齐型空间上加权Besov空间与Triebel-Lizorkin空间的Tb定理.pdf

浙江科技学院学报,第 卷第期,年月J o u r n a l o fZ h e j i a n gU n i v e r s i t yo fS c i e n c ea n dT e c h n o l o g yV o l N o ,F e b d o i:/j i s s n 收稿日期:基金项目:国家自然科学基金项目();浙江省自然科学基金项目(L Q A )通信作者:郑涛涛(),男,江西省上饶人,副教授,博士,主要从事调和分析及统计分析研究.E m a i l:z h e n g t a o z u s t e d u c n.齐型空间上加权B e s o v空间与T r i e b e l L i z o r k i n空间的T b定理刘金瑞,郑涛涛,肖燕梅(浙江科技大学 理学院,杭州 )摘要:【目的】齐型空间自然地包含了欧氏空间RRn、光滑紧R i e m a n n流形及L i p s c h i t z区域的边界等,拟在齐型空间上建立奇异积 分算 子在 加权B e s o v空 间与T r i e b e l L i z o r k i n空 间上 有界 的T b定 理.【方法】通过 离散C a l d e r n再生公式和几乎正交估计建立加权B e s o v空间与加权T r i e b e l L i z o r k i n空间的P l a n c h e r e l P l y a特征刻画,以保证函数空间的范数独立于恒等逼近的选取.【结果】获得了齐型空间上C a l d e r n Z y g m u n d奇异积分算子在加权B e s o v空间及T r i e b e l L i z o r k i n空间上有界的充分条件.【结论】将欧氏空间上的C a l d e r n Z y g m u n d奇异积分理论延拓到更广的齐型空间上,为奇异积分算子在函数空间上有界提供了判定方法.关键词:加权B e s o v空间;加权T r i e b e l L i z o r k i n空间;P l a n c h e r e l P l y a特征刻画;仿增长函数;T b定理中图分类号:O 文献标志码:A文章编号:()T bt h e o r e mf o rw e i g h t e dB e s o vs p a c e sa n dT r i e b e l L i z o r k i ns p a c e so nh o m o g e n e o u s s p a c e sL I UJ i n r u i,Z HE NGT a o t a o,X I AOY a n m e i(S c h o o l o fS c i e n c e,Z h e j i a n gU n i v e r s i t yo fS c i e n c ea n dT e c h n o l o g y,H a n g z h o u ,Z h e j i a n g,C h i n a)A b s t r a c t:O b j e c t i v eH o m o g e n e o u s s p a c e sn a t u r a l l yc o n t a i nE u c l i d e a ns p a c e sRRn,s m o o t ht i g h tR i e m a n nm a n i f o l d s,a n db o u n d a r i e so fL i p s c h i t zr e g i o n s,e t c I t i si m p e r a t i v et oe s t a b l i s ho nh o m o g e n e o u ss p a c e s t h eT bt h e o r e mt h a ts i n g u l a r i n t e g r a lo p e r a t o r sa r eb o u n d e do nw e i g h t e dB e s o vs p a c e sa n dT r i e b e l L i z o r k i ns p a c e s M e t h o dP l a n c h e r e l P l y af e a t u r ec h a r a c