立足基础∙提升能力∙发展素养——2023年中考“数与式”专题命题分析.pdf

上半月（初中版）2024年第1期（总第301期）中考指南2023年全国各地区初中学业水平考试（以下统称“中考”）数学试卷中“数与式”试题的命制遵循义务教育数学课程标准（2022年版）（以下简称标准）的要求，在立足考查基本概念、基本性质、基本运算的前提下，凸显能力立意，强调对运算能力、推理能力和抽象能力等数学核心素养的考查.通过对2023年全国各地区中考数学试卷中涉及“数与式”的试题进行分析，从知识、技能、能力、素养四个方面对典型试题进行归纳与梳理，剖析试题特征，并提出复习教学建议.一、考查内容分析数与代数是初中数学知识体系的基础，数与式是代数的基本语言.2023年全国各地区中考对数与式的基本概念、基本性质、基本运算进行了全面考查.试题在考查基本概念的基础上，关注了对数与式的意义、基本性质的考查，强化了对运算能力、推理能力和抽象能力的要求；在考查基本运算的基础上，关注了对算法、算理的过程性考查，强化了对推理能力的要求；在考查数式通性的基础上，关注了与实际情境相结合，强化了对抽象能力和模型观念的要求；在考查运算一致性的基础上，关注了对规律探究、数学活动问题的设置，强化了对探究能力的要求；在考查知识综合性的基础上，关注了主题内外知识的融合，强化了对综合能力的要求.“数与式”内容在选择题和填空题中往往以考查单一知识点的方式呈现，如数与式的概念、表示方法、性质、简单运算等；在解答题中常对数与式的运算、规律性的探究、情境性的应用等进行考查.也有部分试题结合数与式的多个知识、跨学科知识、其他章节知识，如方程、不等式、函数等来综合考查学生的运算能力和模型观念.二、命题特点分析2023年全国各地区中考“数与式”试题体现出从立足基础 提升能力 发展素养2023年中考“数与式”专题命题分析付斌，张宗余（浙江省宁波市海曙外国语学校）摘要：通过对2023年全国各地区中考“数与式”相关试题命制思路进行研究与分析，梳理了立足基础知识、强化基本技能、提升解题能力、发展核心素养四个方面的命题特征，并在此基础上对“数与式”试题的命题提出凸显素养导向、考查关键能力、融合跨学科命题三个方面的思考，建议教师在复习过程中要回归教材、回归本质、回归理性.关键词：数与式；核心素养；命题分析中图分类号：G633.6文献标识码：A文章编号：1673-8284（2024）01-0016-09引用格式：付斌，张宗余.立足基础 提升能力 发展素养：2023年中考“数与式”专题命题分析 J.中国数学教育（初中版），2024（1），16-23，39.基金项目：2022年中国教育学会义务教育数学课程标准研究（初中）专项课题基于核心素养的学业质量标准与考试评价（22ZS111408ZB）.作者简介：付斌（1984），男，高级教师，主要从事初中数学课堂教学研究；张宗余（1976），男，高级教师，浙江省特级教师，主要从事中学数学课堂教学和命题研究.16上半月（初中版）2024年第1期（总第301期）中考指南关注基础知识的掌握到关注人的发展，从关注一般性问题的解决到关注探究能力的提升，从关注学科类问题情境的发生到关注真实类应用情境融合的特点.同时，关注数与式内容的整体性，坚持素养立意，凸显育人导向，对 标准 中提到的抽象能力、运算能力、几何直观、推理能力、模型观念、应用意识等几个方面都有涉及，较好地体现了中考的命题导向.1.立足基础知识，理解数式表达的联系性通过“数与式”内容的学习，学生需要掌握以下内容：感悟数是对数量的抽象，知道数轴是理解数的意义和数学表达的基础，知道绝对值是对数量大小和线段长度的表达，知道相反数是对数量相等且意义相反的数的表达，进而体会实数与数轴上的点一一对应的意义，理解式是用字母表示数的结果.相对于数与数之间的关系，用字母表示数更能体现数量关系一般化的特点.例1（福建卷）某仓库记账员为方便记账，将进货10件记作+10，那么出货5件应记作答案：-5.考查目标：理解负数的意义，会用正数和负数表示具体情境中具有相反意义的量.命题意图：此题规定“进货为正”，将进货10件记作+10，这里的“+”表示数的性质.这样，“出货为负”，出货5件便可以记作-5.此题能让学生感受数系扩充的必要性.命题评价：此题依托现实生活情境，考查学生对负数意义的理解，是命制与负数概念相关试题常用的方法.例2（安徽卷）-5的相反数是（）.（A）-5（B）-15（C）15（D）5答案：D.考查目标：会求实数的相反数.命题意图：从题面看是在选项中找出-5的相反数，实则选项中还蕴含了-5的倒数和倒数的相反数.