资源描述
2022-2023学年九上数学期末模拟试卷
考生请注意：
1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。
2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。
3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题（每题4分，共48分）
1．如图，四边形ABCD内接于⊙O，已知∠A＝80°，则∠C的度数是（ ）
A．40° B．80° C．100° D．120°
2．如图，是的直径，点在上，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
3．若我们把十位上的数字比个位和百位上数字都小的三位数，称为“”或，如，，那么从2，3，4这三个数字组成的无重复数字的三位数中任意抽取一个数，则该数是“”数的槪率为（ ）
A． B． C． D．
4．一个盒子里装有若干个红球和白球，每个球除颜色以外都相同．5位同学进行摸球游戏，每位同学摸10次（摸出1球后放回，摇匀后再继续摸），其中摸到红球数依次为8，5，9，7，6，则估计盒中红球和白球的个数是（ ）
A．红球比白球多 B．白球比红球多 C．红球，白球一样多 D．无法估计
5．已知关于x的一元二次方程x2+2x﹣a=0有两个相等的实数根，则a的值是（ ）
A．1 B．﹣1 C． D．
6．下列图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
7．在△ABC中，点D、E分别在AB，AC上，DE∥BC，AD：DB=1：2，，则=（ ），
A． B． C． D．
8．如图，下列条件中，能判定的是（ ）
A． B． C． D．
9．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
10．圆内接正三角形、正方形、正六边形的边长之比为( )
A．1：2：3 B．1：： C．：：1 D．无法确定
11．如图，在平面直角坐标系中，⊙P的圆心坐标是(-3，a)(a > 3)，半径为3，函数y=-x的图像被⊙P截得的弦AB的长为，则a的值是 ( )
A．4 B． C． D．
12．抛物线的顶点坐标是( )
A．(3，5) B．(-3，-5) C．(-3，5) D．(3，-5)
二、填空题（每题4分，共24分）
13．如图，在平面直角坐标系中，直线l:与坐标轴分别交于A，B两点，点C在x正半轴上，且OC＝OB．点P为线段AB（不含端点）上一动点，将线段OP绕点O顺时针旋转90°得线段OQ，连接CQ，则线段CQ的最小值为___________．
14．若用αn表示正n边形的中心角，则边长为4的正十二边形的中心角是____．
15．在△ABC中，点D、E分别在AB、AC上，∠AED=∠B，若AE=2，△ADE的面积为4，四边形BCED的面积为5，则边AB的长为________ ．
16．二次函数y＝ax1+bx+c（a≠2）的部分图象如图，图象过点（﹣1，2），对称轴为直线x＝1．下列结论：①4a+b＝2；②9a+c＞3b；③当x＞﹣1时，y的值随x值的增大而增大；④当函数值y＜2时，自变量x的取值范围是x＜﹣1或x＞5；⑤8a+7b+1c＞2．其中正确的结论是_____．
17．等腰三角形一条边的边长为3，它的另两条边的边长是关于x的一元二次方程x2﹣12x+k=0的两个根，则k的值是________．
18．如图,在矩形中，在上,在矩形的内部作正方形．当,时，若直线将矩形的面积分成两部分，则的长为________.