t e r i z a t i o n so fw e i g h t e dB e s o vs p a c e sa n dw e i g h t e dT r i e b e l L i z o r k i ns p a c e sw e r ee s t a b l i s h e db ym e a n so fd i s c r e t eC a l d e r nr e g e n e r a t i o nf o r m u l a sa n da l m o s to r t h o g o n a le s t i m a t i o nt oe n s u r et h a tt h en u m b e r o f p a r a d i g m s i n t h e f u n c t i o n s p a c e w a s c h o s e n i n d e p e n d e n t o f t h e c o n s t a n ta p p r o x i m a t i o n R e s u l tS u f f i c i e n tc o n d i t i o n sa r e o b t a i n e df o r C a l d e r n Z y g m u n d s i n g u l a ri n t e g r a l o p e r a t o r so nh o m o g e n e o u s s p a c e s t ob eb o u n d e do nw e i g h t e dB e s o vs p a c e s a sw e l l a so nT r i e b e l L i z o r k i ns p a c e s C o n c l u s i o nE x t e n d i n gt h e C a l d e r n Z y g m u n dt h e o r y o fs i n g u l a ri n t e g r a l so nE u c l i d e a ns p a c e st oaw i d e rr a n g eo fh o m o g e n e o u ss p a c e sp r o v i d e sam e t h o df o rd e t e r m i n i n gt h a t s i n g u l a r i n t e g r a l o p e r a t o r sa r eb o u n d e do nf u n c t i o ns p a c e s K e y w o r d s:w e i g h t e dB e s o vs p a c e s;w e i g h t e dT r i e b e l L i z o r k i ns p a c e s;P l a n c h e r e l P l y af e a t u r ec h a r a c t e r i z a t i o n;p a r a a c c r e t i v e f u n c t i o n s;T bt h e o r e m在过去的几十年里,齐型空间上B e s o v和T r i e b e l L i z o r k i n空间中函数的性质和一些算子在该函数空间上有界性的相关研究得到了很大的发展,因为B e s o v和T r i e b e l L i z o r k i n空间提供了统一的框架去研究许多其他经典的函数空间,如Lp、Hp、S o b o l e v空间等.H a n等通过引入检测函数空间和相应分布并利用D a v i d等构造的恒等逼近,在齐型空间上建立了B e s o v和T r i e b e l L i z o r k i n空间,同时应用C a l d e r n Z y g m u n d算子理论及通过证明恒等逼近的核满足二阶差分条件,得到了C a l d e r n再生公式.在定义C a l d e r n Z y g m u n d算子时,除了要求其核满足一定的尺寸条件和光滑条件外,还要求它可以扩充为L有界的算子,因此对C a l d e r n Z y g m u n d算子的L有界性的研究是非常重要的,D a v i d等给出了这类算子的L有界性的判别准则,也就是著名的T 定理.