资源描述
2022-2023学年九上数学期末模拟试卷
注意事项
1．考生要认真填写考场号和座位序号。
2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。
3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。
一、选择题(每小题3分,共30分)
1．已知2x=5y（y≠0），则下列比例式成立的是（ ）
A． B． C． D．
2．-4的相反数是（ ）
A． B． C．4 D．-4
3．在如图所示的象棋盘（各个小正方形的边长均相等）中，根据“马走日”的规则，“马”应落在下列哪个位置处,能使“马”、“车”、“炮”所在位置的格点构成的三角形与“帅”、“相”,“兵”所在位置的格点构成的三角形相似（ ）
A．①处 B．②处 C．③处 D．④处
4．在一个不透明的口袋中装有3个红球和2个白球，它们除颜色不同外，其余均相同．把它们搅匀后从中任意摸出1个球，则摸到红球的概率是（ ）
A． B． C． D．
5．如图，△ABC的边AC与⊙O相交于C、D两点，且经过圆心O，边AB与⊙O相切，切点为B．已知∠A=30°，则∠C的大小是（ ）
A．30° B．45° C．60° D．40°
6．如图：已知CD为⊙O的直径，过点D的弦DE∥OA，∠D＝50°，则∠C的度数是（ ）
A．25° B．40° C．30° D．50°
7．下列图形中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是 ( )
A． B． C． D．
8．在平面直角坐标系中，将抛物线向上平移1个单位后所得抛物线的解析式为（ ）
A． B． C． D．
9．若，则一次函数与反比例函数在同一坐标系数中的大致图象是（ ）
A． B．
C． D．
10．如图，点A、B、C都在⊙O上，若∠ABC＝60°，则∠AOC的度数是（ ）
A．100° B．110° C．120° D．130°
二、填空题(每小题3分,共24分)
11．某班级中有男生和女生各若干，如果随机抽取1人，抽到男生的概率是，那么抽到女生的概率是_____．
12．已知在反比例函数图象的任一分支上，都随的增大而增大，则的取值范围是______．
13．若关于x的一元二次方程x2﹣2kx+1-4k=0有两个相等的实数根，则代数式（k-2)2+2k(1-k)的值为______．
14．从甲、乙、丙、丁4名三好学生中随机抽取2名学生担任升旗手，则抽取的2名学生是甲和乙的概率为 ________．
15．阅读对话，解答问题：
分别用、表示小冬从小丽、小兵袋子中抽出的卡片上标有的数字，则在（，）的所有取值中使关于的一元二次方程有实数根的概率为_________．
16．如图，量角器外沿上有A、B两点，它们的读数分别是70°、40°，则∠1的度数为___度．
17．抛物线y＝﹣（x+）2﹣3的顶点坐标是_____．
18．如图,边长为2的正方形ABCD中心与半径为2的⊙O的圆心重合,E、F分别是AD、BA的延长与⊙O的交点,则图中阴影部分的面积是______.(结果保留)
三、解答题(共66分)
19．（10分）（1）若正整数、，满足，求、的值；
（2）已知如图，在中，，，点在边上移动（不与点，点重合），将沿着直线翻折，点落在射线上点处，当为一个含内角的直角三角形时，试求的长度．
20．（6分）如图，一次函数y1＝k1x+b（k1、b为常数，k1≠0）的图象与反比例函数y2＝（k2≠0）的图象交于点A（m，1）与点B（﹣1，﹣4）．
（1）求反比例函数与一次函数的解析式；
（2）根据图象说明，当x为何值时，k1x+b﹣＜0；