三、解答题（共78分）
19．（8分）如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，A点的坐标为（3，0），以OA为边作等边三角形OAB，点B在第一象限，过点B作AB的垂线交x轴于点C．动点P从O点出发沿着OC向点C运动，动点Q从B点出发沿着BA向点A运动，P，Q两点同时出发，速度均为1个单位/秒．当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止．设运动时间为t秒．
（1）求线段BC的长；
（2）过点Q作x轴垂线，垂足为H，问t为何值时，以P、Q、H为顶点的三角形与△ABC相似；
（3）连接PQ交线段OB于点E，过点E作x轴的平行线交线段BC于点F．设线段EF的长为m，求m与t之间的函数关系式，并直接写出自变量t的取值范围．
20．（8分）如图，一根竖直的木杆在离地面3.1处折断，木杆顶端落在地面上，且与地面成38°角，则木杆折断之前高度约为__________．（参考数据：）
21．（8分）一个不透明的口袋中装有4个完全相同的小球，分别标有数字1，2，3，4，另有一个可以自由旋转的圆盘，被分成面积相等的3个扇形区域，分别标有数字1，2，3(如图所示)．小颖和小亮想通过游戏来决定谁代表学校参加歌咏比赛，游戏规则为：一人从口袋中摸出一个小球，另一人转动圆盘，如果所摸球上的数字与圆盘上转出数字之和小于4，那么小颖去；否则小亮去．
(1)用树状图法或列表法求出小颖参加比赛的概率；
(2)你认为游戏公平吗？请说明理由；若不公平，请修改该游戏规则，使游戏公平．
22．（10分）八年级（1）班研究性学习小组为研究全校同学课外阅读情况，在全校随机邀请了部分同学参与问卷调查，统计同学们一个月阅读课外书的数量，并绘制了以下统计图．
请根据图中信息解决下列问题：
（1）共有多少名同学参与问卷调查；
（2）补全条形统计图和扇形统计图；
（3）全校共有学生1500人，请估计该校学生一个月阅读2本课外书的人数约为多少．
23．（10分）用适当的方法解下列一元二次方程
（1）x2+2x＝3；
（2）2x2﹣6x+3＝1．
24．（10分）用“☆”定义一种新运算：对于任意有理数a和b，规定a☆b＝ab2＋2ab＋a.如：1☆3＝1×32＋2×1×3＋1＝16.
(1)求(－2)☆3的值；
(2)若＝8，求a的值．
25．（12分）甲、乙两名同学玩一个游戏：在一个不透明的口袋中装有标号分别为1，2，3，4的四个小球(除标号外无其它差异)．从口袋中随机摸出一个小球，记下标号后放回口袋中，充分摇匀后，再从口袋中随机摸出一个小球，记下该小球的标号，两次记下的标号分别用x、y表示．若为奇数，则甲获胜；若为偶数，则乙获胜．
请你运用所学的概率的相关知识通过计算说明这个游戏对甲、乙双方是否公平．
26．如图，射线表示一艘轮船的航行路线，从到的走向为南偏东30°，在的南偏东60°方向上有一点，处到处的距离为200海里．
（1）求点到航线的距离．
（2）在航线上有一点.且，若轮船沿的速度为50海里/时，求轮船从处到处所用时间为多少小时．（参考数据：）
参考答案
一、选择题（每题4分，共48分）
1、C
【分析】根据圆内接四边形的性质得出∠C+∠A=180°，代入求出即可．
【详解】解：∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠C+∠A=180°，
∵∠A=80°，
∴∠C=100°，
故选：C．
【点睛】
本题考查了圆内接四边形的性质的应用.熟记圆内接四边形对角互补是解决此题的关键.
2、B
【分析】连接AC，根据圆周角定理，分别求出∠ACB=90，∠ACD=20，即可求∠BCD的度数．
【详解】连接AC，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∵∠AED=20°，
∴∠ACD=∠AED=20°，
∴∠BCD=∠ACB+∠ACD=90°+20°=110°，
故选：B．
【点睛】
本题考查的是圆周角定理：①直径所对的圆周角为直角；②在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．
3、C
【分析】首先将所有由2，3，4这三个数字组成的无重复数字列举出来，然后利用概率公式求解即可．
【详解】解：由2，3，4这三个数字组成的无重复数字为234，243，324，342，432，423六个，而“V”数有2个，即324，423，
故从2，3，4这三个数字组成的无重复数字的三位数中任意抽取一个数，则该数是“V”数的概率为，
故选：C．
【点睛】
本题考查的是用列举法求概率的知识．注意概率=所求情况数与总情况数之比．
4、A
【解析】根据题意可得5位同学摸到红球的频率为，由此可得盒子里的红球比白球多．故选A．
5、B
【分析】根据关于x的一元二次方程x2+2x﹣a=0有两个相等的实数根可知△=0，求出a的取值即可．
【详解】解：∵关于x的一元二次方程x2+2x﹣a=0有两个相等的实数根，
∴△=22+4a=0，
解得a=﹣1．
故选B．
【点睛】
本题考查一元二次方程根的判别式，熟记公式正确计算是本题的解题关键．
6、D
【分析】根据中心对称图形的定义：旋转180度之后与自身重合称为中心对称，轴对称是折叠后能够与自身完全重合称为轴对称，根据定义去解题.
