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个人收集整理 勿做商业用途初一数学基础知识讲义第一讲 和绝对值有关的问题一、 知识结构框图:数二、 绝对值的意义：(1）几何意义：一般地，数轴上表示数a的点到原点的距离叫做数a的绝对值,记作a|。（2）代数意义：正数的绝对值是它的本身；负数的绝对值是它的相反数；零的绝对值是零. 也可以写成： 说明:（)|a|0即a|是一个非负数；（）a概念中蕴含分类讨论思想。三、 典型例题例1(数形结合思想）已知a、b、c在数轴上位置如图:则代数式 | a + | a+b + | ca - | bc 的值等于（ A ） A-3a B 2ca C2a2b D b解:| a + | a+b + | ca | b-c |=-a（a+b）+(ca)+b-c=3a分析：解绝对值的问题时,往往需要脱去绝对值符号,化成一般的有理数计算。脱去绝对值的符号时，必须先确定绝对值符号内各个数的正负性，再根据绝对值的代数意义脱去绝对值符号。这道例题运用了数形结合的数学思想，由a、b、c在数轴上的对应位置判断绝对值符号内数的符号，从而去掉绝对值符号，完成化简.例2已知：，且， 那么的值（ C ）A是正数B是负数C是零D不能确定符号解：由题意,x、y、z在数轴上的位置如图所示： 所以 分析：数与代数这一领域中数形结合的重要载体是数轴。这道例题中三个看似复杂的不等关系借助数轴直观、轻松的找到了x、y、z三个数的大小关系，为我们顺利化简铺平了道路。虽然例题中没有给出数轴，但我们应该有数形结合解决问题的意识.例3(分类讨论的思想）已知甲数的绝对值是乙数绝对值的3倍，且在数轴上表示这两数的点位于原点的两侧，两点之间的距离为8,求这两个数；若数轴上表示这两数的点位于原点同侧呢？分析：从题目中寻找关键的解题信息，“数轴上表示这两数的点位于原点的两侧”意味着甲乙两数符号相反,即一正一负。那么究竟谁是正数谁是负数，我们应该用分类讨论的数学思想解决这一问题.解：设甲数为x，乙数为y由题意得：， （1）数轴上表示这两数的点位于原点两侧：若x在原点左侧，y在原点右侧,即 x0，y0,则 4y=8 ，所以y=2 ,x= -6若x在原点右侧，y在原点左侧，即 x0，y0，则 -4y=8 ，所以y=2,x=6（2）数轴上表示这两数的点位于原点同侧：若x、y在原点左侧，即 x0，y0,y0,则 2y=8 ,所以y=4，x=12例4（整体的思想）方程 的解的个数是（ D )A1个 B2个 C3个 D无穷多个分析：这道题我们用整体的思想解决.将x-2008看成一个整体,问题即转化为求方程的解，利用绝对值的代数意义我们不难得到,负数和零的绝对值等于它的相反数，所以零和任意负数都是方程的解,即本题的答案为D. 例5（非负性）已知|ab2与|a1|互为相互数，试求下式的值分析:利用绝对值的非负性，我们可以得到：ab2|=|a1=0,解得：a=1，b=2于是 在上述分数连加求和的过程中,我们采用了裂项的方法,巧妙得出了最终的结果同学们可以再深入思考， 如果题目变成求 值，你有办法求解吗?有兴趣的同学可以在课下继续探究。例6（距离问题）观察下列每对数在数轴上的对应点间的距离 4与，3与5,与，与3. 并回答下列各题：（1）你能发现所得距离与这两个数的差的绝对值有什么关系吗?答：_相等 。(2）若数轴上的点A表示的数为x，点B表示的数为1，则A与B两点间的距离可以表示为 分析：点B表示的数为1，所以我们可以在数轴上找到点B所在的位置。那么点A呢？因为x可以表示任意有理数，所以点A可以位于数轴上的任意位置.那么，如何求出A与B两点间的距离呢？ 结合数轴，我们发现应分以下三种情况进行讨论。