（3）若动点P是第一象限内双曲线上的点（不与点A重合），连接OP，过点P作y轴的平行线交直线AB于点C，连接OC，若△POC的面积为3，求点P的坐标．
21．（6分）用恰当的方法解下列方程．
（1）2x2﹣3x﹣1＝0
（2）x2+2＝2x
22．（8分）已知二次函数（m 为常数）．
（1）证明：不论 m 为何值，该函数的图像与 x 轴总有两个公共点；
（2）当 m 的值改变时，该函数的图像与 x 轴两个公共点之间的距离是否改变？若不变， 请求出距离；若改变，请说明理由．
23．（8分）已知，点P是等边三角形△ABC中一点，线段AP绕点A逆时针旋转60°到AQ，连接PQ、QC．
（1）求证：△BAP≌△CAQ．
（2）若PA＝3，PB＝4，∠APB＝150°，求PC的长度．
24．（8分）如图，点A在轴上，OA=6，将线段OA绕点O顺时针旋转120°至OB的位置．
（1）求点B的坐标；
（2）求经过点A、O、B的抛物线的解析式．
25．（10分）如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点，，的坐标分别，，，以为顶点的抛物线过点．动点从点出发，以每秒个单位的速度沿线段向点匀速运动，过点作轴，交对角线于点．设点运动的时间为（秒）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若分的面积为的两部分，求的值；
（3）若动点从出发的同时，点从出发，以每秒1个单位的速度沿线段向点匀速运动，点为线段上一点．若以，，，为顶点的四边形为菱形，求的值．
26．（10分）已知，如图，是的直径，平分交平点.过点的切线交的延长线于.求证:.
参考答案
一、选择题(每小题3分,共30分)
1、B
【解析】试题解析：∵2x=5y，
∴．
故选B．
2、C
【分析】根据相反数的定义即可求解.
【详解】-4的相反数是4，故选C.
【点晴】
此题主要考查相反数，解题的关键是熟知相反数的定义.
3、B
【分析】确定“帅”、“相”、“兵”所在位置的格点构成的三角形的三边的长，然后利用相似三角形的对应边的比相等确定第三个顶点的位置即可．
【详解】帅”、“相”、“兵”所在位置的格点构成的三角形的三边的长分别为；
“车”、“炮”之间的距离为1，“炮”②之间的距离为，“车”②之间的距离为2 ，
∵
∴马应该落在②的位置，
故选B
【点睛】
本题考查了相似三角形的知识，解题的关键是利用勾股定理求得三角形的各边的长，难度不大．
4、D
【分析】根据题意即从5个球中摸出一个球，概率为.
【详解】摸到红球的概率=，
故选：D.
【点睛】
此题考查事件的简单概率的求法，正确理解题意，明确可能发生的总次数及所求事件发生的次数是求概率的关键.
5、A
【解析】根据切线的性质由AB与⊙O相切得到OB⊥AB，则∠ABO=90°，利用∠A=30°得到∠AOB=60°，再根据三角形外角性质得∠AOB=∠C+∠OBC，由于∠C=∠OBC，所以∠C=∠AOB=30°．
【详解】解：连结OB，如图，
∵AB与⊙O相切，
∴OB⊥AB，
∴∠ABO=90°，
∵∠A=30°，
∴∠AOB=60°，
∵∠AOB=∠C+∠OBC，
而∠C=∠OBC，
∴∠C=∠AOB=30°．
故选A．
【点睛】
此题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径；以及圆周角定理：等弧所对的圆周角等于所对圆心角的一半．
6、A
【分析】根据DE∥OA证得∠AOD＝50°即可得到答案.
【详解】解：∵DE∥OA，∠D＝50°，
∴∠AOD＝∠D＝50°，
∴∠C＝∠AOD＝25°．
故选：A．
【点睛】
此题考查平行线的性质，同弧所对的圆周角与圆心角的关系，利用平行线证得∠AOD＝50°是解题的关键.
