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2024 年第 1 期(下)中学数学研究39手中有模 心中有型*几何实物模型融入立体几何教学的思考广西南宁市第三中学(530021)邹信武广州大学附属中学大学城校区(510006)董 琦摘要依据立体几何学习的特点,立体几何实物模型融入立体几何教学,是发展数学抽象、直观想象核心素养的需要,是实现教学公平的需要,是扫除立体几何学习的情感障碍的需要;根据立体几何实物模型融入原则,提出实物模型融入立体几何教学策略:(1)辨识几何体的直观感知;(2)依托定理推论的教学融入;(3)依托实际探究问题融入;(4)实物模型与信息化技术结合融入;(5)结合数学史上的实物模型融入.关键词 立体几何;实物模型;数学抽象;直观想象1 问题的提出立体几何是几何学的一个分支,是研究空间图形的形状、大小和位置关系的一门学科.立体几何初步 是新课程高中四条主线“几何与代数”中的板块内容,通过对基本立体图形和基本图形位置关系的学习,运用直观感知、操作确认、推理论证、度量计算等认识和探索空间图形的性质,建立空间观念1.普通高中数学课程标准(2020 年修订)(以下简称 标准)指出,“在教学中应提供丰富的实物模型或利用计算机软件呈现空间几何体,帮助学生认识空间几何体的结构特征,进一步掌握在平面上表示空间图形的方法和技能”1.目前,大量的信息化资源引入到教学中,以及多媒体、几何画板等信息技术的辅助,似乎给立体几何教学带来了更多直观;但真实的情况是,多媒体呈现的几何体依然是直观图(或者相似的 3D 图象),学生依然需要依据图象进行想象还原真实图形,这对很多学生来说是一个非常困难的事情.因此,与其这样的凭空想象,不如让学生直接观察真实实物模型,得到几何体的第一手信息,以这作为学习的起点,对立体几何学习不是帮助更大吗?对于立体几何实物模型,并没有特别明确的定义,本文中的立体几何实物模型包含以下几种:(1)客观实物.如书本、箱子、可乐罐和教室等;(2)抽象化实物.指可以抽象成几何元素的几何物体,如笔,桌面和地板;(3)空间几何体模型(教具).2 引入立体几何实物模型的必要性2.1 发展数学核心素养的需要2.1.1 发展数学抽象素养的需要数学抽象,是指舍去事物的一切物理属性,得到数学研究对象的思维过程.立体几何的抽象过程如图 1 所示,分为四个层次:客观事物(模型)直观图象文字表述符号刻画.解题目所给的已知条件、隐含条件、拓展条件等,将已知的信息与想要求解的目标建立起充分的联系.但是学生在对于“难题”的解决上,往往难以抓住“本质与关键信息”,这就要求教师要从更高的维度去理解题意与相关知识.可以从高等数学的视野出发剖析知识的本质、内涵与联系,抓住解题的关键.从而将这样的解题过程,转化为学生更够发展思维与创造才能的教学环节,从而落实数学核心素养,促进学生的全面发展.参考文献1 华东师范大学数学系.数学分析(第五版)上册 M.北京:高等教育出版社,2019.2 张昆,王颖超.数学解题教学:用一般思路引领具体操作以一道数列不等式高考题为例 J.教育研究与评论(中学教育教学),2022,(09):65-68.3 王尚志,保继光.普通高中数学教科书(选择性必修第二册)M.北京:北京师范大学出版社,2019:79-80.*基金项目:本文系南宁市“十四五”规划“品质课堂建设”专项课题“践行 五育融合 的高中数学高品质课堂之大单元项目式教学设计实践研究”(2022PZKT005)阶段性成果.40中学数学研究2024 年第 1 期(下)图 1认知心理学认为,通过数学多元表征学习数学内容,促进表征系统间的转译,更利于学生理解数学本质.从图中不难看出,实物化的几何体模型,是实现几何体数学抽象的“基础”.在现行教学中,越来越强调信息技术融合的数学课堂,虽然信息化手段展示生活中的几何实际图形,如土木建筑、机械设计、零件视图等等,但是信息技术投影出来的始终是“平面图形”,学生需要对“平面图形”进行“形象化转译”才能得到“实物意象”,进而完成空间图形的抽象.