学生在解题时要对各个概念有辨析能力，对各知识点了然于心，熟练掌握.命题评价：此类试题的命制从学生容易混淆的选项入手，在考查学生对多个概念掌握情况的同时考查学生的辨析能力.例3（甘肃白银卷）9的算术平方根是（）.（A）3（B）9（C）3（D）-3答案：C.考查目标：考查算术平方根的概念.命题意图：此题突出对平方根和算术平方根概念的考查.9的平方根是3，9的算术平方根是3.对概念的考查更能突出基础性，属于知识性立意试题.命题评价：解此类试题时，学生要对平方根、算术平方根、立方根的概念有清晰的辨别能力，以免因干扰选项的出现而选择错误.例4（内蒙古赤峰卷）如图1，数轴上表示实数7的点可能是（）.-2-1012345SRQP图1（A）P（B）Q（C）R（D）S答案：B考查目标：初步认识实数与数轴上的点具有一一对应关系，能用数轴上的点表示一些具体的实数，能用有理数估计一个无理数所处的大致范围.命题意图：数轴既可以表示有理数，也可以表示无理数.实数与数轴上的点是一一对应的.解此题时，需要先估算无理数所处的范围，再在数轴上找到数的对应位置.命题评价：数轴是数的一种表示形式.此类试题突出对基础知识和基本技能的考查，借助数轴渗透数形结合思想，同时结合实数的估算考查学生的运算能力和估算能力.例5（湖北宜昌卷）在日历上，某些数满足一定的规律.图2是某年8月份的日历，任意选择其中所示的含4个数字的方框部分，设右上角的数字为a，则下列叙述中正确的是（）.日5121926一6132027二7142128三18152229四29162330五310172431六4111825图2 17上半月（初中版）2024年第1期（总第301期）中考指南（A）左上角的数字为a+1（B）左下角的数字为a+7（C）右下角的数字为a+8（D）方框中4个位置的数相加，结果是4的倍数答案：D考查目标：能运用代数式表示具体问题中简单的数量关系.命题意图：借助字母的设定和对日历的观察来探寻4个具体位置的代数式表达.用字母a表示右上角的数字后，则可以依次表示出左上角、左下角、右下角的数字，以及方框中4个数字之和.命题评价：此题考查的是在具体情境下可以用字母和运算符号表示代数式，体现了应用性、抽象性和一般化的特点.例6（湖北十堰卷）用火柴棍拼成如图3所示的图案，其中第个图案由4个小等边三角形围成1个小菱形，第个图案由6个小等边三角形围成2个小菱形，若按此规律拼下去，则第n个图案需要火柴棍的根数为（用含n的式子表示）图3答案：6n+6考查目标：能运用代数式表示具体问题中简单的数量关系，体验用数学符号表示数量关系.命题意图：此题借助三角形和菱形来构建复杂图形.通过观察可知每两个相邻图形的变化情况，以此找寻到规律，并用符号进行表示，从而理解数与式的概念具有一致性.命题评价：解此类试题需要经历观察、思考、归纳的过程，用代数式表示出情境中蕴含的规律，考查学生的合情推理能力和符号意识.2023年中考类似的试题有安徽卷第18题、黑龙江绥化卷第21题、重庆A卷第7题等.2.强化基本技能，关注数式运算的一致性运算类试题主要考查有理数的加、减、乘、除、乘方运算，实数的开方运算，整式的合并同类项、平方差公式、完全平方式公式、去括号、因式分解，分式的加、减、乘、除、通分，等等.数有整数、分数、指数幂，式有整式、分式和根式，数与式有着类似的计数单位，因此它们之间有着类似的性质和运算规律.例7（湖南株洲卷）计算：()-432等于（）.（A）-6（B）6（C）-8（D）8答案：A考查目标：能熟练地对有理数进行加、减、乘、除运算.命题意图：在引入负数后，正有理数的运算法则和运算律同样适用于负有理数的运算，且原有的运算法则在新的数系中得以保持.命题评价：此题属于简单题.类似地，2023年中考湖南常德卷第2题是关于有理数运算中去括号法则的运用，山西卷第16题是关于实数的加、减、乘、除运算，等等.例8（内蒙古通辽卷）计算：13-2+tan45-()-102.答案：0.考查目标：此题考查有理数的负指数幂、特殊三角函数值和开方运算.理解相关的概念是解题的关键.命题意图：此题运算过程中涉及了更多的运算法则，包括实数的负指数幂运算、根式的化简和特殊三角函数值求解.在掌握相关概念的意义和运算规则的前提下，考查学生的基本运算能力.命题评价：类似地，2023年中考福建卷第17题、广东卷第16题、广东深圳卷第16题、河南卷第16题除考查上述知识点外，还涉及对绝对值的性质、零指数幂等知识的考查，充分展现了对学生运算能力的考查.