资源描述
2022-2023学年九上数学期末模拟试卷
考生请注意：
1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。
2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。
3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题（每题4分，共48分）
1． “一般的，如果二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴有两个公共点，那么一元二次方程ax2+bx+c=0有两个不相等的实数根．——苏科版《数学》九年级（下册）P21”参考上述教材中的话，判断方程x2﹣2x=﹣2实数根的情况是 （ ）
A．有三个实数根 B．有两个实数根 C．有一个实数根 D．无实数根
2．下列函数中，一定是二次函数的是（ ）
A． B． C． D．
3．顺次连接平行四边形四边的中点所得的四边形是（ ）
A．矩形 B．菱形 C．正方形 D．平行四边形
4．如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，CE∥BD，DE∥AC，若OA=2，则四边形CODE的周长为（ ）
A．4 B．6 C．8 D．10
5．如图，在中，点分别在边上，且，则下列结论不一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
6．某班同学要测量学校升国旗的旗杆的高度，在同一时刻，量得某一同学的身高是1.6m，影长为1m，旗杆的影长为7.5m，则旗杆的高度是（ ）
A．9m B．10m C．11m D．12m
7．如图，矩形AOBC，点C在反比例的图象上，若，则的长是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
8．点M(a，2a)在反比例函数y＝的图象上，那么a的值是( )
A．4 B．﹣4 C．2 D．±2
9．如图，在△ABC中，DE//BC，，S梯形BCED＝8，则S△ABC是（ ）
A．13 B．12 C．10 D．9
10．已知抛物线y=﹣x2+bx+4经过（﹣2，﹣4），则b的值为（ ）
A．﹣2 B．﹣4 C．2 D．4
11．如图，，则下列比例式错误的是（ ）
A． B． C． D．
12．如图，AB∥CD，点E在CA的延长线上.若∠BAE=40°，则∠ACD的大小为（ ）
A．150° B．140° C．130° D．120°
二、填空题（每题4分，共24分）
13．一次安全知识测验中，学生得分均为整数，满分10分，这次测验中甲、乙两组学生人数都为6人，成绩如下：甲：7，9，10，1，5，9；乙：9，6，1，10，7，1．
（1）请补充完整下面的成绩统计分析表：
平均分
方差
众数
中位数
甲组
1
9
乙组
1
1
（2）甲组学生说他们的众数高于乙组，所以他们的成绩好于乙组，但乙组学生不同意甲组学生的说法，认为他们组的成绩要好于甲组，请你给出一条支持乙组学生观点的理由_____________________________．
14．已知抛物线经过和两点，则的值为__________．
15．如图，在正方形中，，将绕点顺时针旋转得到，此时与交于点，则的长度为___________.
16．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，若∠CDB＝30°，⊙O的半径为5cm则圆心O到弦CD的距离为_____．
17．若(m-1) +2mx-1=0是关于x的一元二次方程，则m的值是______．
18．如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，反比例函数的图象经过线段OA的中点B，则k=_____．
三、解答题（共78分）
19．（8分）如图，抛物线y=x2 +bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）求该抛物线的对称轴以及顶点坐标；
（3）设（1）中的抛物线上有一个动点P，当点P在该抛物线上滑动到什么位置时，满足S△PAB=8，并求出此时P点的坐标．