7、D
【分析】根据中心对称图形和轴对称图形的定义即可得解．
【详解】A、不是中心对称图形，也不是轴对称图形，此项错误
B、是中心对称图形，也是轴对称图形，此项错误
C、不是中心对称图形，是轴对称图形，此项错误
D、是中心对称图形，但不是轴对称图形，此项正确
故选：D．
【点睛】
本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．
8、B
【分析】根据抛物线的平移规律：括号里左加右减，括号外上加下减，即可得出结论．
【详解】解：将抛物线向上平移1个单位后所得抛物线的解析式为
故选B．
【点睛】
此题考查的是求抛物线平移后的解析式，掌握抛物线的平移规律：括号里左加右减，括号外上加下减，是解决此题的关键．
9、C
【分析】根据ab>0，可得a、b同号，结合一次函数及反比例函数的特点进行判断即可．
【详解】解：.A.根据一次函数可判断a>0，b<0，即ab<0，故不符合题意，
B. 根据反比例函数可判断ab<0，故不符合题意，
C. 根据一次函数可判断a<0，b<0，即ab>0，根据反比例函数可判断ab>0，故符合题意，
D.根据反比例函数可判断ab<0，故不符合题意．
故选：C．
【点睛】
本题考查了反比例函数的图象性质和一次函数函数的图象性质，要掌握它们的性质是解决问题的关键．
10、C
【分析】直接利用圆周角定理求解．
【详解】解：∵∠ABC和∠AOC所对的弧为，∠ABC=60°，
∴∠AOC=2∠ABC=2×60°=120°．
故选：C．
【点睛】
本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．
二、填空题(每小题3分,共24分)
11、
【分析】由于抽到男生的概率与抽到女生的概率之和为1，据此即可求出抽到女生的概率．
【详解】解：∵抽到男生的概率是，
∴抽到女生的概率是1-＝．
故答案为：．
【点睛】
此题考查的是求概率问题，掌握抽到男生和抽到女生的概率之和等于1是解决此题的关键．
12、
【分析】根据反比例函数的图象与性质即可求出k的范围．
【详解】解：由题意可知：，
∴，
故答案为：．
【点睛】
本题考查反比例函数的性质，解题的关键是熟练运用反比例函数的性质，本题属于基础题型．
13、
【分析】根据题意可得一元二次方程根的判别式为0，列出含k的等式，再将所求代数进行变形后整体代入求值即可.
【详解】解：∵一元二次方程x2﹣2kx+1-4k=0有两个相等的实数根，
∴ ,
整理得， ，
∴
当时，
故答案为：.
【点睛】
本题考查一元二次方程根的判别式与根个数之间的关系，根据根的个数确定根的判别式的符号是解答此题的关键.
14、
【分析】采用列举法求概率．
【详解】解：随机抽取的所有可能情况为：甲乙；甲丙；甲丁；乙丙；乙丁；丙丁六种情况，则符合条件的只有一种情况，则P（抽取的2名学生是甲和乙）=1÷6=．
故答案为：
【点睛】
本题考查概率的计算，题目比较简单．
15、．
【解析】试题分析：用列表法易得（a，b）所有情况,看使关于x的一元二次方程x3-ax+3b=3有实数根的情况占总情况的多少即可．
试题解析：（a，b）对应的表格为：
∵方程x3-ax+3b=3有实数根，
∴△=a3-8b≥3．
∴使a3-8b≥3的（a，b）有（3，3），（4，3），（4，3），
∴p（△≥3）=．
考点：3．列表法与树状图法；3．根的判别式．
16、15
【分析】圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．
【详解】解： ∵∠AOB=70°-40°=30°
∴∠1=∠AOB=15°
故答案为：15°．
【点睛】
本题考查圆周角定理．
17、（﹣，﹣3）
【分析】根据y＝a（x﹣h）2+k的顶点是（h，k），可得答案．
