函数的极值和最值(讲解).doc

(完整版)函数的极值和最值(讲解)
函数的极值和最值
【考纲要求】
1.掌握函数极值的定义。
2。了解函数的极值点的必要条件和充分条件.
3.会用导数求不超过三次的多项式函数的极大值和极小值
4。会求给定闭区间上函数的最值。
【知识网络】
函数极值的定义

函数极值点条件
函数的极值

求函数极值
函数的极值和最值

函数在闭区间上的最大值和最小值

【考点梳理】
要点一、函数的极值
函数的极值的定义
一般地,设函数在点及其附近有定义，
（1)若对于附近的所有点，都有，则是函数的一个极大值,记作
;
(2)若对附近的所有点，都有，则是函数的一个极小值,记作。
极大值与极小值统称极值.
在定义中，取得极值的点称为极值点，极值点是自变量的值,极值指的是函数值.
要点诠释：
求函数极值的的基本步骤：
①确定函数的定义域；
②求导数；
③求方程的根；
④检查在方程根左右的值的符号，如果左正右负,则f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正,则f(x)在这个根处取得极小值。(最好通过列表法)
要点二、函数的最值
1。函数的最大值与最小值定理
若函数在闭区间上连续，则在上必有最大值和最小值;在开区间内连续的函数不一定有最大值与最小值。如。
要点诠释:
①函数的最值点必在函数的极值点或者区间的端点处取得。
②函数的极值可以有多个，但最值只有一个.
2.通过导数求函数最值的的基本步骤:
若函数在闭区间有定义，在开区间内有导数，则求函数在上的最大值和最小值的步骤如下：
（1)求函数在内的导数；
（2)求方程在内的根;
（3）求在内使的所有点的函数值和在闭区间端点处的函数值，；
(4）比较上面所求的值，其中最大者为函数在闭区间上的最大值，最小者为函数在闭区间上的最小值。
【典型例题】
类型一：利用导数解决函数的极值等问题
例1。已知函数若函数处取得极值，试求的值，并求在点处的切线方程；
【解析】
因为处取得极值
所以
所以。
又
所以在点处的切线方程
即。
举一反三：
【变式1】设为实数,函数．
(1)求的单调区间与极值；
（2）求证：当且时，．
【解析】（1)由知．
令，得．于是当变化时，的变化情况如下表:

－
0
+

单调递减

单调递增
故的单调递减区间是,单调递增区间是，
处取得极小值,极小值为
（2）证明：设,
于是，
由（1)知当时，最小值为
于是对任意，都有，所以在R内单调递增．
于是当时，对任意，都有．
而,从而对任意．
即,故．
【变式2】函数的定义域为区间（a，b），导函数在(a,b）内的图如图所示，则函数在（a,b）内的极小值有（　　　)

A．1个 　　　　 B．2个 　　　C．3个 　　　　 D．4个
【答案】由极小值的定义，只有点B是函数的极小值点，故选A。
类型二：利用导数解决函数的最值问题
【高清课堂:函数的极值和最值394579 典型例题三】
例2.已知函数其中.
(1）若函数存在零点,求实数的取值范围；
（2）当时，求函数的单调区间；并确定此时是否存在最小值，如果存在,求出最小值，如果存在,请说明理由.
【解析】（1）因为函数存在零点,则有实根，
,即
（2）当时，函数定义域为

由，则
由，则
由，则
列表如下:

+
0
-
0
+

增
极大值
减
极小值
增
所以在，上单调增，在上单调减.
又知当时，；时，;
而,所以存在最小值.
举一反三：
【变式】已知函数()，.
（1)若曲线与曲线在它们的交点(1,）处具有公共切线，求的值;
(2)当时，求函数的单调区间，并求其在区间上的最大值.
【解析】（1)由为公共切点可得：，
则,,
，则，，
①
又，,
，即,
代入①式可得：。
(2）,
设
则,令,
解得：，;
,，
原函数在单调递增，在单调递减,在上单调递增
①若，即时，最大值为;
②若，即时,最大值为
③若时，即时，最大值为.
综上所述:当时，最大值为;当时,最大值为.
例3。设．
(Ⅰ)若在上存在单调递增区间，求的取值范围；
（Ⅱ）当时，在［1，4]上的最小值为，求在该区间上的最大值．
【解析】（Ⅰ）由．
当时，的最大值为;
令，得,
所以,当时，在上存在单调递增区间．
（Ⅱ）令,得两根，．
所以在，上单调递减，在上单调递增．
当时，有,
所以在[1，4］上的最大值为．
又,即，
所以在[1，4]上的最小值为，
得，，从而在［1,4］上的最大值为．
举一反三：
【变式1】设函数求的最小值；
【解析】函数f（x）的定义域为（0,1)

令
当时，， ∴在区间是减函数；
当时，， ∴在区间是增函数。
∴在时取得最小值且最小值为.
【变式2】已知函数f（x）＝x3＋ax2＋bx＋c在x＝－与x＝1时都取得极值
（1）求a、b的值与函数f（x）的单调区间
（2）若对xÎ〔－1，2〕，不等式f（x）<c2恒成立，求c的取值范围。
【解析】（1)f（x）＝x3＋ax2＋bx＋c，f¢（x)＝3x2＋2ax＋b
由f¢（)＝，f¢（1）＝3＋2a＋b＝0得a＝，b＝－2
f¢（x）＝3x2－x－2＝（3x＋2)（x－1)，
函数f(x）的单调区间如下表:
x
（－¥，－）
－
(－,1）
1
(1,＋¥）
f¢(x）
＋
0
－
0
＋
f(x)
­
极大值
¯
极小值
­
所以函数f（x）的递增区间是（－¥，－）与（1,＋¥)，递减区间是(－，1）
(2）f（x）＝x3－x2－2x＋c，xÎ〔－1,2〕，
当x＝－时，f（x）＝＋c为极大值，而f（2）＝2＋c，则f（2）＝2＋c为最大值。
要使f（x）<c2(xÎ〔－1,2〕)恒成立，只需c2>f（2）＝2＋c，
解得c<－1或c>2。
类型三：导数在研究实际问题中最值问题的应用
例4.某企业拟建造如图所示的容器（不计厚度，长度单位：米)，其中容器的中间为圆柱形，左右两端均为半球形,按照设计要求容器的体积为立方米,且．假设该容器的建造费用仅与其表面积有关．已知圆柱形部分每平方米建造费用为3千元，半球形部分每平方米建造费用为千元．设该容器的建造费用为千元．

（1)写出关于的函数表达式,并求该函数的定义域；
（2)求该容器的建造费用最小时的．
【解析】(1）设容器的容积为V，
由题意知，又,
故．
由于，因此．
所以建造费用，
因此,．
(2)由（1）得,．
由于，所以，
当时，．
令,则m＞0,
所以．
①当即时,
当时，;
当时,；
当时，，
所以是函数y的极小值点,也是最小值点．
②当即时，当时，函数单调递减，
所以r=2是函数y的最小值点，
综上所述，当时，建造费用最小时，
当时,建造费用最小时．

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