20．（8分）某高科技发展公司投资500万元，成功研制出一种市场需求量较大的高科技替代产品，并投入资金1500万元作为固定投资. 已知生产每件产品的成本是40元，在销售过程中发现：当销售单价定为120元时，年销售量为20万件；销售单价每增加10元，年销售量将减少1万件，设销售单价为（元），年销售量为（万件），年获利为（万元）。（年获利＝年销售额—生产成本—投资）
（1）试写出与之间的函数关系式；
（2）请通过计算说明，到第一年年底，当取最大值时，销售单价定为多少？此时公司是盈利了还是亏损了？
21．（8分）如图，一个圆形水池的中央垂直于水面安装了一个柱形喷水装置OA，顶端A处的喷头向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下．建立如图所示的直角坐标系，水流喷出的高度y(m)与水平距离x(m)之间的关系式可以用表示，且抛物线经过点B，C；
（1）求抛物线的函数关系式，并确定喷水装置OA的高度；
（2）喷出的水流距水面的最大高度是多少米？
（3）若不计其他因素，水池的半径至少要多少米，才能使喷出的水流不至于落在池外？
22．（10分）某公司2016年10月份营业额为64万元，12月份营业额达到100万元，
（1）求该公司11、12两个月营业额的月平均增长率；
（2）如果月平均增长率保持不变，据此估计明年1月份月营业额．
23．（10分）如图，在正方形ABCD中，AB＝4，动点P从点A出发，以每秒2个单位的速度，沿线段AB方向匀速运动，到达点B停止．连接DP交AC于点E，以DP为直径作⊙O交AC于点F，连接DF、PF．
（1）求证：△DPF为等腰直角三角形；
（2）若点P的运动时间t秒．
①当t为何值时，点E恰好为AC的一个三等分点；
②将△EFP沿PF翻折，得到△QFP，当点Q恰好落在BC上时，求t的值．
24．（10分）如图，海面上一艘船由西向东航行，在处测得正东方向上一座灯塔的最高点的仰角为，再向东继续航行到达处，测得该灯塔的最高点的仰角为．根据测得的数据，计算这座灯塔的高度（结果取整数）．参考数据：，，．
25．（12分）已知：在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC于点D，分别过点A和点C作BC、AD边的平行线交于点E．
（1）求证：四边形ADCE是矩形；
（2）连结BE，若，AD=，求BE的长．
26．已知关于x的方程x2-6x+k＝0的两根分别是x1、x2.
（1）求k的取值范围；
（2）当+ =3时，求k的值．
参考答案
一、选择题（每题4分，共48分）
1、C
【解析】试题分析：由得，，即是判断函数与函数的图象的交点情况.
因为函数与函数的图象只有一个交点
所以方程只有一个实数根
故选C.
考点：函数的图象
点评：函数的图象问题是初中数学的重点和难点，是中考常见题，在压轴题中比较常见，要特别注意.
2、A
【分析】根据二次函数的定义逐个判断即可．
【详解】A、是二次函数，故本选项符合题意；
B、当a=0时，函数不是二次函数，故本选项不符合题意；
C、不是二次函数，故本选项不符合题意；
D、不是二次函数，故本选项不符合题意；
故选：A．
【点睛】
此题考查二次函数的定义，能熟记二次函数的定义的内容是解题的关键．
3、D
【解析】试题分析：顺次连接四边形四边的中点所得的四边形是平行四边形，如果原四边形的对角线互相垂直，那么所得的四边形是矩形，如果原四边形的对角线相等，那么所得的四边形是菱形，如果原四边形的对角线相等且互相垂直，那么所得的四边形是正方形，因为平行四边形的对角线不一定相等或互相垂直，因此得平行四边形.故选D.
考点：中点四边形的形状判断.
4、C
【分析】首先由CE∥BD，DE∥AC，可证得四边形CODE是平行四边形，又由四边形ABCD是矩形，根据矩形的性质，易得OC＝OD＝2，即可判定四边形CODE是菱形，继而求得答案．
【详解】解：∵CE∥BD，DE∥AC，
∴四边形CODE是平行四边形，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AC＝BD，OA＝OC=2，OB＝OD，
∴OD＝OC＝2，
∴四边形CODE是菱形，
∴四边形CODE的周长为：4OC＝4×2＝1．
故选：C．
【点睛】
此题考查了菱形的判定与性质以及矩形的性质．此题难度不大，注意证得四边形CODE是菱形是解此题的关键．
5、B
【分析】根据相似三角形平行线分线段成比例的性质，分别判定即可.
【详解】∵
∴∠A=∠CEF，∠ADE=∠ABC，∠CFE=∠ABC，，
∴∠ADE=∠CFE，，C选项正确；
∴△ADE∽△EFC
∴，A选项正确；
又∵
∴，D选项正确；
∵
∴不成立
故答案为B.
