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一元一次方程讲义(钱伟杰)
一元一次方程讲义(钱伟杰)

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泽仕学堂教务处
泽仕学堂学科教师辅导讲义
学员姓名：钱伟杰 辅导科目：数学 年级：初一 学科教师：张先安
授课日期及时段

课 题
一元一次方程
重点、难点、考点
对于实际应用问题如何用一元一次方程求解的问题
学习目标
1.会解一元一次方程和方程组
2对实际应用问题能用一元一次方程求解
教学内容
01、一元一次方程的概念
1、等式：
①定义:用 表示 关系的式子叫做等式。
②下列各组中是等式的是（ ）
A、 B、 C、 D、
2、方程
①定义：含有 的等式叫做方程
②下列各组中是方程的是（ ）
A、 B、 C、 D、
3、一元一次方程
①定义：整理后，只含有 未知数，并且未知数的次数是 的方程，叫做一元一次方程。②下列各组中是一元一次方程的是( ）
A、 B、 C、 D、③下列各组中是一元一次方程的是（ ）
A、 B、
C、 D、
④已知关于的方程是一元一次方程，则=( )
A、±2 B、 2 C、 －2 D、 ±1
⑤已知是关于x的一元一次方程，则m=
02、方程的解
①定义：使方程左右两边的值 的未知数的值叫做方程的解，只含有 未知数的方程的解又称为方程的根.
②若是方程的解，则的值是( ）
A、－1 B、 5 C、1 D、－5
③下列方程中根是的是（ ）
A、 B、 C、 D、
④以下判断正确的是( ）
A、 是方程的解 B、是方程的解
C、是方程的解 D、 是方程的解
03、等式的性质
①等式的性质
等式两边加（或减）同一个数（或式子)结果仍相等。
等式两边乘同一个数,或除以同一个 的数，结果仍相等。
②已知等式ax=ay，下列变形不正确的是( ）.
A、x=y B、ax+1= ay+1 C、ay=ax D、3—ax=3-ay
③列说法正确的是（ )
A、等式两边都加上一个数或一个整式，所得结果仍是等式;
B、等式两边都乘以一个数，所得结果仍是等式；
C、等式两边都除以同一个数，所以结果仍是等式；
D、一个等式的左、右两边分别与另一个等式的左、右两边分别相加,所得结果仍是等式；
④在等式两边都除以 ,可得。这句话对吗？说出你的理由？
_________________________________________________________________
⑤在等式两边都除以，可得。这句话对吗？说出你的理由。_________________________________________________________
04、移项
①定义：把等式一边的某项 后移到另一边，叫做移项。
②通常常数项要移到方程的右边，未知项要移到方程的左边.
③移项时要变号：移正变 ,移负变 。
④下列一项正确的是( ）
A、若,则 B、若,则
C、若，则 D、若，则
05、系数化为1
①一元一次方程的最简形式：
②定义：当把方程化为最简形式后，方程两边都除以未知数的系数 ，得到方程的解 的过程叫做系数化为1.
③系数化为1时,未知数的系数做分母。
④下列系数化为步骤正确的是( )
A、由，得到 B、由,得到
C、由，得到 D、由,得到
06、去分母
去分母时要注意三点：①确定各分母的最小公倍数; ②不含分母的项也要乘以最小公倍数;③去掉分母后对分子加括号。
④解方程 时，去分母，得（ )
A、 B、
C、 D、
⑤方程去分母得( ）
　　A、2-5(3x-7）=—4(x+17） B、40—15x-35=-4x—68
　　C、40—5（3x-7）=-4x+68 D、40-5（3x—7）=-4(x+17)
⑥李明同学在解方程去分母时，方程右边的－1没有乘3，因而求得方程的解为，试求的值，并正确地解方程。

07、分母由小数化为整数
①将方程的分母化为整数，方程变为 。
②把中的分母化为整数正确的是（ ）
　A、 B、　　
C、 D、
③下列方程的解答过程是否有错误？若有错误，简要说明产生错误的原因,并改正.
解方程：
解：原方程可化为：
去分母，得
去括号、移项、合并同类项，得 ∴

08、一元一次方程的解法
1、解一元一次方程的一般步骤为：
①去分母, ②去括号, ③移项， ④合并同类项, ⑤ 系数化为1
特别说明：去分母前，应把分母化为整数
2、解下列方程
①3（x—2）=2-5(x—2) ②

③ ④

⑤ ⑥

⑦

⑧关于的方程的解是，对于同样的，求另一个关于的方程的解。

09、绝对值方程
①定义：方程中的未知数在绝对值内的方程叫做绝对值方程
②若，则或 ，解之得x=6或
③若 =3 ,则 或　 ,解之得x＝ 。
④解方程：

10、比例问题
1、建模：①设未知数的方法：已知各个量之间的比例时，按比例设未知数
②相等关系：各分量之和等于总数量
2、已知三个数的比是，若这三个数的和是252,则设这三个数依次是__ ____,可列方程为 .
11、分配问题
1、建模:
①分A给B，设B表示A
②A的数量=需要量+剩余量=需要量-缺少量
③相等关系：第一种分法中表示的A的数量=第二种分法中表示的A的数量
2、某校七年级近期实行小班教学,若每间教室安排20名学生，则恰好缺少3间教室；若每间教室安排24名学生,则恰好空出1教室。问这所学校为七年级学生安排了多少间教室？
（提醒: 恰好缺少3间教室意思是剩余3×20名学生;
恰好空出1教室意思是缺少1×24名学生）
12、人员调配问题
1、建模: 设未知数的方法
①内部调配:甲队多x人,乙队就少x人
②外部支援a人：甲队增派x人,则乙队就增派(a－x）人
相等关系：调配后的要求
2、甲队劳动的有43人,在乙处劳动的有22人，现要赶工期,总公司另调28人去支援，使甲处的人数为乙处的两倍,应分别调多少人往两处？