因此,在立体几何教学中,让学生能够真实接触到几何体实物,观察和感受几何体的内部结构特征,有助于使学生建立更稳固地图形理解,为后面在几何体上的度量计算和推理论证提供基础.2.1.2 发展直观想象素养的需要实物化的几何体模型,是发展直观想象的重要“途径”.直观想象主要体现有:建立形与数的联系,利用几何图形描述问题,借助几何直观理解问题,运用空间想象认识事物.高中立体几何的核心在度量,而度量的核心是长度与角度.几何体直观图是几何体的抽象图形,学生需要根据直观图的信息估计几何体的大小与位置以及其组成要素间的长度与角度等特征,这是学生学习立体几何的难点之一.借助几何体实物模型,对比其对应直观图,辨别几何体的空间结构特征,联想图形与实物之间的联系,进而几何体内长度与角度变成直观可测,降低了认知障碍,形成较强的直观感受,增强空间想象能力.2.2 实现教学公平的需要立体几何的学习依赖于生活经验,学生的生活经历与经验各不相同,男女生之间在概念理解、图形表示、符号语言叙述及辩证推理上有较大差异.因此,与其它板块知识不同,学生在学习 立体几何初步 时,几何图形认知基础参差不齐,教师应提供一个共性化的平台,满足不同水平层次学生的需要,帮助学生完成把客观世界数学化的抽象过程.通过实物化模型,关注所有学生的认知基础,帮助缺乏生活经验的学生顺利完成立体几何的数学抽象,并增强空间想象能力,保障教学上的公平.2.3 扫除立体几何学习的情感障碍的需要在立体几何学习中,许多同学都存在或者出现过兴趣不足、畏难情绪和学习主动性不强等情感障碍.由于立体几何的图形抽象性和论证严谨性,容易使学生感觉内容枯燥,进而产生厌学情绪.教学中,教师可以引导学生制作立体几何实物模型,并设计以模型为基础的几何探究活动,让立体几何实物模型成为生生之间,师生交流的媒介,进而增强学生在几何学习中参与度和活跃度.3 立体几何实物模型融入策略3.1 立体几何实物模型融入原则根据立体几何教学和实物模型的特点,立体几何实物模型融入教学中应满足以下几个原则:(1)辅助性原则.引入立体几何实物模型的目的是帮助学生理解某一概念、定理或者空间位置关系.(2)问题及探究性原则.立体实物模型的引入,应该在某一探究问题情境中,或者是它本身承载着“问题”,或者需要借助它解决“问题”.(3)可操作性原则.引入的立体几何实物模型,应围绕教学目的,符合学生的认知能力和行为能力,是切实可行的操作.(4)共生性原则.立体几何实物模型的引入,通常与信息技术手段相结合,伴随着图形语言、文字语言及符号语言等几种语言系统的相互转译过程.(5)趣味及互动性原则.通过引入立体几何实物模型,激发学生学习兴趣,把学生吸引到数学活动中,并且成为生生、师生间沟通交流的媒介.3.2 立体几何实物模型融入策略3.2.1 辨识几何体的直观感知立体几何实物模型,最基本的功能就是展示几何体实物,帮助学生实现客观实物向几何图形及符号表述的抽象过程.教学中,教师利用实物模型的直观性,引导学生观察实物模型,从整体到局部,明确立体几何的研究对象,发展直观想象核心素养.在立体几何的教学中,定义、定理及性质等的引入通常可以以实物模型为基础,帮助学生获取直观感受,再将其一般化.案例 1以苏教版 普通高中教科书数学必修第二册13.1“基本立体图形”中的棱柱、棱锥和棱台的教学为例,可以开展以下几个探究活动:探究 1:教师将事先准备好的奶茶杯、纸箱、篮球、电灯、灯罩、魔方等实物,分散发给部分同学,每人一件(也可以提前让同学们自己准备,每人一件),请同学们观察自己手上及周边同学的物品形状,找到它们的相似点.请认为手上物品2024 年第 1 期(下)中学数学研究41相似的同学拿着物品站到一起,并选取一个同学解释你们站一起的原因.