【详解】解：y＝﹣（x+）2﹣3的顶点坐标是（﹣，﹣3），
故答案为：（﹣，﹣3）．
【点睛】
本题考查了抛物线顶点坐标的问题，掌握抛物线顶点式解析式是解题的关键．
18、－1
【分析】延长DC，CB交⊙O于M，N，根据圆和正方形的面积公式即可得到结论．
【详解】解：延长DC，CB交⊙O于M，N，
则图中阴影部分的面积＝×（S圆O−S正方形ABCD）＝×（4π−4）＝π−1，
故答案为π−1．
【点睛】
本题考查了圆中阴影部分面积的计算，正方形的性质，正确的识别图形是解题的关键．
三、解答题(共66分)
19、（1）或；（2）或．
【分析】（1）根据平方差公式因式分解，根据题意可得或；
（2）根据翻折性质可证∠AEF=180°∠BEF =90°，分两种情况：①如图a，当∠EAF=30°时，设BD=x，根据勾股定理，即；②如图b，当∠AFE=30°时，设BD=x，根据勾股定理，，；
【详解】（1）解：∵>0，且x，y均为正整数，
∴与均为正整数，且>，与奇偶性相同．
又∵
∴或
解得：或．
（2）解：∵∠ACB=90°，AC=BC∴∠B=∠BAC=45°
又∵将△BDE沿着直线DE翻折，点B落在射线BC上点F处
∴∠BDE=∠EDF=90°，且△BDE≌△FDE
∴∠BED=∠DEF=45°，∠BEF=90°，BE=EF
∴∠AEF=180°∠BEF =90°
①如图a，当∠EAF=30°时，设BD=x，则：
BD=DF=DE=x，，，
∵∠EAF=30°，∴AF=，
在Rt△AEF中，，
∴，解得．
∴．
②如图b，当∠AFE=30°时，设BD=x，则：
同理①可得：，
∵∠AFE =30°，∴AF=
在Rt△AEF中，，
∴，解得．
∴．
综上所述，或．
【点睛】
考核知识点：因式分解运用，轴对称，勾股定理.分析翻折过程，分类讨论情况是关键；运用因式分解降次是要点.
20、（1）y1＝x﹣3；；（2）x＜﹣1或0＜x＜4；（3）点P的坐标为或（1，4）或（2，2）
【分析】（1）把B点坐标代入反比例函数解析式可求得k2的值，把点A（m，1）代入求得的反比例函数的解析式求得m，然后利用待定系数法即可求得一次函数的解析式；
（2）直接由A、B的坐标根据图象可求得答案；
（3）设点P的坐标为，则C（m，m﹣3），由△POC的面积为3，得到△POC的面积，求得m的值，即可求得P点的坐标．
【详解】解：（1）将B（﹣1，﹣4）代入得：k2＝4
∴反比例函数的解析式为，
将点A（m，1）代入y2得，解得m＝4，
∴A（4，1）
将A（4，1）、B（﹣1，﹣4）代入一次函数y1＝k1x+b得
解得k1＝1，b＝﹣3
∴一次函数的解析式为y1＝x﹣3；
（2）由图象可知：x＜﹣1或0＜x＜4时，k1x+b﹣＜0；
（3）如图：设点P的坐标为，则C（m，m﹣3）
∴，点O到直线PC的距离为m
∴△POC的面积＝，
解得：m＝5或﹣2或1或2，
又∵m＞0
∴m＝5或1或2，
∴点P的坐标为或（1，4）或（2，2）．
【点睛】
本题考查了一次函数和反比例函数的交点，待定系数法求一次函数和反比例函数的解析式，三角形面积，熟练掌握待定系数法是解题的关键．
21、（1）x＝；（2）
【分析】（1）利用公式法求解可得；
（2）利用因式分解法求解可得．
【详解】解：（1）∵a＝2，b＝﹣3，c＝﹣1，
∴△＝（﹣3）2﹣4×2×（﹣1）＝17＞0，
∴x＝；
（2）∵x2﹣2x+2＝0，
∴（x﹣）2＝0，
则．
【点睛】
本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．
22、（1）详见解析；（2）图像与轴两个公共点之间的距离为
【分析】（1）证明判别式△＞0即可证得；
（2）将二次函数表达式化简成交点式，得到函数与x轴交点，通过交点可以证明函数的图像与 x 轴两个公共点之间的距离为定值即可.