之后D a v i d等将T 定理从欧氏空间推广到齐型空间.然而对于某些奇异积分算子,T 定理并不能直接应用,例如L i p s c h i t z曲线上的C a u c h y积分算子.若将T 定理中函数替换成有界复值函数b,对于几乎处处的x满足R eb(x),则可以证明L i p s c h i t z曲线上的C a u c h y积分算子是L有界的 .之后D e n g等在齐型空间上构造了与仿增长函数相关的B e s o v和T r i e b e l L i z o r k i n空间,并证明了此类空间的T b定理.另外L u等在欧氏空间RRn上利用L i t t l e w o o d P a l e y理论和离散C a l d e r n再生公式证明了奇异积分算子在加权B e s o v和T r i e b e l L i z o r k i n空间上的T 定理.综上,在齐型空间上有关奇异积分算子在加权B e s o v和T r i e b e l L i z o r k i n空间上有界的T b定理尚未建立.基于此,我们将在齐型空间上研究C a l d e r n Z y g m u n d奇异积分算子在加权B e s o v与T r i e b e l L i z o r k i n空间上的T b定理.预备知识为了说明研究的主要结果,我们首先回顾一些必要的定义.定义称(X,)为C o i f m a n与W e i s s意义下的齐型空间,如果是一个满足以下条件的拟度量:)(x,y)当 且 仅 当xy;)(x,y)(y,x);)对 任 意 的A,有(x,y)A(x,z)(z,y),且正则测度满足倍测度条件,即(B(x,r)C(B(x,r).()M a c a s等证明了拟度量可以被另一拟度量d替换,其中拟度量和d在X上诱导的拓扑是一致的,且(B(x,r)r.()其中对于r,B(x,r)yX,d(y,x)r,还存在常数C和.对于x,x,yX,d有如下的正则性条件:d(x,y)d(x,y)C d(x,x)d(x,y)d(x,y).()在本研究中,齐型空间(X,d,)特指测度满足式()和拟度量d满足式()的齐型空间.我们研究与仿增长函数相关的加权B e s o v空间和加权T r i e b e l L i z o r k i n空间的T b定理,首先回顾仿增长函数和权函数的定义.定义 有界复值函数b称为仿增长函数,若对任意的方体QX,存在正常数C和及子方体Q Q,使得(Q)(Q)和(Q)Q b(x)d(x)C.()浙江科技学院学报第 卷记Mb为对应的乘法算子,即Mbfb f.定义 设Ll o c(X)是X上的非负函数,则称是At(X)权,若存在一个常数C,使得对于每一个二进方体QX,s u pQ(QQ(x)d(x)(QQ(x)t d(x)t ,t;()M(x)C(x),t.()式()中:M为X上的H a r d y L i t t l e w o o d极大函数,在这种情况下,定义At(X).在此基础上为了定义与仿增长函数相关的加权B e s o v空间和加权T r i e b e l L i z o r k i n空间,我们需要引入与仿增长函数相关的检测函数和分布及恒等逼近的定义.定义 设,称函数f为以xX为中心,r为半径的(,)型检测函数,若f满足:)f(x)Cr(rd(x,x);()对于d(x,y)A(rd(x,x),有f(x)f(y)C(d(x,y)rd(x,x)r(rd(x,x);()对于所有的xX,有Xf(x)b(x)d(x).若f是以xX为中心,r为半径的(,)型检测函数,则记fGb(x,r,).f在Gb(x,r,)中的范数定义为fGb(x,r,)i n fC:式()和 式()成立.()记Gb(,)Gb(x,),容易得到当xX和r,fGb(x,r,)fGb(,).进一步,可以验证检验函数空间Gb(,)关于范数 Gb(,)是B a n a c h空间.令Gb(,)是在Gb(,)中的完备空间Gb(,),其中,.显然Gb(,)Gb(,),并且fGb(,),当且仅当fGb(,)(,)及存在fjjNNGb(,),使得ffjGb(,)(j).若fGb(,),定义fGb(,)fGb(,),显然Gb(,)是B a n a c h空间.对于上述fjjNN,还可得到fGb(,)l i mjfjGb(,).对偶空间(Gb(,)包含所有的线性泛函L:Gb(,)C,此线性泛函满足对所有的fGb(,),有L(f)C fGb(,).