探究 2:(上课前布置同桌间用小木棍制作两个全等多边形(可以在通用技术课上制作),准备一些细绳)请同学们用相同长度的绳子绑在两个多边形的各个角的顶点上,将绳子绷直,就形成了一个几何体,随着两个多边形的移动,就会形成很多形状各异的多面体,请同学们观察手上几何体,你能发现某些特殊的几何体吗?探究 3:我们懂得了棱柱的定义,请同学们把自己手上的几何体摆放成棱柱,观察自己手上的棱柱和身边的同学手上的棱柱,你能找到它们在形状和位置上的相似与不同吗?探究 4:把连接多边形的绳子束成一点,我们手头上就形成了一个棱锥,类比研究棱柱的研究方法,我们应该怎样观察棱锥呢?研究它的什么地方呢?你有什么结论?探究 5:用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥,底面与截面之间那部分几何体叫棱台,请同学们观察手上的棱锥,被平面截取后,请思考棱台结构上有什么特征?探究 6:利用手上的多边形和绳子,请把它们变换成长方体、棱锥、棱柱、棱台、直棱柱,四面体、平行六面体,并归纳它们之间的关系,请用 Venn 图表示出来.设计意图相比直接告诉学生各种多面体的定义,通过上述 6 个探究,引导学生从客观世界抽象出空间几何体,并通过观察、分析和归纳几何体的形状、结构特征和组成元素之间关系等共性特征,进而概括出相同多面体的结构特征,这个过程更生动活泼,更能体现新课程的“三会”思想.而在这个过程中,实物模型作为课堂教学推进的媒介,在发展学生数学抽象、直观想象等数学核心素养起到了重要作用.3.2.2 依托定理推论的教学融入按 标准 要求,空间点、直线、平面位置关系的定义,基本事实 14 和四个判定定理(直线与平面平行,平面与平面平行,直线与平面垂直,平面与平面垂直)都是通过借助长方体,直观感知,抽象并归纳而得到.在教学过程中,如何使学生是否感知并确信这些定义、基本事实及判定定理,是教学设计的重点和难点,突破这一重难点的关键,是教学中提供丰富的实例引起学生在生活经验的共鸣.课堂中引入恰当的实物模型,正是促使学生从生活经验中提取空间关系的重要渠道.案例 2在“直线与平面垂直”教学中,引入下列几个探究活动:探究1:请同学们观察手中的长方体,与平面A1B1C1D1平行的直线有哪些?请说出原因.请观察侧棱 AA1与平面A1B1C1D1的关系.探究 2:在生活中,地面上有许多笔直或竖直的形象(多媒体上投影斜耸立的高楼、斜拉桥的桥塔和广场上旗杆等影像).我们想研究它们这样的关系,那我们应该从哪里入手?探究 3:请一位同学把一支铅笔树立在桌面上,另外一位同学打开小手电照向笔杆,移动小手电,请同学们观察和归纳笔杆的影子与笔杆的关系.探究 4:我们归纳了直线与平面垂直的定义,大家观察这个圆锥模型,请问:圆锥的轴与地面是什么关系?为什么?设计意图探究 1 依托长方体,回顾直线与平面平行的判定方法,使学生意识到线面到线线降维处理的方法,与此同时,通过侧棱与底面的关系,感知直线与平面的垂直关系,并初步了解直线与平面垂直时与平面内部分直线垂直的事实.探究 2 通过生活中与地面垂直的实例,加深对线面垂直的感知,并思考如何确定直线与平面垂直的关系,进得研究对象是直线与平面内直线的关系.探究 3 是对教材中探究的改进,实际教学中,垂直关系是学生立体几何学习最大障碍之一,影子与旗杆垂直看似简单的关系其实相当部分学生是无法感知确信.因此,通过实物实验,观察得到影子与笔杆垂直,再根据异面直线垂直的定义得到笔杆与平面内的所有直线都垂直,并尝试将用图形语言、文字语言和符号语言表述.探究 4 是得出定义后的简单应用,通过一个实例再次体会和确认直线与平面垂直的定义.李善良教授认为,概念的学习会经历表象意象本质定义辨析应用等几个阶段.这 4 个探究正是根据这一个过程,依循学生的认知规律,借助实物模型,逐步地发现、感知、确认、提炼、归纳与应用的过程.3.2.3 依托实际探究问题融入史宁中教授指出,“学生思考数学问题的思维方式、数学品格的养成与学生经历的数学活动程度有关,学生只有亲身经历数学化活动,才能真正形成数学核心素养”2.