【点睛】
此题主要考查相似三角形平行线分线段成比例的运用，熟练掌握，即可解题.
6、D
【分析】因为在同一时刻同一地点任何物体的高与其影子长比值是相同的，所以同学的身高与其影子长的比值等于旗杆的高与其影子长的比值．
【详解】设旗杆的高度为x，
根据在同一时刻同一地点任何物体的高与其影子长比值是相同的，得：＝，
解得：x＝1.6×7.5＝12（m），
∴旗杆的高度是12m．
故选：D．
【点睛】
本题考查相似三角形的应用，熟知同一时刻物高与影长成正比是解题的关键.
7、B
【分析】根据OB的长度即为点C的横坐标，代入反比例函数的解析式中即可求出点C的纵坐标，即BC的长度，再根据矩形的性质即可求出OA．
【详解】解：∵
∴点C的横坐标为1
将点C的横坐标代入中，解得y=2
∴BC=2
∵四边形AOBC是矩形
∴OA=BC=2
故选B．
【点睛】
此题考查的是根据反比例函数解析式求点的坐标和矩形的性质，掌握根据反比例函数解析式求点的坐标和矩形的性质是解决此题的关键．
8、D
【分析】根据点M(a，2a)在反比例函数y＝的图象上,可得:,然后解方程即可求解.
【详解】因为点M(a，2a)在反比例函数y＝的图象上,可得:
,
,
解得:,
故选D.
【点睛】
本题主要考查反比例函数图象的上点的特征,解决本题的关键是要熟练掌握反比例函数图象上点的特征.
9、D
【分析】由DE∥BC，可证△ADE∽△ABC，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，求△ADE的面积，再加上BCED的面积即可．
【详解】解：∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴＝＝＝，
∴，
∵S梯形BCED＝8，
∴
∴
故选：D
【点睛】
本题考查了相似三角形的判定与性质．关键是利用平行线得相似，利用相似三角形的面积的性质求解．
10、C
【分析】将点的坐标代入抛物线的解析式求解即可．
【详解】因为抛物线y=﹣x1+bx+4经过(﹣1，﹣4)，
所以﹣4=﹣(﹣1)1﹣1b+4，
解得：b=1．
故选：C．
【点睛】
本题主要考查的是二次函数的性质．解题的关键是掌握二次函数的性质，明确抛物线经过的点的坐标满足抛物线的解析式是解题的关键．
11、A
【分析】由题意根据平行线分线段成比例定理写出相应的比例式，即可得出答案．
【详解】解：∵DE∥BC，
∴，，，
∴A错误；
故选：A．
【点睛】
本题考查平行线分线段成比例定理，熟练平行线分线段成比例定理，关键是找准对应关系，避免错选其他答案．
12、B
【解析】试题分析：如图，延长DC到F，则
∵AB∥CD，∠BAE=40°，∴∠ECF=∠BAE=40°.
∴∠ACD=180°-∠ECF=140°.
故选B．
考点：1.平行线的性质；2.平角性质.
二、填空题（每题4分，共24分）
13、（1），1.5，1；（2）两队的平均分相同，但乙组的方差小于甲组方差，所以乙组成绩更稳定．
【分析】（1）根据方差、平均数的计算公式求出甲组方差和乙组平均数，根据中位数的定义，取出甲组中位数；
（2）根据（1）中表格数据，分别从反应数据集中程度的中位数和平均分及反应数据波动程度的方差比较甲、乙两组，由此找出乙组优于甲组的一条理由．
【详解】（1）甲组方差：
甲组数据由小到大排列为：5，7，1，9，9，10
故甲组中位数：（1+9）÷2=1.5
乙组平均分：(9+6+1+10+7+1)÷6=1
填表如下：
平均分
方差
众数
中位数
甲组
1
9
1.5
乙组
1
1
1
（2）两队的平均分相同，但乙组的方差小于甲组，所以乙组成绩更稳定．
故答案为：，1.5，1；两队的平均分相同，但乙组的方差小于甲组方差，所以乙组成绩更稳定．
【点睛】
本题考查数据分析，熟练掌握反应数据集中趋势的中位数、众数和平均数以及反应数据波动程度的方差的计算公式和定义是解题关键．
14、
【分析】根据（-2，n）和（1，n）可以确定函数的对称轴x=1，再由对称轴的x=，即可求出b，于是可求n的值.