例9（河南卷）化简：()x-2y2-x()x-4y答案：4y2.例10（内蒙古赤峰卷）化简4x+2+x-2的结果是（）.（A）1（B）x2x2-4（C）xx+2（D）x2x+2答案：D.18上半月（初中版）2024年第1期（总第301期）中考指南考查目标：例9和例10涉及的式的运算知识点分别为整式化简和分式化简，考查了学生的运算能力.命题意图：例9考查的是整式运算中的完全平方式、单项式乘多项式的运算法则，计算完结构性运算后类比数的运算进行合并同类项，体现数式运算的一致性.例10涉及整式和分式的综合化简，先将整式转化为分式，再利用同分母分式运算法则进行运算和化简，全面考查式的运算.命题评价：对整式和分式进行简单的加、减运算是代数式运算中常见的考查方式，符合标准对代数式内容考查的基本要求.2023年中考类似的试题有黑龙江绥化卷第17题、黑龙江龙东地区卷第1题、湖北天门卷第16题等.例 11（湖北宜昌卷）先化简，再求值：a2-4a+4a2-4a-2a2+2a+3，其中a=3-3.答案：原式=a+3.当a=3-3时，原式=3.考查目标：此题考查分式的概念、基本性质、约分与通分等知识.命题意图：解此题时，若将a=3-3直接代入代数式，转化为分数进行求解，会使计算变得相当烦琐.而类比分数的运算法则，先化简再求值便会体现出代数运算的优越性，化简后再代入数值，则凸显了代数运算的简便性.命题评价：将分式与整式的化简与代数式的求值进行重组，能体现数式运算的一致性的特点.在中考复习中要加强代数式综合运算的训练，注重代数式运算的基础性、综合性和严谨性的基本特点.2023 年中考类似的试题有湖北荆州卷第17题、湖南常德卷第19题等.3.渗透数学思想，提升解决问题的能力在数学学习和应用过程中，很多问题涉及整体思想、数形结合思想、分类讨论思想、归纳概括思想、数式通性思想.在解题过程中，若能较好地运用这些数学思想，则有助于提升运算能力、推理能力和迁移能力.例 12（山东济宁卷）已知实数 m 满足 m2-m-1=0，则2m3-3m2-m+9的值为答案：8.例13（湖北黄冈卷）图4是我国汉代的赵爽在注解周髀算经时给出的，人们称它为“赵爽弦图”.它是由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成的一个大正方形.设图中 AF=a，DF=b，连接 AE，BE，若ADE与BEH的面积相等，则b2a2+a2b2的值为图4BACDGFEH答案：3.考查目标：例12和例13重点考查整体思想.会选择适当的整体代入的方法求代数式的值是解题的关键.命题意图：对于例12和例13，在实施运算的过程中有多个数量或字母相互作用、相互制约.在求解过程中，解题路径多样，需要择优选用最佳路径.例12中没有直接给出m的值，而是给出一个关于m的方程.如果先求出方程中m的值再代入计算将会变得非常复杂，而采用先降次再整体代入的方式进行解答，则相对简便.例13以勾股定理为背景展现题目，实则通过已知条件“ADE与BEH的面积相等”建立a与b的关系式.求值方式有两种：一种是通过消元求解代数式的值，另一种是通过整体代入ba的值进行求解.命题评价：此类试题常常与代数式求值相结合.试题命制的落脚点在于对学生运算能力的考查.这两道试题呈现出了共同的求解特征，即运用整体代入的数学思想进行求解，既给运算带来简化和便利，也培养了学生的数学运算能力和推理能力.2023年中考类似的试题有四川凉山州卷第23题.另外，内蒙古赤峰卷第7题需要先将代数式运用乘法公式进行化简，再选择合适的整体进行代入，将代数式知识和整体思想方法结合进行考查.例14（山东枣庄卷）对于任意实数a，b，定义一种新运算：a b=a-b()a 2b，a+b-6()a 1，则称这个正整数为“智慧优数”.例如，16=52-32，16就是一个智慧优数，可以利用m2-n2=（m+n）（m-n）进行研究.若将智慧优数从小到大排列，则第3个智慧优数是，第23个智慧优数是答案：15，57.考查目标：例14和例15主要考查了新定义下代数式的值的求法.命题意图：例14定义了一种新运算，主要考查了有理数的运算，要求根据取值范围选择代数式，列代数式解方程.先将新定义算式中的字母替换为具体的数字，通过对具体数字的举例，让学生明确不同情况下应该选择哪个算式代入求解.随着学生对数的认知水平的提升，进一步培养学生的抽象能力，将具体的数转化为用字母表示的代数式.基于已有的认知经验去认识新的研究对象式.对代数式3x+2和x-1进行大小比较、分类讨论，进而对符合要求的代数式进行求解运算.