()对于某些gGb(,),定义b Gb(,)ffb g.()若fb Gb(,),则定义fb Gb(,)gGb(,).当f(bGb(,),gGb(,),通过b f,gf,b g定义b f(Gb(,),当且仅当b f(Gb(,),容易得到f(b Gb(,).与仿增长函数相关的恒等逼近定义如下:定义 线性算子序列SkbkZZ称为与仿增长函数相关的恒等逼近,若存在常数C,使得对所有的kZZ和所有的x,x,y,y X,Sk的核Sk(x,y)是XXC的函数且满足:)Sk(x,y)Ck(kd(x,y);()若d(x,x)A(kd(x,y),有第期刘金瑞,等:齐型空间上加权B e s o v空间与T r i e b e l L i z o r k i n空间的T b定理Sk(x,y)Sk(x,y)C(d(x,x)kd(x,y)k(kd(x,y);()若d(y,y)A(kd(x,y),有Sk(x,y)Sk(x,y)C(d(y,y)kd(x,y)k(kd(x,y);()若d(x,x)A(kd(x,y),且d(y,y)A(kd(x,y),有Sk(x,y)Sk(x,y)Sk(x,y)Sk(x,y)C(d(x,x)kd(x,y)(d(y,y)kd(x,y)k(kd(x,y);()对于所有的kZZ,有XSk(x,y)b(x)d(x)XSk(x,y)b(y)d(y).()现在我们来定义与仿增长函数相关的加权齐次B e s o v空间和加权齐次T r i e b e l L i z o r k i n空间.定义SkbkZZ如同定义所述,且DkSkSk,kNN,设t/()p,q,s,At(X),与仿增长函数相关的加权齐次B e s o v空间Bs,qp,b()和Bs,qp,b()定义如下:Bs,qp,b()f(b Gb(,):fBs,qp,b()kZZ(k sDkMb(f)Lp()qq;()Bs,qp,b()f(Gb(,):fBs,qp,b()kZZ(k sDk(f)Lp()qq.()设t/()p,q,s,At(X),与仿增长函数相关的加权齐次T r i e b e l L i z o r k i n空间Fs,qp,b()和Fs,qp,b()定义如下:Fs,qp,b()f(b Gb(,):fFs,qp,b()kZZ(k sDkMb(f)qqLp();()Fs,qp,b()f(Gb(,):fFs,qp,b()kZZ(k sDk(f)qqLp().()为了得到与仿增长函数相关的加权齐次B e s o v空间和加权齐次T r i e b e l L i z o r k i n空间的T b定理,需要给出齐型空间上齐次标准核C a l d e r n Z y g m u n d奇异积分算子及弱有界的定义.定义 称定义在(x,y)XX:xy上的连续复值函数K(x,y)为齐次标准核,若存在常数(,和C使得:)K(x,y)Cd(x,y);()若d(x,x)Ad(x,y),有K(x,y)K(x,y)Cd(x,x)d(x,y);()若d(y,y)Ad(x,y),有K(x,y)K(x,y)Cd(y,y)d(x,y).()用C()表示全体具有紧支集的连续函数f构成的集合,则C的范数定义如下:fC s u pxyf(x)f(y)d(x,y).()赋予C自然的拓扑,(C)是C的对偶空间.浙江科技学院学报第 卷定义 称连续线性算子T:b C(b C)为C a l d e r n Z y g m u n d奇异积分算子,若存在齐次标准核K,使得T b f,b gXXg(x)b(x)K(x,y)b(y)f(y)d(x)d(y).()式()中:f,gC且s u p pf s u p pg.为了介绍本研究的主要结果,我们需引入以下符号Cb,(X)C(X):X(y)b(y)d(y).尤其是对于所有的gCb,(X),我们定义T b,当且仅当T b,b g.同样对于所有的fCb,(X),我们定义Tb,当且仅当T b f,b.定义 称C a l d e r n Z y g m u n d奇异积分算子T具有弱有界性,记为T WB P,若存在常数(,和C,对于所有的xX使得T f,gC rfCgC.()式()中:f,gC,d i a m(s u p pf)r和d i a m(s u p pg)r.接下来阐述C h r i s t在文献 中给出的下述构造,它对齐型空间函数理论的发展起着关键的作用.