当x-1 分析： 同理表示数轴上x与-1之间的距离，表示数轴上x与4之间的距离。本题即求，当x是什么数时x与-1之间的距离加上x与4之间的距离会大于3。借助数轴，我们可以得到正确答案：x-1。说明：借助数轴可以使有关绝对值的问题转化为数轴上有关距离的问题,反之,有关数轴上的距离问题也可以转化为绝对值问题。这种相互转化在解决某些问题时可以带来方便。事实上， 表示的几何意义就是在数轴上表示数A与数B的点之间的距离。这是一个很有用的结论,我们正是利用这一结论并结合数轴的知识解决了（3)、(4）这两道难题。 四、 小结1理解绝对值的代数意义和几何意义以及绝对值的非负性2体会数形结合、分类讨论等重要的数学思想在解题中的应用第二讲：代数式的化简求值问题一、知识链接1 “代数式”是用运算符号把数字或表示数字的字母连结而成的式子。它包括整式、分式、二次根式等内容，是初中阶段同学们应该重点掌握的内容之一.2用具体的数值代替代数式中的字母所得的数值,叫做这个代数式的值。注：一般来说,代数式的值随着字母的取值的变化而变化3求代数式的值可以让我们从中体会简单的数学建模的好处，为以后学习方程、函数等知识打下基础。 二、典型例题例1若多项式的值与x无关，求的值。分析：多项式的值与x无关，即含x的项系数均为零因为所以 m=4将m=4代人，利用“整体思想”求代数式的值例2x=-2时,代数式的值为8,求当x=2时，代数式的值.分析: 因为当x=-2时， 得到,所以当x=2时,=例3当代数式的值为7时,求代数式的值.分析：观察两个代数式的系数由 得 ，利用方程同解原理，得 整体代人，代数式的求值问题是中考中的热点问题，它的运算技巧、解决问题的方法需要我们灵活掌握，整体代人的方法就是其中之一。例4 已知，求的值。分析：解法一（整体代人)：由 得 所以：解法二(降次）:方程作为刻画现实世界相等关系的数学模型，还具有降次的功能。由，得，所以: 解法三（降次、消元）:(消元、减项） 例5（实际应用）A和B两家公司都准备向社会招聘人才，两家公司招聘条件基本相同,只有工资待遇有如下差异:A公司，年薪一万元，每年加工龄工资200元；B公司，半年薪五千元,每半年加工龄工资50元。从收入的角度考虑,选择哪家公司有利？分析：分别列出第一年、第二年、第n年的实际收入（元）第一年：A公司 10000； B公司 5000+5050=10050第二年：A公司 10200; B公司 5100+5150=10250第n年:A公司 10000+200(n-1）； B公司:5000+100(n1)+5000+100(n-1)+50=10050+200(n1）由上可以看出B公司的年收入永远比A公司多50元,如不细心考察很可能选错。例6三个数a、b、c的积为负数，和为正数,且，则 的值是_ .解：因为abc0，所以a、b、c中只有一个是负数。不妨设a0,b0,c0则ab0时，即x, 5x-2=3， 5x=5, x=1 因为x=1符合大前提x，所以此时方程的解是x=1当5x2=0时,即x=， 得到矛盾等式0=3，所以此时方程无解当5x-20时，即x, 5x-2= 3，x= 因为x=符合大前提x1,所以此时方程无解当x1=0时,即x=1，0=-2+1，0 =-1，此时方程无解 当x10时，即x1，1-x=-2x+1,x=0因为x=0符合大前提x1，所以此时方程的解为x=0综上，方程的解为x=0三、小结1、体会方程思想在实际中的应用2、体会转化的方法，提升数学能力第四讲:图形的初步认识一、相关知识链接：1认识立体图形和平面图形我们常见的立体图形有长方体、正方体、球、圆柱、圆锥，此外，棱柱，棱锥也是常见的几何体。