13、资源配套问题
1、建模:
设未知数的方法
a个人分工生产A、B两种零件，设安排x人生产A零件,则安排(a-x）人生产B零件
相等关系： A零件的总数：B零件的总数= 一套产品中A与B的比
2、一张方桌由一张桌面和4条桌腿组成，1立方米木料可制作桌面50个或桌腿300条，现有5立方米木料，问分别用多少木料制作桌面和桌腿，正好配成方桌多少张

14、数字问题
1、基础知识
①一个三位数可以表示为:百位上的数字×100+十位上的数字×10+个位上的数字
②若x表示一个一位数，y表示一个两位数,则把x放在y的左边组成的三位数表示为：100x+y, 把x放在y的右边组成的三位数表示为：10y+ x.
2、设未知数的方法：设某位数字为x,表示其他数位上的数字。
3、一个两位数，个位上的数字与十位上的数字之和为13，交换这两个数字的位置所得新数比原来两位数大45，求这个两位数。 解：设这个两位数的十位上的数字为x,则个位上的数字为 ,这个两位数表示为 ,新两位数表示为
，可列方程为 。
15、工程问题
1、基础知识：
①甲单独完成某件工作的时间为a，则甲的工作效率为
②工作量=工作效率×工作时间
2、设未知数的方法：设余下的工作需要x完成.（设时间）
3、相等关系：甲的工作量＋乙的工作量=总工作量(一般都看做单位1）
4、完成某项工程,甲单独做要20天,乙单独做需要15天，乙单独做5天后，两队合作,问合作几天后可以完成全部工程？解：设合作x天后可以完成全部工程一项工程,甲完成的工作量为 ,乙完成的工作量为 ， 可列方程为： .

16、销售问题
1、基本知识
①商品打折出售：是按标价的出售。②商品利润=商品售价－商品成本价.
③商品的利润率=.④商品的销售额=商品销售价×商品销售量。
⑤商品的销售利润=（销售价－成本价）×销售量。
2、相等关系：销售价=定价×打折-让利=成本×（1+利润率）
3、某服装店出售一种优惠卡，花200元买这种卡后，可凭卡在这家商店按8折购物。小芳购卡后买了一件原价1200元的西装，小敏购卡后买了一件原价500元的毛衣。则小芳买卡购物 划算，则小芳买卡购物 划算，在购买超过 元情况下买卡购物才划算.

17、方案选择问题
建模:
1、弄清两种方案收费表达式
2、求出消费多少时，两种方案收费一样（找出临界点）
3、得出在什么消费范围时方案一合算，在什么消费范围时方案二合算。
练习：下表中有两种移动电话计费方式。

月租
主叫限定时间（分）
主叫超时费（元／分）
被叫
方式一
58
150
0.25
免费
方式二
88
350
0.19
免费

考虑下列问题。
（1）设一个月内用移动电话主叫t 分钟（t是正整数）。根据上表，列表说明:
当t在不同时间范围内取值时,按方式一和方式二如何计费。

主叫时间t(分钟）
方式一计费（元）
方式二计费(元)
省钱方案
t﹤150
58
88

t=150
58
88

150﹤t﹤350
58+0.25（t-150）
88

t=270
58+0。25（270-150）=88
88

t=350
58+0。25(t—150）=108
88

t﹥350
58+0。25（t-150）
88+0。19（t-350)

18、相遇问题
1、基础知识

2、相遇问题的相等关系是:甲的行程+乙的行程=甲乙出发前相距的总路程
3、小王从家门口的公交车站去火车站.如果坐公交车,他将会在火车开车后半小时到达车站；如果坐出租车,可以在火车开车前15分到达火车站。已知公交车的速度是45千米／时.出租车的速度是公交车的2倍,问小王的家到火车站有多远?
解法一:设出租车到火车站要x小时，则公交车到火车站要 小时。
列方程：
解法二：设小王的家到火车站的路程是xkm，根据时间等于路程÷速度，得他坐公交车到火车站要 小时，坐出租车到火车站要 小时，根据出租车到火车站所用的时间比公交车要少__ ______小时,可列方程:___________ _ ______。

19、追及问题
①
②追及问题的相等关系是：后面的行程=前面的行程＋甲乙出发前相距的路程
3、甲、乙两人相距100m，甲在前面以10m/s的速度匀速运动，乙在后面以12m/s的速度匀速运动，试问乙经多长时间追上甲？解：设乙经x秒追上甲，则甲的行程为
乙的行程为 ，可列方程：___________ _ ______。

20、航行问题
1、速度关系：①=＋ ②=－ ③-=2
2、相等关系：顺流路程=逆流路程
3、一艘船从甲码头到乙码头顺流行驶，用了2小时；从乙码头返回甲码头逆流行驶，用了
2.5小时。已知水流的速度是3千米/时，求船在静水中的平均速度。解：船在静水中的平均速度为x千米/时，则顺流速度为 千米/时，逆流速度为 千米/时。
可列方程为 。

21、一元一次方程的根的情况
1、关于方程 根的的讨论
①当时，方程有唯一解 ②当时,方程有无数解
③当时，方程无解
2、关于x的方程
①当 时，方程有唯一解； ②若,则方程
③使方程有无数个解的条件是 。

三、本次课后作业：

四、学生对于本次课的评价:
○ 特别满意 ○ 满意 ○ 一般 ○ 差
学生签字:
五、教师评定:
1、学生上次作业评价： ○ 好 ○ 较好 ○ 一般 ○ 差
2、学生本次上课情况评价：○ 好 ○ 较好 ○ 一般 ○ 差

主任签字：

泽仕学堂教务处