【详解】解：抛物线经过（-2，n）和（1，n）两点，可知函数的对称轴x=1，
∴=1，
∴b=2；
∴y=-x2+2x+1，
将点（-2，n）代入函数解析式，可得n=-1；
故答案是：-1．
【点睛】
本题考查二次函数图象上点的坐标；熟练掌握二次函数图象上点的对称性是解题的关键．
15、
【分析】利用正方形和旋转的性质得出A′D=A′E，进而利用勾股定理得出BD的长，进而利用锐角三角函数关系得出DE的长即可．
【详解】解：由题意可得出：∠BDC=45°，∠DA′E=90°，
∴∠DEA′=45°，
∴A′D=A′E，
∵在正方形ABCD中，AD=1，
∴AB=A′B=1，
∴BD=，
∴A′D=，
∴在Rt△DA′E中，DE=．
故答案为：.
【点睛】
此题主要考查了正方形和旋转的性质以及勾股定理、锐角三角函数关系等知识，得出A′D的长是解题关键．
16、2.5cm．
【分析】根据圆周角定理得到∠COB=2∠CDB=60°，然后根据含30度的直角三角形三边的关系求出OE即可．
【详解】∵CD⊥AB，
∴∠OEC＝90°，
∵∠COB＝2∠CDB＝2×30°＝60°，
∴OE＝OC＝×5＝2.5，
即圆心O到弦CD的距离为2.5cm．
故答案为2.5cm．
【点睛】
本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．
17、-2
【分析】根据一元二次方程的定义：未知数的最高次数是2；二次项系数不为1．由这两个条件得到相应的关系式，再求解即可．
【详解】解：由题意，得
m（m+2）-1=2且m-1≠1，
解得m=-2，
故答案为-2．
【点睛】
本题利用了一元二次方程的概念．只有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程，一般形式是ax2+bx+c=1（且a≠1）．特别要注意a≠1的条件．
18、-2
【解析】由A，B是OA的中点，点B的坐标，把B的坐标代入关系式可求k的值．
【详解】∵A（-4，2），O（0，0），B是OA的中点，
∴点B（-2，1），代入得：
∴
故答案为：-2
【点睛】
本题考查反比例函数图象上点的坐标特征及线段中点坐标公式；根据中点坐标公式求出点B坐标，代入求k的值是本题的基本方法．
三、解答题（共78分）
19、（1）y=x2﹣2x﹣1；（2）抛物线的对称轴x=1，顶点坐标（1，﹣4）；（1）（，4）或（，4）或（1，﹣4）．
【分析】（1）由于抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B（1，0）两点，那么可以得到方程x2+bx+c=0的两根为x=﹣1或x=1，然后利用根与系数即可确定b、c的值．
（2）根据S△PAB=2，求得P的纵坐标，把纵坐标代入抛物线的解析式即可求得P点的坐标．
【详解】解：（1）∵抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B（1，0）两点，
∴方程x2+bx+c=0的两根为x=﹣1或x=1，
∴﹣1+1=﹣b，
﹣1×1=c，
∴b=﹣2，c=﹣1，
∴二次函数解析式是y=x2﹣2x﹣1．
（2）∵y=﹣x2﹣2x﹣1=（x﹣1）2﹣4，
∴抛物线的对称轴x=1，顶点坐标（1，﹣4）．
（1）设P的纵坐标为|yP|，
∵S△PAB=2，
∴AB•|yP|=2，
∵AB=1+1=4，
∴|yP|=4，
∴yP=±4，
把yP=4代入解析式得，4=x2﹣2x﹣1，
解得，x=1±2，
把yP=﹣4代入解析式得，﹣4=x2﹣2x﹣1，
解得，x=1，
∴点P在该抛物线上滑动到（1+2，4）或（1﹣2，4）或（1，﹣4）时，满足S△PAB=2．
【点睛】
考点：1.待定系数法求二次函数解析式；2.二次函数的性质；1.二次函数图象上点的坐标特征．
20、（1）；（2）当销售单价为180元，年获利最大，并且第一年年底公司亏损了，还差40万元就可收回全部投资．
【分析】（1）销售单价为x元，先用x表示出年销售量，再利用每件产品销售利润×年销售量=年获利列出函数解答；
（2）把（1）中所得的二次函数，利用配方法得到顶点式，然后进行判断，即可得到答案.