立体几何的探究活动,可以利用空间几何体作为载体,设置恰当的问题情境,通过观察几何体的位置关系和形态变化,引导学生对空间几何体的形状、结构、元素间的位置关系和数量关系进行辨别、分析、归纳、猜想和论证,积累数学活动经验,进而培养学生的几何直观和空间想象力,发展学生的数学核心素养.案例 3 标准 中案例 11:正方体中的截面问题1探究 1:截面是指用一个平面去截一个几何体得到的平面图形,叫截面.如图 2,用一个平面截正方体,就会得到一个截面,图中的截面图像是三角形.随着平面位置不一样,截面42中学数学研究2024 年第 1 期(下)图形也不相同,你能设计一个观察这个截面图形的实验吗?探究 2:我们可以通过在透明的正方体盒子中注入有颜色的水,观察不同摆放位置、不同水量时的液体表面的形状,得到截面的图形的形状.请同学们利用手上的模具和水,思考以下问题:图 2问题组 1:(1)随着水量和不同摆放位置,液体表面形状可以是什么图形?并画出它们的几何图形.(2)形成的每种图形又可以分成几类不同特殊图形?请说明原因.问题组 2:(1)是否存在直角三角形?请说明理由.那钝角三角形呢?(2)是否存在直角梯形?请说明理由.(3)是否存在正五边形?请说明理由.(4)是否存在正六边形?请说明理由.(5)是否存在七边形或者边数更多的多边形?请说明理由.3.2.4 实物模型与信息化技术结合融入实物模型的引入,并不是舍弃信息化教学手段,而是二者相辅相成,发挥各自的优势.信息化的教学手段,在呈现几何体动态变化及几何体分解等有较大的优势,教学中因根据教学需要,综合各类教育技术手段,呈现数学知识.案例 4 祖暅原理与柱体、锥体的体积探究 1:请同学们在稿纸上画两条平行线,用沾了颜料的笔刷,保持笔刷与直线平行,拖动笔头,保持笔与直线平行,从一条画到另外一条平行线,请同学们相互比较,看看得到的图形有什么共同点?并说出理由.探究 2:把刚刚得到的结论类比到空间,就是夹在两个平行平面之间的两个几何体,被平行于这两个平面的任意平面所截,截得的两个截面的面积总相等,那么这两个几何体的体积相等.那么这个结论是否成立呢?我们可以设计个实验检验它.思考 1:在讲台上放了一沓 A4 纸,它就组成了一个几何体,我们改变一下它的形状,得到了另一个几何体,它们的体积发生了什么变化?思考 2:请同学们观察,教师使用 GeoGebra 软件演示,平面 上放着底面积都等于 的矩形、圆和六边形边形,他们的高都是 5 的一个长方体、一个圆柱和棱柱,教师演示三个几何体被与平面 平行的平面 所截截面的面积及三个几何体的体积.设计意图:利用实物与信息技术,从平面到空间,学生经历操作、提炼、猜想、类比等思维活动,最终形成对祖暅原理的主观确认.3.2.5 结合数学史上的实物模型融入近年来,数学史与数学教育(HPM)是一个热门研究方向.汪晓勤教授在西方有关研究的基础上,结合中国实践背景,将数学史的教育价值分为“知识之谐”、“方法之美”、“探究之乐”、“能力之助”、“文化之魅”和“德育之效”六个方面.在中国古代,几何学成就主要体现在几何图形面积计算和几何体的体积计算上,其中突出贡献者有刘徽、祖冲之和祖暅等.立体几何教学中,适当的插入古代几何体相关问题,如图3,既有助于完成立体几何教学任务,也能激发学生学习兴趣,增加民族自豪感.图 34 结语立体几何教学是高中数学重要教学内容之一,其本身就具有丰富的育人价值,是发展学生数学抽象、直观想象、逻辑推理等数学素养的优良载体.在数学教学中,教师充分开发和用好实物模型,“手中有模,心中有型”,搭建起学生从现实向抽象图形(语言)转换的桥梁,引导学生走好学习立体几何的重要一步.参考文献1 中华人民共和国教育部.普通高中数学课程标准(2017 年版)M.北京:人民教育出版社,2018,27,124.2 孔凡哲.史宁中.中国学生发展的数学核心素养概念界定及养成途径 J.教育科学研究,2017(06):5-11.