我们常见的平面图形有正方形、长方形、三角形、圆2 立体图形和平面图形关系立体图形问题常常转化为平面图形来研究，常常会采用下面的作法（1)画出立体图形的三视图立体图形的的三视图是指正视图（从正面看）、左视图（从左面看）、俯视图(从上面看）得到的三个平面图形。(2）立体图形的平面展开图常见立体图形的平面展开图圆柱、圆锥、三棱柱、三棱锥、正方体（共十一种）二、典型问题：（一）正方体的侧面展开图（共十一种）分类记忆：第一类，中间四连方，两侧各一个，共六种。第二类，中间三连方，两侧各有一、二个，共三种。第三类，中间二连方，两侧各有二个,只有一种。 第四类，两排各三个，只有一种。基本要求:1. 在右面的图形中是正方体的展开图的有（ C )（A)3种 （B）4种 (C)5种 (D）6种2下图中, 是正方体的展开图是( B ） A B C D3如图四个图形都是由6个大小相同的正方形组成，其中是正方体展开图的是（ D）A B C D123645较高要求：4下图可以沿线折叠成一个带数字的正方体，每三个带数字的面交于正方体的一个顶点，则相交于一个顶点的三个面上的数字之和最小是（ A ） A 7 B 8 C 9 D 10 5一个正方体的展开图如右图所示，每一个面上都写有一个自然数并且相对两个面所写的两个数之和相等,那么a+b-2c= （ B ）A40 B.38 C.36 D. 34分析： 由题意 8+a=b+4=c+25 所以 b=4+a c=a-17 所以 a+b2c=a+(4+a）2(a17)=4+34=386将如图所示的正方体沿某些棱展开后，能得到的图形是（ C ） A B C D7下图是某一立方体的侧面展开图，则该立方体是( D )ABCD 还原正方体,正确识别正方体的相对面。（二)常见立体图形的平面展开图8下列图形是四棱锥的展开图的是 （ C ) (A) （B） （C） （D）9下面是四个立体图形的展开图，则相应的立体图形依次是( A ）A正方体、圆柱、三棱柱、圆锥B.正方体、圆锥、三棱柱、圆柱C正方体、圆柱、三棱锥、圆锥D。正方体、圆柱、四棱柱、圆锥10下列几何体中是棱锥的是( B ） A。 B. C. D。 11如图是一个长方体的表面展开图，每个面上都标注了字母,请根据要求回答问题：(1）如果A面在长方体的底部，那么哪一个面会在上面？（2）若F面在前面，B面在左面，则哪一个面会在上面？（字母朝外)（3）若C面在右面,D面在后面，则哪一个面会在上面？(字母朝外）答案:（1)F ；（2）C，A（三）立体图形的三视图12如图，从正面看可看到的是（ C )13对右面物体的视图描绘错误的是 （ C ）14如图的几何体，左视图是（ B）15如图，是由几个相同的小正方体搭成的几何体的三种视图，则搭成这个俯视图左视图主视图几何体的小正方体的个数是 ( ）A3 B4 C5 D6 （四)新颖题型16. 正方体每一面不同的颜色对应着不同的数字,将四个这样的正方体如图拼成一个水平放置的长方体,那么长方体的下底面数字和为 。分析:正面黄，右面红,上面蓝，后面紫,下面白，左面绿 所以，从右到左,底面依次为：白、绿、黄、紫 数字和为：4+6+2+5=1717观察下列由棱长为 1的小正方体摆成的图形，寻找规律，如图所示共有1个小立方体,其中1个看得见，0个看不见；如图所示:共有8个小立方体,其中7个看得见,1个看不见；如图所示：共有27个小立方体,其中19个看得见，8个看不见(1）写出第个图中看不见的小立方体有 125 个;(2）猜想并写出第（n）个图形中看不见的小立方体的个数为_ (n1）3 _个。分析： 1 1=1 0=032 8=23 1=133 27=33 8=23 4 64=43 27=33 n n3 （n1) 3第五讲：线段和角一、知识结构图 二、典型问题:(一）数线段数角数三角形问题1、直线上有n个点，可以得到多少条线段？ 