引理 设X是齐型空间,则存在一个开子集QkX:kZZ,Qk,其中Qk是某个索引集,存在C,C使得:)对于每个固定的k,有(XQk),且若,则QkQk;)对于任意的,k,l,如果lk,则有QlQk或QlQk成立;)对于任意(k,)和lk,都有唯一的使得QkQl;)d i a m(Qk)Ck;)每一个Qk包含若干个球B(zk,Ck),其中zkX.事实上,Qk是以边长为k,中心为zk的二进方块,对于kZZ,l(l,l,ln)ZZn,用Qvk,l(v,Mn)来表示形如QkMn,l的全体分块,其中Mn是正整数,用yvk,l表示Qvk,l中的点.基于引理需引入如下的离散型C a l d e r n再生公式:引理 设SkbkZZ是 与 仿 增 长 函 数 相 关 的 恒 等 逼 近,令DkSkSk,则 存 在 函 数 系Dk(x,y)kZZ,使得对任意固定的yvk,lQvk,l,有f(x)kZZlZZnM nvDk(f)(yvk,l)Qvk,lb(x)Dk(y,x)b(y)d(y).()当fGb(,),级数按Lp(X)(p)范数及按Gb(,)范数收敛,其中,.当f(b Gb(,)时,级数按范数(b Gb(,)收敛,其中,.进一步,Dk(x,y)kZZ还满足下面的估计:对(,),其中是Sk的正则指数,存在常数C,使得Dk(x,y)Ck (kd(x,y).()当yy A(kd(x,y)时,Dk(x,y)Dk(x,y)C(d(y,y)kd(x,y)k (kd(x,y),()且XDk(x,y)b(y)d(y)XDk(x,y)b(x)d(x),()第期刘金瑞,等:齐型空间上加权B e s o v空间与T r i e b e l L i z o r k i n空间的T b定理对一切kZZ成立.主要结果及证明定理设s,tsp,q,At(X),t,奇 异 积 分 算 子T的 核 函 数K(x,y)满足式()、式()及式(),且T b,MbTMbWB P,则T是从Bs,qp,b()到Bs,qp,b()的有界算子.定理设s,t/(s)p,q,At(X),t,奇异积分算子T的核函数K(x,y)满足式()、式()及式(),且T b,MbTMbWB P,则T是从Fs,qp,b()到Fs,qp,b()的有界算子.在证明此定理之前,需建立与仿增长函数相关的加权B e s o v空间和加权T r i e b e l L i z o r k i n空间的P l a n c h e r e l P l y a特征刻画,以表明函数空间的范数独立于恒等逼近的选取.引理设SkkZZ,PkkZZ是恒等逼近,令DkSkSk,EkPkPk,若 s,t p,q,At(X),有kZZ(k slZZnMnvs u pzQvk,lDkMb(f)(z)Qvk,lLp()qqkZZ(k slZZnMnvi n fzQvk,lEkMb(f)(z)Qvk,lLp()qq;()kZZ(k slZZnMnvs u pzQvk,lDk(f)(z)Qvk,lLp()qqkZZ(k slZZnMnvi n fzQvk,lEk(f)(z)Qvk,lLp()qq.()引理当s以及tp,q,At(X)时,有kZZlZZnMnv(k ss u pzQvk,l|DkMb(f)(z)|Qvk,l)qqLp()kZZlZZnMnv(k si n fzQvk,l|EkMb(f)(z)|Qvk,l)qqLp();()kZZlZZnMnv(k ss u pzQvk,lDk(f)(z)Qvk,l)qqLp()kZZlZZnMnv(k si n fzQvk,lEk(f)(z)Qvk,l)qqLp().()在证明引理及引理之前,先回顾两个重要的引理:引理 设Dk,Ek 分别如引理与引理所述,对任意的(,)和x,yX,则存在常数C,使得Ek MbDk(x,y)Ckk (kk)(kk)d(x,y).()引理 设s,k,k ZZ且yv k,l Qv k,l,若/(s)rm i np,则存在一个仅依赖于r的常数C,使得浙江科技学院学报第 卷l ZZnMnv(kk)(kk)d(x,y)Dk(f)(yv k,l)C(kk)k(kk)rM(l ZZnMnv Dk(f)(yv k,l)Qv k,l)rr.()引理及引理证明.由引理及引理有DkMb(f)(z)Ck ZZl ZZnMnv Qv k,l DkMbEk(y,z)b(y)d(y)Ek Mb(f)(yv k,l)Ck ZZl ZZnMnv Qv k,l kk (kk)(kk)d(y,z)b(y)d(y)Ek Mb(f)(yv k,l).