【详解】解：（1）由题意知，当销售单价定为元时，年销售量减少万件，
∴，
∴与之间的函数关系式是：.
由题意得：
，
∴与之间的函数关系是：.
（2）∵，
∵，
∴当时，取最大值，为，
∴当销售单价为180元，年获利最大，并且第一年年底公司还差40万元就可收回全部投资；
∴到第一年年底公司亏了40万元.
【点睛】
此题考查了二次函数的性质，二次函数的应用问题，配方法的运用，解题的关键是熟练掌握题意，正确找到题目的数量关系，列出关系式.
21、（1），米；（2）米；（3）至少要米．
【分析】（1）根据点B、C的坐标，利用待定系数法即可得抛物线的解析式，再求出时y的值即可得OA的高度；
（2）将抛物线的解析式化成顶点式，求出y的最大值即可得；
（3）求出抛物线与x轴的交点坐标即可得．
【详解】（1）由题意，将点代入得：，
解得，
则抛物线的函数关系式为，
当时，，
故喷水装置OA的高度米；
（2）将化成顶点式为，
则当时，y取得最大值，最大值为，
故喷出的水流距水面的最大高度是米；
（3）当时，，
解得或（不符题意，舍去），
故水池的半径至少要米，才能使喷出的水流不至于落在池外．
【点睛】
本题考查了二次函数的实际应用，熟练掌握待定系数法和二次函数的性质是解题关键．
22、（1）该公司11、12两个月营业额的月平均增长率为25%；（2）1明年1月份月营业额为125万元．
【分析】（1）设该公司11、12两个月营业额的月平均增长率为x，根据该公司10月份及12月份的营业额，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论；
（2）根据明年1月份月营业额＝今年12月份营业额×（1+增长率），即可求出结论．
【详解】解：（1）设该公司11、12两个月营业额的月平均增长率为x，
依题意，得：64（1+x）2＝100，
解得：x1＝0.25＝25%，x2＝﹣2.25（不合题意，舍去）．
答：该公司11、12两个月营业额的月平均增长率为25%．
（2）100×（1+25%）＝125（万元）．
答：明年1月份月营业额为125万元．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
23、（1）详见解析；（2）①1；②﹣1．
【分析】（1）要证明三角形△DPF为等腰直角三角形，只要证明∠DFP＝90°，∠DPF＝∠PDF＝45°即可，根据直径所对的圆周角是90°和同弧所对的圆周角相等，可以证明∠DFP＝90°，∠DPF＝∠PDF＝45°，从而可以证明结论成立；
（2）①根据题意，可知分两种情况，然后利用分类讨论的方法，分别计算出相应的t的值即可，注意点P从A出发到B停止，t≤4÷2＝2；
②根据题意，画出相应的图形，然后利用三角形相似，勾股定理，即可求得t的值．
【详解】证明：（1）∵四边形ABCD是正方形，AC是对角线，
∴∠DAC＝45°，
∵在⊙O中，所对的圆周角是∠DAF和∠DPF，
∴∠DAF＝∠DPF，
∴∠DPF＝45°，
又∵DP是⊙O的直径，
∴∠DFP＝90°，
∴∠FDP＝∠DPF＝45°，
∴△DFP是等腰直角三角形；
（2）①当AE：EC＝1：2时，
∵AB∥CD，
∴∠DCE＝∠PAE，∠CDE＝∠APE，
∴△DCE∽△PAE，
∴，
∴，
解得，t＝1；
当AE：EC＝2：1时，
