同分之后，两边平方，再根据可化简得方程，解出或1，根据，得出.
【详解】由，
两边平方得
，
或1，
，
.
故选：A.
【点睛】本题考查了同角三角函数间的基本关系，以及二倍角的正弦函数公式，属于中档题，要注意对范围的判断.
10、A
【解析】利用指对数函数的性质判断指对数式的大小.
【详解】由，
∴.
故选：A.
11、D
【解析】由已知得，再利用向量的线性可得选项.
【详解】因为，，，三点共线，所以，
所以.
故选：D.
12、B
【解析】当时，即可得到答案.
【详解】由题意可得当时
故选：B
二、选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分,将答案写在答题卡上.）
13、②③④
【解析】①③④选项可以举出反例；②可以进行证明.
【详解】①例如，定义域为，存在，对于任意，都有，但在上不单调递增，①错误；
②因为是单调增函数，所以存在，使得对于任意，都有，因为，，所以，故，即存在实数，使得对于任意，都有，故是单调增函数，②正确；
③，定义域为，当时，对任意的，都有，即成立，所以是单调增函数，③正确；
④当时，，若，则，显然不满足，故不是单调增函数，④正确.
故答案为：②③④
14、
【解析】正方体的对角线等于球的直径．求得正方体的对角线，则球的表面积为
考点：球的表面积
点评：若长方体的长、宽和高分别为ａ、ｂ、ｃ，则球的直径等于长方体的对角线
15、
【解析】求出函数的定义域，进而求出的范围，利用换元法即可求出函数的值域.
【详解】由已知函数的定义域为
又，定义域需满足，
令，因为，
所以，
利用二次函数的性质知，函数的值域为
故答案为：.
16、
【解析】解出三点坐标，即可求得三角形面积.
【详解】由题：，
，所以，，
所以，
.
故答案为：
三、解答题（本大题共6个小题，共70分。解答时要求写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。）
17、（1）（2）
【解析】（1）先将小数转化为分数并约简，然后各式化成指数幂的形式，再利用指数运算法则即可化简求值.
（2）先利用对数的换底公式，以及相关的运算公式将转化为以表示的式子，然后换成m，n即可.
【详解】解：（1）
原式
（2）
原式
【点睛】主要考查指数幂运算公式以及对数的运算公式的应用，属于基础题.
18、（1）；（2）；（3）25.
【解析】（1）设AB所在的直线方程为P=kt+20，将B点代入可得k值，由CD两点坐标可得直线CD所在的两点式方程，进而可得销售价格P（元）与时间t的分段函数关系式
（2）设Q=k1t+b，把两点（5，35），（15，25）的坐标代入，可得日销售量Q随时间t变化的函数的解析式
（3）设日销售金额为y，根据销售金额=销售价格×日销售量，结合（1）（2）的结论得到答案
【详解】（1）由图可知，，，，
设所在直线方程为，把代入
得，所以.，
由两点式得所在的直线方程为，
整理得，，，所以，
（2）由题意，设，把两点，代入得，
解得所以
把点，代入也适合，即对应的四点都在同一条直线上，
所以.
（本题若把四点中的任意两点代入中求出，，再验证也可以）
（3）设日销售金额为，依题意得，
当时，配方整理得，
当时，在区间上的最大值为900
当时，，配方整理得，
所以当时，在区间上的最大值为1125.
综上可知日销售金额最大值为1125元，此时.
【点睛】本小题主要考查具体的函数模型在实际问题中的应用，考查数形结合、化归转化的数学思想方法，以及应用意识和运算求解能力
19、（1）填表见解析；；
（2）.
【解析】（1）利用正弦型函数的性质即得；
（2）由题可得，利用正弦函数的性质可得，即得，即求.
【小问1详解】
0
x
2
5
8
0
2
0
0
.
【小问2详解】
由题可得，
∵，
∴，
∴，
∴，
所以，
∴.
20、 (1)；(2)(－∞，－2)∪(0,2)
【解析】（1）奇函数有f(0)＝0，再由x<0时，f(x)＝－f(－x)即可求解；
（2）由（1）分段求解不等式，最后取并集即可.
试题解析：
（1）因为f(x)是定义在上的奇函数，所以当x=0时，f(x)＝0，
当x<0时，f(x)＝－f(－x)，－x>0，又因为当x>0时，f(x)＝，.
所以当x<0时，f(x)＝－f(－x)＝－＝..
综上所述：此函数的解析式.
（2）f(x)<－，当x=0时，f(x)<－不成立；
当x>0时，即<－，所以<－，所以>，所以3x－1<8，解得x<2，
当x<0时，即<－，所以>－，所以3－x>32，所以x<－2，
综上所述解集是(－∞，－2)∪(0,2).
21、（1）．（2）见解析;(3)
【解析】(1)根据对数函数的定义,列出关于自变量x的不等式组,求出的定义域;
(2)由函数奇偶性的定义,判定在定义域上的奇偶性;
(3)化简,根据对数函数的单调性以及定义域,求出不等式>1的解集.
试题解析：（1）要使函数有意义．则，
解得.故所求函数的定义域为
（2）由（1）知的定义域为，设，则.
且， 故为奇函数.
（3）因为在定义域内是增函数， 因为，所以，解得.
所以不等式的解集是
22、（1）直观图见解析；（2）， .
【解析】（1）由三视图直接画出它的直观图即可；
（2）由三视图可知该几何体是长方体被截取一个角，分别计算其表面积和体积可得答案.
【详解】解：（1）直观图如图所示.
（2）由三视图可知该几何体是长方体被截取一个角，且该几何体的体积是以，，为棱的长方体的体积的.
在直角梯形中，作，则是正方形，
∴.
在中，，，∴.
∴
.
∴几何体的体积.
∴该几何体的表面积为，体积为.
【点睛】本题主要考查空间几何体的三视图与直观图、空间几何体的表面积与体积，考查学生的直观想象能力，数学计算能力，属于中档题.
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