例15考查新定义下智慧优数的计算和分类，根据m，n之间的不等关系，通过分类讨论，得出m，n之间不同的数量关系，得到不同组别的智慧优数，并对不同组别的智慧优数进行大小排列，得出答案.解此题的关键是分类讨论标准的得出.在研究问题时，常常需要通过分类讨论解决问题，这也是解决“数与式”试题时常用的数学思想.复习时，教师要引导学生逐步体会为什么要分类、如何分类、如何确定分类的标准，使学生在分类的过程中认识对象的特征，进而提升学生的数学运算能力和推理能力.命题评价：以上两道试题将代数式求值融入新定义中，这是考查新定义题型的常见方式.解答新定义运算类试题，关键是正确理解新定义运算的定义或规则，然后将其转化为常规的运算关系进行求解.如果学生在学习时对于从数到式的基础知识、基本技能和基本要领掌握牢固，且善于思辨，那么就会将研究思路转移到此类试题中.利用数式通性统一代数问题的解决过程，形成经验的积累，有助于让学生用看数的眼光看式、用算数的方式算式，进而发展学生的运算能力和迁移能力.在一份试卷中设置新定义试题，能提升试卷的新鲜感.类似地，2023年中考重庆A卷第18题新定义了四位数的“递减数”，要求通过递减数的概念特征分析求出满足条件的最大值4.融入多样情境，发展学生的数学核心素养以生活、生产、社会热点、学科融合、中国文化为背景的新情境应用问题成为近年中考命题的热点.这类问题具有取材新颖、立意巧妙、背景熟悉的特点.解决此类试题，要求学生通过阅读情境化信息，结合已学知识，经过独立思考对所获信息加工、迁移，转化为学科知识进行解答，突出数学知识的应用性，考查学生的阅读理解、数学建模和逻辑推理等能力，提高学生的数学核心素养，凸显立德树人育人导向.例16（广东卷）2023年5月28日，我国自主研发的C919国产大飞机商业首航取得圆满成功.C919可储存约186 000升燃油，将数据186 000用科学记数法表示为（）.（A）0.186 105（B）1.86 105（C）18.6 104（D）186 103答案：B.考查目标：会用科学记数法表示数.命题意图：用科学记数法表示大数，能让学生在感受数学知识广泛应用于社会生产、生活各方面的同时，感受到科学记数法给数学带来的简约之美，增强学生知识面的同时，激发学生对数学学习的兴趣和积极性.科学记数法的表示形式为 a 10n，确定 a()1|a 0，b 0（B）a 0，b”“”或“=”填空.）abAB0图7答案：0）的图象T与x轴相交于点A()-1，0和点B，与y轴相交于点C.（1）若点C的坐标为()0，-3，求二次函数的表达式；（2）若点E在图象T上，过点E作EF垂直于x轴，交直线BC于点F，当点F在线段BC上，且EF的最大值为34时，求二次函数的表达式.答案：（1）y=x2-2x-3；（2）y=13x2-23x-1.参考文献：1中华人民共和国教育部.义务教育数学课程标准（2022年版）M.北京：北京师范大学出版社，2022.2 史宁中，曹一鸣.义务教育数学课程标准（2022年版）解读 M.北京：北京师范大学出版社，2022.3刘金英.初中数学教学与评价的研究 M.沈阳：辽宁教育出版社，2020.的取值是解题的关键.8.将7张相同的小矩形纸片（如图8所示），按如图9所示的方式不重叠地放在矩形ABCD内，未被覆盖的部分恰好被分割为两个矩形，面积分别为S1，S2，已知小矩形纸片的长为a、宽为b，且a b（1）当a=7，b=2，AD=30时，求矩形ABCD的面积.（2）当AD=30时，试用含a，b的式子表示S1-S2的值.（3）若AB长度不变，AD变长，将这7张小矩形纸片还按照同样的方式放在新的矩形ABCD内，而S1-S2的值总保持不变，则a，b满足的关系是_BACDS2S1ab图9图8答案：（1）450.（2）120b-ab-30a.（3）a=4b.【评析】此题考查了整式的混合运算、列代数式.熟练掌握运算法则是解题的关键.参考文献：1中华人民共和国教育部.义务教育数学课程标准（2022年版）M.北京：北京师范大学出版社，2022.2金雯雯，张宗余.关注数式通性加强代数推理提升运算能力：2022年中考“数与式”专题命题分析 J.中国数学教育（初中版），2023（3）：14-23.3 章建跃.核心素养导向的初中数学教学变革：以“数与式”为例 J.中学数学教学参考（中旬），2023（1）：2-5，21.4张宗余.加强代数推理，寻找代数教学的理性回归：从四节“代数推理”展示课说起 J.中国数学教育（初中版），2022（11）：17-21.（上接第23页）39