【详解】解：A、是中心对称图形，不是轴对称图形，故本选项错误；
B、不是中心对称图形，是轴对称图形，故本选项错误；
C、不是中心对称图形，是轴对称图形，故本选项错误；
D、既是中心对称图形又是轴对称图形，故本选项正确．故选：D．
【点睛】
本题考查的是中心对称图形和轴对称图形的定义.
7、A
【分析】根据DE∥BC得到△ADE∽△ABC，再结合相似比是AD：AB=1：3，因而面积的比是1：1．
【详解】解：如图：
∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∵AD：DB=1：2，
∴AD：AB=1：3，
∴S△ADE：S△ABC=1：1．
故选：A．
【点睛】
本题考查的是相似三角形的判定与性质，熟知相似三角形面积的比等于相似比的平方是解答此题的关键．
8、D
【分析】根据相似三角形的各个判定定理逐一分析即可．
【详解】解：∵∠A=∠A
若，不是对应角，不能判定，故A选项不符合题意；
若，不是对应角，不能判定，故B选项不符合题意；
若，但∠A不是两组对应边的夹角，不能判定，故C选项不符合题意；
若，根据有两组对应边成比例且夹角对应相等的两个三角形相似可得，故D选项符合题意．
故选D．
【点睛】
此题考查的是使两个三角形相似所添加的条件，掌握相似三角形的各个判定定理是解决此题的关键．
9、A
【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念进行判断即可．
【详解】解：A、是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项符合题意；
B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；
C、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项不合题意；
D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意．
故选：A．
【点睛】
本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．
10、C
【分析】根据题意画出图形，设出圆的半径，再由正多边形及直角三角形的性质求解即可．
【详解】解：设圆的半径为R，
如图(一)，
连接OB，过O作OD⊥BC于D，
则∠OBC=30°，BD=OB•cos30°R，
故BC=2BDR；
如图(二)，
连接OB、OC，过O作OE⊥BC于E，
则△OBE是等腰直角三角形，
2BE2=OB2，即BE，
故BCR；
如图(三)，
连接OA、OB，过O作OG⊥AB，
则△OAB是等边三角形，
故AG=OA•cos60°R，AB=2AG=R，
∴圆内接正三角形、正方形、正六边形的边长之比为R：R：R：：1．
故选：C．
【点睛】
本题主要考查了正多边形和圆，掌握正多边形和圆是解题的关键.
11、B
【分析】如图所示过点P作PC⊥x轴于C，交AB于D，作PE⊥AB于E，连结PB，可得OC=3，PC=a，把x=-3代入y=-x得y=3，可确定D点坐标，可得△OCD为等腰直角三角形，得到△PED也为等腰直角三角形，又PE⊥AB，由垂径定理可得AE=BE=AB=2，在Rt△PBE中，由勾股定理可得PE=，可得PD=PE=，最终求出a的值.
【详解】作PC⊥x轴于C，交AB于D，作PE⊥AB于E，连结PB，如图，
∵⊙P的圆心坐标是（-3，a），
∴OC=3，PC=a，
把x=-3代入y=-x得y=3，
∴D点坐标为（-3，3），
∴CD=3，
∴△OCD为等腰直角三角形，
∴△PED也为等腰直角三角形，
∵PE⊥AB，
∴AE=BE=AB=×4=2，
在Rt△PBE中，PB=3，
∴PE=，
∴PD=PE=，
∴a=3+．
故选B．
【点睛】
本题主要考查了垂径定理、一次函数图象上点的坐标特征以及勾股定理，熟练掌握圆中基本定理和基础图形是解题的关键.