分析： 点 线段2 1 3 3 =1+2 4 6=1+2+3 5 10=1+2+3+4 6 15=1+2+3+4+5 n 1+2+3+ +（n-1）=问题2如图在AOB内部从O点引出两条射线OC、OD，则图中小于平角的角共有( D ）个 (A） 3 (B) 4 （C） 5 （D） 6拓展：1、 在AOB内部从O点引出n条射线图中小于平角的角共有多少个？ 射线 角 1 3 =1+2 2 6=1+2+3 3 10=1+2+3+4 n 1+2+3+ +(n+1）=类比：从O点引出n条射线图中小于平角的角共有多少个? 射线 角2 1 3 3 =1+2 4 6=1+2+3 5 10=1+2+3+4 n 1+2+3+ +（n1)=类比联想：如图，可以得到多少三角形？（二）与线段中点有关的问题 线段的中点定义：文字语言:若一个点把线段分成相等的两部分，那么这个点叫做线段的中点图形语言：几何语言： M是线段AB的中点 ,典型例题：1由下列条件一定能得到“P是线段AB的中点”的是( D )(A）AP=AB (B）AB2PB (C）APPB （D）APPB=AB 2若点B在直线AC上，下列表达式：；AB=BC；AC=2AB;AB+BC=AC其中能表示B是线段AC的中点的有（ A ）A1个 B2个 C3个 D4个3.如果点C在线段AB上,下列表达式AC=AB；AB=2BC；AC=BC；AC+BC=AB中， 能表示C是AB中点的有（ C ) A.1个 B。2个 C.3个 D。4个4已知线段MN，P是MN的中点，Q是PN的中点，R是MQ的中点,那么MR= _ MN分析：据题意画出图形设QN=x，则PQ=x,MP=2x，MQ=3x，所以,MR=x ，则 5如图所示，B、C是线段AD上任意两点，M是AB的中点，N是CD中点，若MN=a，BC=b，则线段AD的长是( ) A 2（ab) B 2a-b C a+b D a-b分析:不妨设CN=ND=x,AM=MB=y 因为MN=MB+BC+CN 所以a=x+y+b因为AD=AM+MN+ND所以AD=y+a+x=ab+a=2a-b(三)与角有关的问题1 已知：一条射线OA,若从点O再引两条射线OB、OC，使AOB=600，BOC=200，则AOC=_80或40_度（分类讨论)2 A、O、B共线，OM、ON分别为 AOC 、 BOC的平分线，猜想 MON的度数,试证明你的结论猜想：_90_证明:因为OM、ON分别为 AOC 、 BOC的平分线 所以MOC=AOC ,CON=COB因为MON=MOC+CON所以MON=AOC +COB=AOB=903如图,已知直线和相交于点，是直角,平分，求的度数分析：因为是直角, 所以EOF=56 因为平分 所以AOF=56 因为AOF=AOC+COF所以AOC=22因为直线和相交于点 所以=AOC=224如图,BO、CO分别平分ABC和ACB，（1)若A = 60,求O;（2)若A =100，O是多少？若A =120,O又是多少？（3)由（1）、（2）你又发现了什么规律?当A的度数发生变化后，你的结论仍成立吗？ （提示：三角形的内角和等于180）答案:（1)120；(2)140 、150(3)O=90+A5如图，O是直线AB上一点，OC、OD、OE是三条射线，则图中互补的角共有（ B )对 （A） 2 (B） 3 （C） 4 (D) 56互为余角的两个角（ B ）（A）只和位置有关 （B）只和数量有关 （C）和位置、数量都有关 （D）和位置、数量都无关7已知1、2互为补角，且12,则2的余角是（ C ）A。（12) B.1 C.(12) D。2分析：因为12=180,所以(12）=9090-2= （12）-2= （12）