∵AB∥CD，
∴∠DCE＝∠PAE，∠CDE＝∠APE，
∴△DCE∽△PAE，
∴，
∴，
解得，t＝4，
∵点P从点A到B，t的最大值是4÷2＝2，
∴当t＝4时不合题意，舍去；
由上可得，当t为1时，点E恰好为AC的一个三等分点；
②如右图所示，
∵∠DPF＝90°，∠DPF＝∠OPF，
∴∠OPF＝90°，
∴∠DPA+∠QPB＝90°，
∵∠DPA+∠PDA＝90°，
∴∠PDA＝∠QPB，
∵点Q落在BC上，
∴∠DAP＝∠B＝90°，
∴△DAP∽△PBQ，
∴，
∵DA＝AB＝4，AP＝2t，∠DAP＝90°，
∴DP＝＝2，PB＝4﹣2t，
设PQ＝a，则PE＝a，DE＝DP﹣a＝2﹣a，
∵△AEP∽△CED，
∴，
即，
解得，a＝，
∴PQ＝，
∴，
解得，t1＝﹣﹣1（舍去），t2＝﹣1，
即t的值是﹣1．
【点睛】
此题主要考查四边形综合，解题的关键是熟知正方形的性质、圆周角定理、相似三角形的判定与性质.
24、这座灯塔的高度约为45m.
【分析】在Rt△ADC和Rt△BDC中，根据三角函数AD、BD就可以用CD表示出来，再根据就得到一个关于DC的方程，解方程即可．
【详解】解：如图，根据题意，，，，．
∵在中，，
∴．
∵在中，，
∴．
又，
∴．
∴．
答：这座灯塔的高度约为45m．
【点睛】
本题考查了解直角三角形的应用-----方向角的问题，列出关于CD的方程是解答本题的关键，结合航海中的实际问题，将解直角三角形的相关知识有机结合，体现了数学应用于实际生活的思想．
25、（1）见解析；（2）
【分析】（1）先根据已知条件证四边形ADCE是平行四边形，再加上∠ADC=90°，证平行四边形ADCE是矩形；
（2）根据，得到BD与AB的关系，通过解直角三角形，求AD长，则可求EC的值，在Rt△BDE中，利用勾股定理得BE.
【详解】（1）证明：∵AE // BC，CE // AD
∴ 四边形ADCE是平行四边形
∵AD ⊥BC，AB=AC
∴∠ADC=90°，
∴ 平行四边形ADCE是矩形
（2）解：连接DE,如图：
在Rt△ABD中，∠ADB =90°
∵
∴
∴设BD=x，AB=2x
∴AD=
∵AD=
∴x=2
∴BD=2
∵AB=AC，AD⊥BC
∴BC=2BD=4
∵矩形ADCE中，EC=AD=, BC=4
∴在Rt△BDE中，利用勾股定理得BE===
【点睛】
本题考查了平行四边形、矩形的判定与性质、矩形的判定、勾股定理、等腰三角形性质的应用，熟练掌握相关性质和定理是解决问题的关键．
26、（1）k≤9；（2）2
【分析】（1）根据判别式的意义得到Δ=(-6)2－4k=36－4k≥0，然后解不等式即可；
（2）根据根与系数的关系得到x1+x2=6，x1x2=k，再利用=3得到=3，得到满足条件的k的值．
【详解】（1）∵方程有两根
∴Δ=(-6)2－4k=36－4k≥0
∴k≤9；
（2）由已知可得，x1+x2=6，x1x2=k
∴+==3
∴=3
∴k=2＜9
∴当+=3时，k的值为2.
【点睛】
本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根时，．也考查了根的判别式．
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