若/(s)rm i np,由引理有DkMb(f)(z)Ck ZZk kk (kk)k(kk)rM(l ZZnMnv Ek Mb(f)(yv k,l)Qv k,l)rr.考虑p和t/()p两种情形.当p时,由加权F e f f e r m a n S t e i n向量值极大不等式,M i n k o w s k i不等式,H l d e r不等式,以及(ab)nanbn(n)有kZZ(k slZZnMnvs u pzQvk,lDkMb(f)(z)Qvk,lLp()qqCkZZ(k slZZnMnvk ZZk kk (kk)k(kk)rlZZnMnv Ek Mb(f)(yv k,l)Qv k,l Qvk,lLp()qqCkZZ(k ZZ(kk)sk kk (kk)k(kk)rk sl ZZnMnv Ek Mb(f)(yv k,l)Qv k,l Lp()qqCkZZk ZZ(kk)sk kk (kk)k(kk)r)q(k slZZnMnv Ek Mb(f)(yv k,l)Qv k,l Lp()qqCk ZZ(k sl ZZnMnv Ek Mb(f)(yv k,l)Qv k,l Lp()qq.最后一个不等号的成立基于以下事实:s u pk kZZ(kk)sk kk (kk)k(kk)r)qC.当t/()p时,由引理、引理及引理有kZZ(k slZZnMnvs u pzQvk,lDkMb(f)(z)Qvk,lLp()qqCkZZ(k s(lZZnMnvDkMb(f)(z)Qvk,l)p(x)d(x)p)qqCkZZ(k s(k ZZk|kk|(kk)k(kk)rM(l ZZnMnv Ek Mb(f)(yv k,l)Qv k,l)rr)p(x)d(x)p)qq.由t/()p,用(ab)nanbn(n)及加权F e f f e r m a n S t e i n向量值极大不等式,有(k ZZk sk kk (kk)k(kk)rM(l ZZnMnv Ek Mb(f)(yv k,l)Qv k,l)rr)p(x)d(x)第期刘金瑞,等:齐型空间上加权B e s o v空间与T r i e b e l L i z o r k i n空间的T b定理Ck ZZ(kk)sk kk (kk)k(kk)r)pk s pM(lZZnMnv Ek Mb(f)(yv k,l)Qv k,l)rpr(x)d(x)Ck ZZ(kk)sk kk (kk)k(kk)r)pk s p(l ZZnMnv Ek Mb(f)(yv k,l)Qv k,l)p(x)d(x).由/p,用H l d e r不等式,有(Qv k,l(k ZZ(kk)sk kk (kk)k(kk)rk sM(l ZZnMnv Ek Mb(f)(yv k,l)Qv k,l)rr)p(x)d(x)pC(k ZZ(kk)sk kk (kk)k(kk)r)pk s p(l ZZnMnv Ek Mb(f)(yv k,l)Qv k,l)p(x)d(x)pC(k ZZ(kk)sk kk (kk)k(kk)r)p p)ppk ZZk s(l ZZnMnv Ek Mb(f)(yv k,l)Qv k,l)p(x)d(x)pCk ZZ(kk)sk kk (kk)k(kk)rk ZZk sl ZZnMnv Ek Mb(f)(yv k,l)Qv k,l Lp(),进而有kZZ(k slZZnMnvs u pzQvk,lDkMb(f)(z)Qvk,lLp()qqCkZZ(k ZZ(kk)sk kk (kk)k(kk)rk ZZk sl ZZnMnv Ek Mb(f)(yv k,l)Qv k,l Lp()qqCkZZk ZZ(kk)sk kk (kk)k(kk)r)qk ZZ(k slZZnMnv Ek Mb(f)(yv k,l)Qv k,lLp()qqCk ZZ(k sl ZZnMnv Ek Mb(f)(yv k,l)Qv k,l Lp()qq.最后一个不等号的成立基于以下事实:kZZk ZZ(kk)sk kk (kk)k(kk)r)qC.式()得证.有关式()、式()及式()的证明与其类似,在这省略了细节.接下来引入如下几乎正交估计的引理,这对本文主要定理的证明起着重要作用.引理 设DkkZZ如上所述,T如定义所述,DkkZZ对于k,k ZZ,x,yX,则有DkMbTMbDk(x,y)C(kk)(k k)(kk)(kk)d(x,y).()式()中:.定理证明.