【详解】解：（1）证明：令, 得
∴ 此方程有两个不相等的实数根．
∴ 不论为何值，该函数的图像与轴总有两个公共点．
（2）
当时，
∴ 图像与轴两个公共点坐标为
∴ 图像与轴两个公共点之间的距离为.
【点睛】
本题考查了二次函数与x轴的交点，可以利用判别式△的符号进行判断，还涉及到因式分解.
23、（1）见解析；（2）1
【分析】（1）直接利用旋转的性质结合全等三角形的判定与性质得出答案；
（2）直接利用等边三角形的性质结合勾股定理即可得出答案．
【详解】（1）证明：∵线段AP绕点A逆时针旋转60°到AQ，
∴AP＝AQ，∠PAQ＝60°，
∴△APQ是等边三角形，∠PAC+∠CAQ＝60°，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠BAP+∠PAC＝60°，AB＝AC，
∴∠BAP＝∠CAQ，
在△BAP和△CAQ中，
，
∴△BAP≌△CAQ（SAS）；
（2）∵由（1）得△APQ是等边三角形，
∴AP＝PQ＝3，∠AQP＝60°，
∵∠APB＝110°，
∴∠PQC＝110°﹣60°＝90°，
∵PB＝QC，
∴QC＝4，
∴△PQC是直角三角形，
∴PC＝＝＝1．
【点睛】
此题主要考查了旋转的性质以及全等三角形的判定与性质和勾股定理等知识，正确应用等边三角形的性质是解题关键．
24、（1）点B的坐标是；（2）
【分析】（1）过点作轴，垂足为，则OA=OB=6，，解直角三角形即可；
（2）可设抛物线解析式为，将A、B坐标代入即可．
【详解】解：（1）如图，过点作轴，垂足为，则.
.
又∵OA=OB=6
∴
点的坐标是；
（2）抛物线过原点和点、，
可设抛物线解析式为.
将A（6，0），B代入，
得，
解得：，
此抛物线的解析式为：．
【点睛】
本题考查的知识点是旋转的性质、求抛物线解析式、解直角三角形，利用旋转的性质得出点B的坐标是解此题的关键．
25、（1）；（2）的值为或；（3）的值为或．
【分析】（1）运用待定系数法求解；
（2）根据已知，证，，可得或；
（3）分两种情况：当为菱形的对角线时：由点，的横坐标均为，可得．求直线的表达式为，再求N的纵坐标，得，根据菱形性质得，可得．在中，得．同理，当为菱形的边时：由菱形性质可得，．由于，所以．结合三角函数可得.
【详解】解：（1）因为，矩形的顶点，，的坐标分别，，，
所以A的坐标是（1,4），可设函数解析式为：
把代入可得，a=-1
所以，即．
（2）因为PE∥CD
所以可得．
由分的面积为的两部分，可得
所以，解得．
所以，的值为=（秒）．
或，解得．
所以，的值为．
综上所述，的值为或．
（3）当为菱形的对角线时：
由点，的横坐标均为，可得
．
设直线AC的解析式为，把A,C的坐标分别代入可得
解得
所以直线的表达式为．
将点的横坐标代入上式，得
．
即．
由菱形可得，．
可得．
在中，得．
解得，，t2=4（舍）．
当为菱形的边时：
由菱形性质可得，．
由于，
所以．
因为．
由，得
．
解得，，
综上所述，的值为或．
【点睛】
考核知识点：相似三角形，二次函数，三角函数.分类讨论，数形结合，运用菱形性质和相似三角形性质或三角函数定义构造方程，再求解是解题关键.
26、详见解析.
【分析】连接，由切线的性质可知∠ODE=90°，证OD∥AE即可解决问题；
【详解】连接.
是的切线，
，
，
，
，
平分，
，
，
，
，
，
.
【点睛】
本题考查切线的性质，平行线的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
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