12、C
【解析】由题意根据二次函数y=a（x-h）2+k（a≠0）的顶点坐标是（h，k），求出顶点坐标即可．
【详解】解：∵；
∴顶点坐标为：（-3，5）．
故选：C．
【点睛】
本题考查二次函数的性质和二次函数的顶点式．熟悉二次函数的顶点式方程y=a（x-h）2+k中的h、k所表示的意义是解决问题的关键．
二、填空题（每题4分，共24分）
13、
【分析】在OA上取使，得，则，根据点到直线的距离垂线段最短可知当⊥AB时，CP最小，由相似求出的最小值即可.
【详解】解：如图，在OA上取使，
∵，
∴，
在△和△QOC中，
，
∴△≌△QOC（SAS），
∴
∴当最小时，QC最小，
过点作⊥AB，
∵直线l:与坐标轴分别交于A，B两点，
∴A坐标为：（0，8）；B点（-4，0），
∵，
∴，.
∵，
∴，
∴，
∴线段CQ的最小值为.
故答案为：.
【点睛】
本题主要考查了一次函数图像与坐标轴的交点及三角形全等的判定和性质、垂线段最短等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，学会利用垂线段最短解决最值问题，属于中考压轴题．
14、30º
【分析】根据正多边形的中心角的定义，可得正十二边形的中心角是：360°÷12=30°．
【详解】正十二边形的中心角是：360°÷12=30°．
故答案为：30º．
【点睛】
此题考查了正多边形的中心角．此题比较简单，注意准确掌握定义是关键．
15、1
【分析】由∠AED=∠B，∠A是公共角，根据有两角对应相等的两个三角形相似，即可证得△ADE∽△ACB，又由相似三角形面积的比等于相似比的平方，可得，然后由AE=2，△ADE的面积为4，四边形BCDE的面积为5，即可求得AB的长．
【详解】∵∠AED=∠B，∠A是公共角，
∴△ADE∽△ACB，
∴，
∵△ADE的面积为4，四边形BCED的面积为5，
∴△ABC的面积为9，
∵AE=2，
∴，
解得：AB=1．
故答案为1．
【点睛】
本题考查相似三角形的判定性质，掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键.
16、①④⑤．
【分析】根据二次函数图象的开口方向、对称轴、顶点坐标、增减性以及二次函数与一元二次方程的关系，逐项判断即可．
【详解】解：抛物线过点（﹣1，2），对称轴为直线x＝1．
∴x＝ ＝1，与x轴的另一个交点为（5，2），
即，4a+b＝2，故①正确；
当x＝﹣3时，y＝9a﹣3b+c＜2，即，9a+c＜3b，因此②不正确；
当x＜1时，y的值随x值的增大而增大，因此③不正确；
抛物线与x轴的两个交点为（﹣1，2），（5，2），又a＜2，因此当函数值y＜2时，自变量x的取值范围是x＜﹣1或x＞5，故④正确；
当x＝3时，y＝9a+3b+c＞2，
当x＝4时，y＝16a+4b+c＞2，
∴15a+7b+1c＞2，
又∵a＜2，
∴8a+7b+c＞2，故⑤正确；
综上所述，正确的结论有：①④⑤，
故答案为：①④⑤．
【点睛】
本题主要考查二次函数图像性质,解决本题的关键是要熟练掌握二次函数图像性质.