令fBs,qp,b(),则f(b Gb(,),通过引理、引理和引理,有DkMb(T f)(z)Ck ZZl ZZnMnv Qv k,l DkMbTMbEk(y,z)d(y)MbEk(f)(yv k,l)Ck ZZl ZZnMnv Qv k,l(kk)(kk)(kk)(kk)d(y,z)d(y)MbEk(f)(yv k,l).对于/(s)rm i np,使用引理的估计有浙江科技学院学报第 卷DkMb(T f)(z)Ck ZZk(|kk|)(kk)(kk)k(kk)rM(l ZZnMnv MbEk(f)(yv k,l)Qv k,l)rr.考虑p和t/(s)p两种情形.当p时,由加权F e f f e r m a n S t e i n向量值极大不等式、M i n k o w s k i不等式、H l d e r不等式,以及(ab)nanbn(n)可得:T fBs,qp,b()CkZZ(k slZZnMnvi n fzQvk,lDkMb(T f)(z)Qvk,lLp()qqCkZZ(k slZZnM nvk ZZk(kk)(kk)(kk)k(kk)rl ZZnM nv Ek(f)(yv k,l)Qv k,l Qvk,lLp()qqCkZZ(k sk ZZk(kk)(kk)(kk)k(kk)rl ZZnMnv Ek(f)(yv k,l)Qv k,l Lp()qqCkZZk ZZ(kk)sk(kk)(kk)(kk)k(kk)r)q(k sl ZZnMnv Ek(f)(yv k,l)Qv k,l Lp()qqCk ZZ(k sl ZZnMnv Ek(f)(yv k,l)Qv k,l Lp()qqC fBs,qp,b().最后一个不等号的成立基于以下事实:s u pk kZZ(kk)sk(|kk|)(kk)(kk)k(kk)r)qC.当t/(s)p时,有T fBs,qp,b()CkZZ(k slZZnMnvi n fzQvk,lDkMb(T f)(z)Qvk,lLp()qqCkZZ(k s(lZZnMnvDkMb(T f)(z)Qvk,l)p(x)d(x)p)qq.当t/(s)p时,用(ab)nanbn(n)及加权F e f f e r m a n S t e i n向量值极大不等式,有(lZZnMnvDkMb(T f)(z)Qvk,l)p(x)d(x)(lZZnMnvk ZZk(|kk|)(kk)(kk)k(kk)rM(l ZZnMnv MbEk(f)(yv k,l)Qv k,l)rrQvk,l)p(x)d(x)Ck ZZ(k(|kk|)(kk)(kk)k(kk)r)pM(l ZZnMnv MbEk(f)(yv k,l)Qv k,l)rpr(x)d(x)第期刘金瑞,等:齐型空间上加权B e s o v空间与T r i e b e l L i z o r k i n空间的T b定理Ck ZZ(k(|kk|)(kk)(kk)k(kk)r)p(lZZnMnv Ek(f)(yv k,l)Qv k,l)p(x)d(x).由/p,用H l d e r不等式,有(lZZnMnvk ZZk sk(|kk|)(kk)(kk)k(kk)rM(l ZZnMnv MbEk(f)(yv k,l)Qv k,l)rrQvk,l)p(x)d(x)pC(k ZZ(kk)sk(|kk|)(kk)(kk)k(kk)r)pk s p(l ZZnMnv Ek(f)(yv k,l)Qv k,l)p(x)d(x)pC(k ZZ(kk)sk(|kk|)(kk)(kk)k(kk)r)p p)ppk ZZk s(l ZZnMnv Ek(f)(yv k,l)Qv k,l)p(x)d(x)pC(k ZZ(kk)sk(|kk|)(kk)(kk)k(kk)r)p p)ppk ZZk s(l ZZnMnv Ek(f)(yv k,l)Qv k,l)p(x)d(x)pCk ZZ(kk)sk(|kk|)(kk)(kk)k(kk)rk ZZk sl ZZnMnv Ek(f)(yv k,l)Qv k,l Lp().进而有T fBs,qp,b()kZZ(k sDkMb(T f)(z)Lp()qqCkZZ(k ZZ(kk)sk(|kk|)(kk)(kk)k(kk)rk ZZk sl ZZnMnv Ek(f)(yv k,l)Qv k,l Lp()qqCkZZ(k ZZ(kk)sk(|kk|)(kk)(kk)k(kk)r)qk ZZ(k sl ZZnMnv Ek(f)(yv k,l)Qv k,l Lp()qqCk ZZ(k sl ZZnMnv Ek(f)(yv k,l)Qv k,l Lp()qqC fBs,qp,b().最后不等式的成立基于以下事实:kZZk ZZ(kk)sk(|kk|)(kk)(kk)k(kk)r)qC,定理得证.定理证明.令fFs,qp,b(),则f(b Gb(,),由M i n k o w s k i不等式,引理、引理、引理和引理,有浙江科技学院学报第 卷T fFs,qp,b()kZZ(k sDkMb(T f)(z)qqLp()CkZZ(k slZZnMnvk ZZl ZZnMnv Qv k,l DkMbTMbEk(y,z)d(y)MbEk(f)(yv k,l)Qvk,l)qqLp()CkZZ(k sk ZZk(|kk|)(kk)(kk)k(kk)rM(l ZZnMnv MbEk(f)(yv k,l)Qv k,l)rr)qqLp()CkZZk ZZ(k sk(|kk|)(kk)(kk)k(kk)r)qM(l ZZnMnv MbEk(f)(yv k,l)Qv k,l)rqrqLp().下面用加权F e f f e r m a n S t e i n向量值极大不等式,有T fFs,qp,b()kZZ(k sDkMb(T f)(z)qqLp()CkZZk ZZ(kk)sk(|kk|)(kk)(kk)k(kk)r)qk s q(l ZZnM nv Ek(f)(yv k,l)Qv k,l)qqLp()Ck ZZ(k sl ZZnM nv Ek(f)(yv k,l)Qv k,l)qqLp()C fFs,qp,b().最后一个不等式的成立基于以下事实:kZZk ZZ(kk)sk(kk)(kk)(kk)k(kk)r)qC和s u pk kZZ(kk)sk(kk)(kk)(kk)k(kk)r)qC.定理得证.参考文献:HANYS,S AWY E RET L i t t l e w o o d P a l e yt h e o r yo nt h es p a c e so fh o m o g e n o u s t y p ea n dc l a s s i c a l f u n c t i o ns p a c e sJM e m o i r so f t h eAm e r i c a nM a t h e m a t i c a lS o c i e t y,:D AV I D G,J OUR N JL,S EMME SS O p r a t e u e sd eC a l d e r n Z y g m u n d,f o n c t i o n sp a r a a c c r t i v e se t i n t e r p o l a t i o nJR e v i s t aM a t e m t i c a I b e r o a m e r i c a n a,():D AV I D G,J OUR N JLA b o u n d e d n e s sc r i t e r i o nf o rg e n e r a l i z e d C a l d e r n Z y g m u n do p e r a t o r sJ A n n a l so fM a t h e m a t i c s,():HANYS C a l d e r n t y p er e p r o d u c i n gf o r m u l aa n dt h eT bt h e o r e mJ R e v i s t aM a t e m t i c aI b e r o a m e r i c a n a,():ME Y E RY,C O I FMAN R R W a v e l e t s:C a l d e r n Z y g m u n da n d m u l t i l i n e a ro p e r a t o r sMC a m b r i d g e:C a m b r i d g eU n i v e r s i t yP r s i t yP r e s s,D E NGD G,YAN GDC S o m en e wB e s o va n dT r i e b e l L i z o r k i ns p a c e sa s s o c i a t e dw i t hp a r a a c c r e t i v ef u n