17、32
【解析】分3为等腰三角形的腰与3为等腰三角形的底两种情况考虑．①当3为等腰三角形的腰时，将x＝3代入原方程可求出k的值，再利用分解因式法解一元二次方程可求出等腰三角形的底，由三角形的三边关系可确定此情况不存在；②当3为等腰三角形的底时，由方程的系数结合根的判别式可得出△＝144﹣4k＝0，解之即可得出k值，进而可求出方程的解，再利用三角形的三边关系确定此种情况符合题意．此题得解．
【详解】①当3为等腰三角形的腰时，将x＝3代入原方程得1﹣12×3+k＝0，解得：k＝27，此时原方程为x2﹣12x+27＝0，即（x﹣3）（x﹣1）＝0，解得：x1＝3，x2＝1．
∵3+3＝2＜1，∴3不能为等腰三角形的腰；
②当3为等腰三角形的底时，方程x2﹣12x+k＝0有两个相等的实数根，∴△＝（﹣12）2﹣4k＝144﹣4k＝0，解得：k＝32，此时x1＝x22．
∵3、2、2可以围成等腰三角形，∴k＝32．
故答案为32．
【点睛】
本题考查了解一元二次方程-因式分解法、根的判别式、三角形的三边关系以及等腰三角形的性质，分3为等腰三角形的腰与3为等腰三角形的底两种情况考虑是解题的关键．
18、或
【分析】分二种情形分别求解：①如图１中，延长交于，当时，直线将矩形的面积分成两部分．②如图２中，延长交于交的延长线于，当时，直线将矩形的面积分成两部分．
【详解】解： 如图1中，设直线交于，当时，直线将矩形的面积分成两部分．
，
，
，
．
如图2中，设直线长交于交的延长线于，当时，直线将矩形的面积分成两部分，易证
∴，
，
，
，
．
综上所述，满足条件的的值为或．
故答案为：或．
【点睛】
本题属于四边形综合题，考查了矩形的性质，全等三角形的判定和性质，平行线分线段成比例定理等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．
三、解答题（共78分）
19、（2）；（2）t=2或2；（3）（）．
【分析】（2）由等边三角形OAB得出∠ABC=92°，进而得出CO=OB=AB=OA=3，AC=6，求出BC即可；
（2）需要分类讨论：△PHQ∽△ABC和△QHP∽△ABC两种情况；
（3）过点Q作QN∥OB交x轴于点N，得出△AQN为等边三角形，由OE∥QN，得出△POE∽△PNQ，以及，表示出OE的长，利用m=BE=OB﹣OE求出即可．
【详解】（2）如图l，∵△AOB为等边三角形，∴∠BAC=∠AOB=62，∵BC⊥AB，∴∠ABC=92°，∴∠ACB=32°，∠OBC=32°，∴∠ACB=∠OBC，∴CO=OB=AB=OA=3，∴AC=6，∴BC=AC=；
（2）如图2，过点Q作x轴垂线，垂足为H，则QH=AQ•sin62°=．需要分类讨论：当△PHQ∽△ABC时，，即：，解得，t=2．
同理，当△QHP∽△ABC时，t=2．
综上所述，t=2或t=2；
（3）如图2，过点Q作QN∥OB交x轴于点N，∴∠QNA=∠BOA=62°=∠QAN，∴QN=QA，∴△AQN为等边三角形，∴NQ=NA=AQ=3﹣t，∴ON=3﹣（3﹣t）=t，∴PN=t+t=2t，∴OE∥QN，∴△POE∽△PNQ，∴，∴，∴，∵EF∥x轴，∴∠BFE=∠BCO=∠FBE=32°，∴EF=BE，∴m=BE=OB﹣OE=（2＜t＜3）．
考点：相似形综合题．
20、8.1m
【分析】由题意得，在直角三角形中，知道了两直角边，运用勾股定理即可求出斜边，从而得出这棵树折断之前的高度．
【详解】解：如图：
，
∴，
∴木杆折断之前高度
故答案为m
【点睛】
本题考查勾股定理的应用，熟练掌握运算法则是解题关键.
21、 (1)P(小颖去)＝；(2)不公平，见解析.
【分析】（1）首先根据题意画出树状图，由树状图求得所有等可能的结果与两指针所指数字之和和小于4的情况，则可求得小颖参加比赛的概率；
（2）根据小颖获胜与小亮获胜的概率，比较概率是否相等，即可判定游戏是否公平；使游戏公平，只要概率相等即可．
【详解】（1）画树状图得：
∵共有12种等可能的结果，所指数字之和小于4的有3种情况，
∴P（和小于4）==，
∴小颖参加比赛的概率为：；
（2）不公平，
∵P（小颖）=，
P（小亮）=．
∴P（和小于4）≠P（和大于等于4），
∴游戏不公平；
可改为：若两个数字之和小于5，则小颖去参赛；否则，小亮去参赛．
22、（1）参与问卷调查的学生人数为100人；（2）补全图形见解析；（3）估计该校学生一个月阅读2本课外书的人数约为570人．
【分析】（1）由读书1本的人数及其所占百分比可得总人数；
（2）总人数乘以读4本的百分比求得其人数，减去男生人数即可得出女生人数，用读2本的人数除以总人数可得对应百分比；
（3）总人数乘以样本中读2本人数所占比例．
【详解】（1）参与问卷调查的学生人数为（8+2）÷10%=100人，
（2）读4本的女生人数为100×15%﹣10=5人，
读2本人数所占百分比为×100%=38%，
补全图形如下：
（3）估计该校学生一个月阅读2本课外书的人数约为1500×38%=570人．
【点睛】
本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．
23、（1）x1＝﹣3，x2＝1；（2）
【分析】（1）移项，方程左边分解因式后，利用两数相乘积为1，两因式中至少有一个为1转化为两个一元一次方程来求解；
（2）方程二次项系数化为1，常数项移到右边，两边加上一次项系数一半的平方，开方即可求出解．
【详解】解：（1）移项得：x2+2x﹣3＝1，
分解因式得：（x+3）（x﹣1）＝1，
可得x+3＝1或x﹣1＝1，
解得：x1＝﹣3，x2＝1；
（2）方程变形得：x2﹣3x＝﹣，
配方得：x2﹣3x+＝﹣+，即（x﹣）2＝，
解得：．
【点睛】
此题考查了解一元二次方程因式分解法及配方法，熟练掌握各种解法是解本题的关键．
24、 (1)－32；(2) a＝1.
【解析】分析：（1）原式利用题中的新定义化简，计算即可得到结果；
（2）已知等式利用题中的新定义化简，即可求出a的值．
详解：（1）（-2）☆3=-2×32+2×（-2）×3+（-2）=-32；
（2）==8a+8=8，
解得：a=1．
点睛：此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
25、公平，见解析
【分析】画树状图展示所有16种等可能的结果数，然后根据概率公式求解．
【详解】画树状图如图所示，
由图知共有16种等可能结果，其中为奇数的可能有8种，为偶数也有8种可能，
故结果为奇数或偶数的概率都是，
甲乙获胜的概率相同，故游戏公平．
【点睛】
本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式计算事件A或事件B的概率．
26、（1）100海里（2）约为1.956小时
【分析】（1）过A作AH⊥MN于H．由方向角的定义可知∠QMB=30°，∠QMA=60°，那么∠NMA=∠QMA-∠QMB=30°．解直角△AMH中，得出AH=AM，问题得解；
（2）先根据直角三角形两锐角互余求出∠HAM=60°，由∠MAB=15°，得出∠HAB=∠HAM-∠MAB=45°，那么△AHB是等腰直角三角形，求出BH=AH距离，然后根据时间=路程÷速度即可求解．
【详解】解：（1）如图，过作于.
∵，
∴
在直角中，
∵，，海里，
∴海里.
答：点到航线的距离为100海里.
（2）在直角中，，
由（1）可知，
∵
∴，
∴，
∴轮船从处到处所用时间约为小时.
答：轮船从处到处所用时间约为1.956小时.
【点睛】
本题考查了解直角三角形的应用-方向角问题，含30°角的直角三角形的性质，等腰直角三角形的判定与性质，直角三角形两锐角互余的性质，准确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．
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